ニルポテント

数学では、となるような、指数(または次数と呼ばれることもある) と呼ばれる正の整数が存在するとき、環の元は冪零であるといわれます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}=0}$

この用語は、姉妹用語である「冪等性」とともに、ベンジャミン・パースが代数の分類に関する研究の中で導入した。 ^[1]

• この定義は特に正方行列に適用できます。行列

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

は、 なのでべき零です。詳細については、べき零行列を参照してください。${\displaystyle A^{3}=0}$

• 因数環 において、3 ^{2は 9 を}法として0 と合同なので、3 の同値類は冪零です。${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$
• 環内の2 つの元とがを満たすと仮定します。このとき、元はとして冪零です。行列の例 ( a、  bについて) は次のとおりです。ここで および です。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle c=ba}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle AB=0}$${\displaystyle BA=B}$

• 定義により、ニル半群の任意の要素はニル零です。

べき零元は単位元にはなり得ない（0 = 1 という単一の元のみを持つ自明な環を除く）。すべてのべき零元は零因子である。

体からの要素を持つ行列は、その特性多項式が である場合に限り、冪零である。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t^{n}}$

が冪零なら、 は単位である。なぜなら、${\displaystyle x}$${\displaystyle 1-x}$${\displaystyle x^{n}=0}$$${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

より一般的には、単位元とべき零元が可換な場合、それらの和は単位元になります。

可換環 の冪零元はイデアルを形成します。これは二項定理の結果です。このイデアルは環の冪根基です。可換環のすべての冪零元は、 であるため、その環のすべての素イデアルに含まれます。したがって、 はすべての素イデアルの共通部分に含まれます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

が冪零でない場合、を の冪に関して局所化して非ゼロ環 を得ることができます。局所化された環の素イデアルは、の素イデアルと正確に対応します。^[2]すべての非ゼロ可換環には最大イデアル、つまり素イデアルが存在するため、すべての非冪零は何らかの素イデアルに含まれません。したがって、 はすべての素イデアルの交差とまったく同じです。^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

ヤコブソン根基や単純加群の消滅に似た特性が、nilradical にも適用できます。つまり、環の冪零元とは、環の内部にあるすべての整域を消滅させる元(つまり、素イデアルの の形) のことです。これは、nilradical がすべての素イデアルの共通部分であるという事実からわかります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$

をリー代数とします。このとき、要素が に含まれ、かつ冪零変換である場合、その要素は冪零であると呼ばれます。リー代数におけるジョルダン分解も参照してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle \operatorname {ad} x}$

有限次元空間内の任意のラダー演算子は冪零です。これらは、たとえばパウリ行列の上昇と下降のように、ある状態から別の状態に変換する生成演算子と消滅演算子を表します。 ${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2}$

を満たすオペランドは べき零です。フェルミオン場の経路積分表現を可能にするグラスマン数は、その平方がゼロになるため、べき零です。BRST電荷は物理学における重要な例です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{2}=0}$

線型作用素は結合代数を形成し、したがって環を形成するので、これは最初の定義の特別な場合である。^{[4] [5]}より一般的には、上記の定義を考慮すると、作用素が冪零であるとは、（零関数）が存在する場合である。したがって、線型写像が冪零であるためには、何らかの基底に冪零行列が存在する必要がある。この別の例としては、外微分（これも）が挙げられる。この両者は、超対称性とモース理論を通じても結びついており^[6]、エドワード・ウィッテンの有名な論文^[7]で示されている。${\displaystyle Q}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle Q^{n}=0}$${\displaystyle n=2}$

源のない平面波の電磁場は、物理空間の代数で表現すると冪零である。[ 8 ]^より一般的には、微小加法性の手法（物理学の定理を導くために使用できる）は、冪零または冪平方の無限小を利用し、滑らかな無限小解析の一部である。

2 次元の双対数には、べき零空間が含まれます。べき零空間を含む他の代数と数には、分割四元数(共四元数)、分割八元数、 双四元 数、複素八元数などがあります。べき零無限小が 0 に向かう変数である場合、それが対象とする項の任意の和が、1 次項の無限に小さい割合であることが示されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$

• 冪等元（環理論）
• 単能性
• 縮小リング
• 理想なし
• べき零行列