楕円曲線

数学において、楕円曲線は種数1の滑らかな射影代数曲線であり、その上に特定の点Oがある。楕円曲線は体K上で定義され、 Kとそれ自身の直積であるK ²内の点を表す。体の特性が 2 および 3 と異なる場合、曲線は、次の解( x、y )で構成される平面代数曲線として表すことができる。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

が成り立ちます。曲線は非特異であることが要求されます。つまり、曲線には尖点や自己交差がありません。(これは、条件4 a ³ + 27 b ² ≠ 0、つまりxで平方自由であることに相当します。) 曲線は実際には射影平面上にあり、点O は無限遠にある唯一の点であると常に理解されています。多くの情報源では、楕円曲線をこの形式の方程式で与えられる曲線として定義しています。(係数体が標数 2 または 3 を持つ場合、上記の方程式はすべての非特異 3次曲線を含めるほど十分に一般的ではありません。下の § 一般体上の楕円曲線を参照してください。)

楕円曲線はアーベル多様体です。つまり、代数的に定義された群法則を持ち、それに関して楕円曲線はアーベル群であり、O は単位元として機能します。

y ² = P ( x ) （ P はxの次数 3で重根を持たない任意の多項式）の場合、解の集合は種数1 の非特異平面曲線、つまり楕円曲線です。Pが次数 4 で平方でない場合、この式は再び種数 1 の平面曲線を表しますが、恒等元を自然に選択することはできません。より一般的には、種数 1 の任意の代数曲線、たとえば 3 次元射影空間に埋め込まれた 2 つの二次曲面の交差は、恒等元として機能するマークされた点を備えている限り、楕円曲線と呼ばれます。

楕円関数の理論を用いると、複素数上で定義された楕円曲線は、トーラスを複素射影平面に埋め込むことに対応することが示され、トーラスはアーベル群でもあり、この対応は群同型でもある。

楕円曲線は特に数論において重要であり、現在主要な研究分野となっています。例えば、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明に使用されました。楕円曲線は、楕円曲線暗号(ECC) や整数因数分解にも応用されています。

楕円曲線は、種数が 0 である射影円錐の意味での楕円ではありません。用語の由来については、楕円積分を参照してください。ただし、形状不変量 j ≥ 1 である実楕円曲線を双曲面 内の楕円として自然に表現できます。具体的には、ミンコフスキー双曲面と、特定の定角特性を特徴とする二次曲面との交差により、 内のシュタイナー楕円(方向保存共線化によって生成) が生成されます。さらに、これらの楕円の直交軌道はj ≤ 1の楕円曲線を構成し、2 つの焦点に対する軌跡として記述される 内の任意の楕円は、各直交軌道上の交差のペアを追加することで得られる 2 つのシュタイナー楕円の楕円曲線の和として一意に決まります。ここで、双曲面の頂点は、各軌道曲線上の恒等関数として機能します。^[1]${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

位相的には、複素楕円曲線はトーラスであり、複素楕円は球面です。

楕円曲線の正式な定義には代数幾何学の知識がいくらか必要ですが、初歩的な代数と幾何学の知識のみを使用して実数上の楕円曲線のいくつかの特徴を記述することは可能です。

この文脈では、楕円曲線とは、次の形式の方程式で定義される 平面曲線である。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

変数の線形変換後（aとbは実数）。このタイプの方程式はワイエルシュトラス方程式と呼ばれ、ワイエルシュトラス形式、またはワイエルシュトラス標準形であると言われています。

楕円曲線の定義では、曲線が非特異であることも求められます。幾何学的には、これはグラフに尖点、自己交差、孤立点がないことを意味します。代数的には、判別式、がゼロでない 場合にのみ、これが当てはまります。${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0}$

判別式は の場合にはゼロになります。 ${\displaystyle a=-3k^{2},b=2k^{3}}$

（係数−16は曲線が非特異であるかどうかとは無関係ですが、この判別式の定義は楕円曲線のより高度な研究に役立ちます。）^[2]

非特異曲線の実グラフは、判別式が正の場合は2 つの要素を持ち、判別式が負の場合は1 つの要素を持ちます。たとえば、右の図に示すグラフでは、最初のケースの判別式は 64 で、2 番目のケースの判別式は -368 です。

射影平面で作業する場合、同次座標の方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b}$

この方程式は無限遠直線上では定義されていませんが、 を掛けると次の方程式が得られます。 ${\displaystyle Z^{3}}$

${\displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}}$

この結果の方程式は射影平面全体で定義され、それが定義する曲線は対象の楕円曲線に射影されます。無限遠直線との交点を見つけるには、 と仮定するだけです。これは を意味し、体では を意味します。 一方、 は任意の値を取ることができるため、すべての 3 つ組が方程式を満たします。射影幾何学では、この集合は単に点 であり、これは曲線と無限遠直線との唯一の交点です。 ${\displaystyle Z=0}$${\displaystyle X^{3}=0}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (0,Y,0)}$${\displaystyle O=[0:1:0]}$

