還元不可能な成分

代数幾何学において、既約代数集合または既約多様体とは、 2つの真の代数部分集合の和集合として表すことができない代数集合のことである。代数集合の既約成分とは、この性質に関して既約かつ最大（集合包含に関して）である代数部分集合のことである。例えば、方程式xy = 0の解の集合は既約ではなく、その既約成分は方程式x = 0とy = 0の2つの直線である。

古典代数幾何学の基本定理として、すべての代数集合は既約成分の有限個の和集合として一意的に表すことができる。

これらの概念は、ザリスキ位相を用いて純粋に位相的な用語で再定式化できます。ザリスキ位相では、閉集合は代数的部分集合です。位相空間は、2 つの真の閉部分集合の和集合でない場合、既約であり、既約成分は、誘導位相に対して既約である極大部分空間 (必ず閉) です。これらの概念はすべての位相空間について考えることができますが、最も一般的な位相空間はハウスドルフ空間であり、ハウスドルフ空間では既約成分は一点集合であるため、代数幾何学以外ではめったに行われません。

位相空間Xは、和集合として表せる場合、可約である。${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$2つの閉じた真部分集合の${\displaystyle X_{1}}$、${\displaystyle X_{2}}$の${\displaystyle X.}$ 位相空間は、還元不可能な場合、既約（または超連結）である。言い換えれば、 Xの空でないすべての開部分集合が稠密である場合、または任意の 2 つの空でない開集合が空でない共通部分を持つ場合、 X は既約である。

位相空間Xの部分集合Fは、部分空間位相を介して位相空間とみなされるF が上記の意味で対応する性質を持つ場合、既約または既約と呼ばれます。つまり、${\displaystyle F}$和集合として記述できる場合、それは還元可能である。${\displaystyle F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),}$どこ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$は、${\displaystyle X}$どちらにも含まれていない${\displaystyle F.}$

位相空間の既約成分とは、極大既約部分集合のことである。部分集合が既約であれば、その閉包も既約となるため、既約成分は閉集合となる。

空間Xのすべての既約部分集合は、 Xの (必ずしも一意ではない) 既約成分に含まれる。^{[ 1 ]} すべての点${\displaystyle x\in X}$Xの何らかの既約成分に含まれている。

すべてのアフィン代数集合または射影代数集合は、多項式環におけるイデアルの零点の集合として定義されます。既約代数集合（より一般的には代数多様体として知られています）は、2 つのより小さな代数集合の和集合として分解できない代数集合です。ラスカー・ネーターの定理は、すべての代数集合は、その既約成分と呼ばれる、一意に定義された有限個の代数集合の和集合であることを示しています。ザリスキ位相を考えると、これらの既約性と既約成分の概念は、まさに上述の定義どおりです。なぜなら、代数集合はまさにこの位相の閉集合だからです。

環のスペクトルは、素イデアルを点とし、固定されたイデアルを含むすべての素イデアルの集合を閉集合とする位相空間である。この位相において、閉集合は、ある素イデアルを含むすべての素イデアルの集合である場合に既約であり、既約成分は最小素イデアルに対応する。ネーター環の場合、既約成分の数は有限である。

スキームは、多様体がチャートを貼り合わせることで得られるのと同様に、リングのスペクトルを貼り合わせることで得られる。したがって、既約性と既約成分の定義は、スキームにもそのまま適用される。

ハウスドルフ空間では、既約部分集合と既約成分は一点集合です。これは特に実数の場合に当てはまります。実際、X が一点集合ではない実数の集合である場合、 x ∈ X、y ∈ X、x < a < yとなるような 3 つの実数が存在します。集合Xは既約ではありません。${\displaystyle X=(X\cap ({-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty )).}$

既約成分の概念は代数幾何学において基本的であり、この数学分野以外ではほとんど考慮されない。平面の代数部分集合を考えてみよう。

X = {( x , y ) | xy = 0}。

ザリスキー位相の場合、その閉部分集合は、ザリスキー位相自体、空集合、単集合、およびx = 0とy = 0で定義される 2 つの直線である。したがって、集合Xは、これらの 2 つの直線を既約成分として持つ可約集合である。

可換環のスペクトルとは、環の素イデアルの集合であり、ザリスキ位相を備えている。この位相において、素イデアルの集合が閉じているのは、それが固定されたイデアルを含むすべての素イデアルの集合である場合に限る。この場合、既約部分集合とは、固定された素イデアルを含むすべての素イデアルの集合である。

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