同次座標環

代数幾何学において、与えられた次元Nの射影空間の部分多様体として与えられた代数多様体Vの同次座標環 Rは、定義により商環である。

R = K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ] /  I

ここで、IはVを定義する同次イデアル、KはVが定義される代数的に閉じた体、そして

K [ X ₀、X ₁、X ₂、 ...、X _N ]

は、 N + 1 個の変数X _iの多項式環です。したがって、多項式環は射影空間自体の同次座標環であり、変数は、射影空間の基礎となるベクトル空間内の基底の特定の選択に対して、同次座標です。基底の選択は、この定義が本質的ではないことを意味しますが、対称代数を使用することで本質的になります。

V は多様体、つまり既約代数集合であると仮定されているので、イデアルI は素イデアルとして選択することができ、したがってRは整域である。同じ定義を一般の同次イデアルにも使用できるが、その結果得られる座標環には、ゼロでない冪零元とゼロの他の約数が含まれる可能性がある。スキーム理論の観点からは、これらのケースはProj 構成によって同じ立場で扱うことができる。

すべてのX _iによって生成される無関係なイデアル Jは空集合に対応します。これは、すべての同次座標が射影空間の点で消えるわけではないためです。

射影零点定理は、射影多様体と、 J を含まない同次イデアルIとの間の全単射対応を与える。

ホモロジー代数の手法を代数幾何学に適用する場合、 Rを多項式環上の次数付き加群として考える自由分解を適用するのが、ダヴィト・ヒルベルト以来の伝統となっている(ただし、現代の用語は異なる) 。これにより、シジジー、つまりイデアルIの生成元間の関係に関する情報が得られる。古典的な観点からは、そのような生成元は、 V を定義するために書き下ろす方程式にすぎない。Vが超曲面であれば、方程式は 1 つだけ必要であり、完全な交差については方程式の数を余次元として取ることができる。しかし、一般の射影多様体には、それほど透明な定義方程式の集合はない。たとえば、標準曲線やアーベル多様体を定義する方程式の詳細な研究は、これらのケースを扱う体系的な手法の幾何学的な興味を示している。この主題は、 Iを法とする簡約がアルゴリズム的なプロセスになる (現在は実際には グレブナー基底によって扱われている) と想定される古典的な形の消去法理論からも生まれた。

一般的な理由から、 RのK [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]上の次数付きモジュールとしての自由分解が存在する。分解は、各モジュールの像が自由モジュールの射である場合に最小であると定義される。

φ: F _i → F _{i − 1}

解析における はJF _{i − 1 にあり、}ここでJは無関係なイデアルである。中山の補題の結果として、 φ はF _iの与えられた基底をF _{i − 1}の最小の生成元の集合に取る。最小自由解析の概念は強い意味で明確に定義されている。つまり、連鎖複体の同型性を除いて一意であり、任意の自由解析の直和項として現れる。この複体はRに固有であるため、次数付きベッティ数β _{i, j を}F _iから来る次数jの像の数として定義することができる（より正確には、 φ を同次多項式の行列と考え、その同次次数の要素の数を右から帰納的に得られる次数で増分する）。言い換えれば、すべての自由モジュールの重みは解析から推測でき、次数付きベッティ数は解析の与えられたモジュールにある与えられた重みの生成元の数を数える。与えられた射影埋め込みにおけるVのこれらの不変量の性質は、曲線の場合であっても活発な研究課題を提起する。^[1]

最小自由分解が明示的に知られている例があります。有理正規曲線の場合、それはイーゴン-ノースコット複体です。射影空間の楕円曲線の場合、分解はイーゴン-ノースコット複体の写像円錐として構築できます。^[2]

カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性は、射影多様体を定義するイデアルIの最小解像度から読み取ることができる。 i番目のモジュールF _iの帰属「シフト」 a _{i , j}に関して、これはa _{i , j} − iのi上の最大値である。したがって、解像度で左に移動するときにシフトが 1 ずつ増加する場合は小さい (線形シジジーのみ)。^[3]

多様体Vの射影埋め込みは、Rが整閉である場合に射影的に正規である。この条件は、 V が正規多様体であることを意味するが、その逆は成り立たない。射影正規性の性質は、3次元の有理四次曲線の例で示されるように、射影埋め込みと独立ではない。^{[4]もう1つの同等の条件は、射影空間上の}トートロジー直線束の双対によって切り取られたV上の因子の線型システムと、d = 1, 2, 3, ...に対するそのd乗に関するものである。 Vが非特異なとき、それが射影的に正規であるためには、そのような線型システムのそれぞれが完全な線型システムである必要がある。^[5] あるいは、トートロジー直線束の双対を射影空間上のセールねじり層O (1) と考え、それを使用して構造層O _{V を}任意の回数、たとえばk回ねじり、層O _V ( k ) を得ることができる。このとき、与えられたkに対して、 O ( k )の大域断面がO _V ( k )の大域断面に射影的に写像されるとき、V は k正規であると呼ばれ、 Vが 1 正規であるとき、それは線型正規であると呼ばれる。非特異多様体は、すべてのk ≥ 1 に対してk正規である場合に限り、射影正規である。線型正規性は幾何学的に表現することもできる。射影多様体としてのV は、適切な線型部分空間に位置するという自明な方法を除いて、より高次元の射影空間からの同型線型射影によって得ることはできない。射影正規性も同様に、十分なヴェロネーゼ写像を使用して線型正規性の条件に還元することによって変換できる。

与えられた非常に豊富な直線束がVの射影埋め込みを生じるという観点からこの問題を見ると、そのような直線束（可逆層）は、埋め込まれたV が射影的に正規である場合に正規生成されると言われる。射影正規性は、グリーンとラザースフェルドによって定義された一連の条件の 最初の条件N _{0である。このため、}

${\displaystyle \bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})}$

は射影空間の同次座標環上の次数付き加群とみなされ、極小自由分解が取られる。条件N _{p は}最初のp次ベッティ数に適用され、j > i + 1 のときにそれらが消えることを要求している。 ^[6]曲線については、グリーンは条件N _pが deg( L ) ≥ 2 g + 1 + pのときに満たされることを示しており、これはp = 0 の場合のグイド・カステルヌオーヴォの古典的な結果であった。^[7]

• 射影多様体
• ヒルベルト多項式

• Oscar ZariskiとPierre Samuel、Commutative Algebra Vol. II（1960）、pp. 168-172。