曲線は滑らかで連続しているので、この無限遠点は群構造の恒等元であることが示され、その操作は幾何学的に次のように記述されます。

曲線はx軸に関して対称なので、任意の点Pが与えられたとき、 − P をその反対側の点とすることができます。すると、がXZ平面上にあるので となり、も原点に関して の対称となり、同じ射影点を表します。 ${\displaystyle -O=O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle -O}$${\displaystyle O}$

PとQ が曲線上の 2 つの点である場合、 3 番目の点P + Q を次のように一意に記述できます。まず、 PとQが交差する線を引きます。この線は通常、 3 番目の点Rで 3 次曲線と交差します。次に、P + Q を− R 、つまりRの反対側の点とします。

この加法の定義は、無限遠点と交差多重度に関連するいくつかの特殊な場合を除いて機能します。最初は、点の 1 つがOである場合です。ここで、 P + O = P = O + Pと定義し、O をグループの単位元にします。P = Qの場合は、点が 1 つしかないため、それらの間の線を定義できません。この場合、この点での曲線の接線を線として使用します。ほとんどの場合、接線は 2 番目の点Rと交差し、その反対を取ることができます。PとQ が互いに反対の場合は、P + Q = Oと定義します。最後に、P が変曲点(曲線の凹面性が変化する点)である場合は、 R をP自体とし、P + Pは単にそれ自体の反対側の点、つまりそれ自体になります。

K を曲線が定義される体（つまり、曲線の定義方程式の係数がKにある体）とし、曲線をEで表します。すると、EのK有理点とは、無限遠点を含め、座標がすべてK内にあるE上の点です。 K有理点の集合はE ( K )で表されます。 E ( K )は群です。多項式方程式の性質から、P がE ( K )にある場合、− PもE ( K )にあり、P、Q、Rのうち 2 つがE ( K )にある場合、 3 つ目も含まれるからです。さらに、K がLの部分体である場合、E ( K )はE ( L )の部分群です。

上記の群は、代数的にも幾何学的にも記述できます。体K (特性値は 2 でも 3 でもないと仮定)上の曲線y ² = x ³ + bx + cと、曲線上の点P = ( x _P , y _P )およびQ = ( x _Q , y _Q )が与えられ、まずx _P ≠ x _Q (ケース1 )と仮定します。y = sx + d を、次の傾きを持つPとQの交差する直線の方程式とします。

${\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$

直線方程式と曲線方程式は、点x _P、x _Q、x _Rで交差するため、これらの値では方程式のy値は同一になります。

${\displaystyle \left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+bx+c}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+bx+c-d^{2}=0}$

x _P、x _Q、x _Rは解なので、この方程式の 根は、

${\displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}}$

両方の方程式は3次方程式なので、スカラーを除いて同じ多項式でなければなりません。次に、両方の方程式の x ²の係数を等しくすると、

${\displaystyle -s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})}$

未知数x _Rを解きます。

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$

y _Rは直線方程式から導かれる

${\displaystyle y_{R}=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})}$

そしてこれはKの要素です。なぜならs がそうだからです。

x _P = x _Qの場合、2 つのオプションがあります。y _P = − y _Q (ケース3 ) の場合 ( y _P = y _Q = 0 (ケース4 )の場合を含む)、合計は 0 と定義されます。したがって、曲線上の各点の逆は、 x軸を挟んで反射することによって見つかります。

y _P = y _Q ≠ 0の場合、Q = PかつR = ( x _R、y _R ) = −( P + P ) = −2 P = −2 Qとなります（ケース2 、 P をRとして使用）。傾きは、曲線の ( x _P、y _P )における接線によって決まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+b}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})\end{aligned}}}$

ケース1とケース2の両方に当てはまる より一般的な表現は次のようになります。${\displaystyle s}$

${\displaystyle s={\frac {{x_{P}}^{2}+x_{P}x_{Q}+{x_{Q}}^{2}+b}{y_{P}+y_{Q}}}}$

ここで、 ⁠と等しいyP − yQ_​​/xP − xQ_​​⁠ は、 PとQ がy ² = x ³ + bx + cに従うことを前提としています。

曲線y ² = x ³ + ax ² + bx + c (標数3の楕円曲線の一般形) の場合、式は同様で、s = ⁠x _P ² + x _P x _Q + x _Q ² + ax _P + ax _Q + b/yP + yQ_​​⁠そしてx _R = s ² − a − x _P − x _Q。

