幾何学的に（代数幾何学）

代数幾何学、特にスキーム理論では、ある性質が体の代数閉包に対しても成り立つ場合、その性質は体に対して幾何学的に成り立つと言われます。言い換えると、性質は、幾何学的点への基底変換後に成り立つ場合、幾何学的に成り立ちます。たとえば、滑らかな多様体は、幾何学的に正則な多様体です。

体k上の有限型のスキームXが与えられたとき、以下は同値である: ^[1]

• Xは幾何学的に既約です。つまり、は既約です。ここで、 はkの代数閉包を表します。${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}:=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} {\overline {k}}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$
• ${\displaystyle X\times _{k}k_{s}}$kの可分閉包 に対しては既約ではない。${\displaystyle k_{s}}$
• ${\displaystyle X\times _{k}F}$はkの各体拡大 Fに対して既約ではない。

「既約」を「縮小」に置き換え、分離閉包を完全閉包に置き換えた場合にも、同じことが当てはまります。^[2]

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157