ワイエルシュトラス正規形でない一般的な 3 次曲線の場合でも、 9 つの変曲点の 1 つを恒等関数Oとして指定することで、群構造を定義できます。 射影平面では、重複度を考慮すると、各直線は 3 点で 3 次曲線と交差します。 点Pの場合、− P は、 OとP を通る直線上の唯一の 3 番目の点として定義されます。 次に、任意のPとQについて、P + Q は− Rとして定義されます。ここで、 R は、 PとQ を含む直線上の唯一の 3 番目の点です。

非ワイエルシュトラス曲線上の群法則の例については、ヘッセ曲線を参照してください。

有理数体上で定義された曲線E は、実数体上でも定義されます。したがって、接線法と正割法による加法則 (実座標を持つ点の加法則) をEに適用できます。明示的な式は、有理座標を持つ 2 つの点PとQの和が、やはり有理座標を持つことを示しています。これは、 PとQ を結ぶ直線が有理係数を持つためです。このようにして、Eの有理点の集合が、 Eの実点のグループのサブグループを形成することがわかります。

このセクションでは、 xが整数である ようなEの点P = ( x , y )について説明します。

例えば、方程式y ² = x ^{3 + 17には}y > 0となる8つの積分解がある : ^{[3] [4]}

( x , y ) = (−2, 3)、(−1, 4)、(2, 5)、(4, 9)、(8, 23)、(43, 282)、(52, 375)、 (5234 ,378 661）。

別の例として、ユングレン方程式はワイエルシュトラス形式がy ² = x ³ − 2 xである曲線であり、 y  ≥ 0となる解は4つしかない： ^[5]

( x , y ) = (0, 0)、(−1, 1)、(2, 2)、(338、6214）。

有理点は、有限個の有理点から始めて、上で詳述した接線と正割の方法によって構築できます。より正確には、 ^[6]モーデル・ヴェイユの定理は、群E ( Q ) が有限生成（アーベル）群であることを述べています。有限生成アーベル群の基本定理により、それはZのコピーと有限巡回群 の有限直和です。

定理^[7]の証明は2 つの部分から成ります。最初の部分では、任意の整数m  > 1 に対して、商群 E ( Q )/ mE ( Q ) は有限であることを示します (これは弱いモーデル・ヴェイユの定理です)。2 番目に、有理点E ( Q )上の高さ関数 h を導入します。これは、 P (無限大点P _{0と等しくない) が横座標として}有理数 x = p / q ( pとqは互いに素) を持つ場合、h ( P ₀ ) = 0 およびh ( P ) = log max (| p |, | q |)で定義されます。この高さ関数hには、 h ( mP ) がおおよそmの 2 乗に比例して増加するという特性があります。さらに、 E上には、高さが任意の定数よりも小さい有理点は有限個しか存在しません。

この定理の証明は無限降下法^[8]の変形であり、 E上のユークリッド分割の繰り返し適用に依存している。P ∈ E ( Q )を曲線上の有理点とし、Pを2 P ₁ + Q ₁の和として書き、Q _1はE ( Q )/2 E ( Q )におけるPの固定表現であり、 P ₁の高さは約⁠1/4⁠ Pの 1 つ（より一般的には、2 を任意のm > 1に置き換え、⁠1/4⁠ ⁠による1/メートル²⁠ ）。 P ₁について同じことをやり直すと、つまりP ₁ = 2 P ₂ + Q ₂、次にP ₂ = 2 P ₃ + Q ₃などとなり、最終的にPは、点Q _iと、高さが事前に選択された固定定数で制限される点の整線形結合として表されます。つまり、弱いモーデル・ヴェイユの定理と高さ関数の 2 番目の特性により、P は有限個の固定点の整線形結合として表されます。

しかし、この定理は、 E ( Q )/ mE ( Q )の代表値を決定する方法を提供していません。

E ( Q )のランク、つまりE ( Q )におけるZのコピーの数、または無限位数の独立点の数をEのランクと呼ぶ。バーチとスウィナートン・ダイアーの予想は、ランクの決定に関するものである。比較的小さなランクの例しか知られていないとしても、ランクは任意の大きさになり得ると予想されている。現在正確に知られている最大のランクを持つ楕円曲線は、

y ² + xy + y = x ³ − x ² − 244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573 821 859 853 707 x + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

2020年にノアム・エルキーズとゼヴ・クラグスブルンによって発見されたランクは20である。20より高いランクの曲線は1994年以来知られており、そのランクの下限は21から29の範囲であるが、正確なランクは不明であり、特にどれが他よりも高いランクであるか、またはどれが真の「現在のチャンピオン」であるかは証明されていない。^[9]

E ( Q )のねじれ部分群を構成する群については、次のことが知られている: ^[10] E ( Q )のねじれ部分群は、次の 15 の群のいずれかである ( Barry Mazurの定理) 。Z / N Z ( N = 1, 2, ..., 10, または 12の場合)、またはZ /2 Z × Z /2 N Z ( N = 1, 2, 3, 4 の場合)。すべてのケースの例が知られている。さらに、 Q上の Mordell–Weil 群が同じねじれ群を持つ楕円曲線は、パラメータ化された族に属する。^[11]

バーチとスウィナートン・ダイアーの予想(BSD) は、クレイ数学研究所のミレニアム問題の一つです。この予想は、問題の楕円曲線によって定義される解析的および算術的オブジェクトに依存しています。

解析的な側面では、複素変数Lの関数、つまりEのQに対するハッセ・ヴェイユ ゼータ関数が重要な要素となります。この関数は、リーマン ゼータ関数とディリクレ L 関数の変形です。これは、すべての素数pに対して 1 つの因数を持つオイラー積として定義されます。

最小方程式で与えられる 曲線E上のQに対して

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

整数係数を持つ場合、係数をp を法として簡約すると、有限体F _p上の楕円曲線が定義されます(ただし、 pの有限個の素数を除く。この場合、簡約された曲線は特異点を持ち、楕円ではなくなります。この場合、E はpで悪い簡約であると言われます)。 ${\displaystyle a_{i}}$

有限体F _p上の楕円曲線のゼータ関数は、ある意味では、F _pの有限体拡大F _{p ⁿ}内の値を持つEの点の数に関する情報を組み立てる生成関数である。これは^[12]で与えられる。

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}$

指数関数の内積は対数の展開に似ており、実際、このように定義されたゼータ関数はTの有理関数です。

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},}$

ここで「フロベニウスの軌跡」項^[13] は、「期待される」数と楕円曲線上の点の数との差として定義される。 ${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})}$

または同等に、

${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-a_{p}}$。

任意の特性 の有限体上で、どこでも を置き換えて、同じ量と関数を定義することができます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$

この情報をすべての素数pに対して集めることで、EのQ上のL関数が定義される。これは次のように定義される。

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}}$

ここでNはEの導体、つまり悪い還元を持つ素数の積である）、^[14]この場合、a _pは上記の方法とは異なる定義になる：下記のSilverman（1986）を参照。 ${\displaystyle (\Delta (E\mod p)=0}$

たとえば、は17で悪い削減率を持っています。なぜならを持っているからです。 ${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}+14x+19}$${\displaystyle E\mod 17:y^{2}=x^{3}-3x+2}$${\displaystyle \Delta =0}$

この積は、Re( s ) > 3/2 の場合にのみ収束します。ハッセ予想は、L関数が複素平面全体に解析接続を許し、任意のsに対して、L ( E、s ) とL ( E、 2 − s ) を関連付ける関数方程式を満たすことを主張しています。 1999 年に、これは、 Q上のすべての楕円曲線がモジュラー曲線であると主張する志村・谷山・ヴェイユ予想の証明の結果であることが示されました。これは、そのL関数が、解析接続がわかっているモジュラー形式のL関数であることを意味します。したがって、任意の複素数sでのL ( E、s )の値について話すことができます。

s=1 （導体積は有限なので無視できる）のとき、L関数は

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}}$

バーチとスウィナートン・ダイアーの予想は、曲線の算術と、s = 1 におけるこのL関数の挙動を関連付けます。これは、 s = 1 におけるL関数 の消失位数がE の階数に等しいことを主張し、その時点でのL ( E , s )のローラン級数の主要項を、楕円曲線に付随するいくつかの量の観点から予測します。

リーマン予想と同様に、BSD 予想が真実であれば、次の 2 つを含む複数の結果がもたらされます。

• 合同数は、有理数の辺を持つ直角三角形の面積である奇数の平方自由整数 nとして定義される。n が合同数となるのは、楕円曲線が無限次数の有理点を持つ場合のみであることが知られている。BSD を仮定すると、これはL関数がs  = 1で零点を持つことと同値である。Tunnellは関連する結果を示した。BSD を仮定すると、nが合同数となるのは、を満たす整数の三つ組 ( x、y、z )の数が、を満たす三つ組の数の 2 倍である場合のみである。このステートメントの興味深い点は、条件が簡単に確認できることである。^[15]${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n}$${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n}$
• 異なる方向では、特定の解析的手法により、特定のL関数の臨界帯の中心におけるゼロの位数を推定することができる。BSDを認めると、これらの推定は対応する楕円曲線の族のランクに関する情報に対応する。例えば、一般化リーマン予想とBSDを仮定すると、曲線の平均ランクは2より小さくなる。^[16]${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

K = F _{q を}q個の元を持つ有限体とし、E をK上で定義された楕円曲線とします。K上の楕円曲線Eの有理点の正確な数を計算することは一般に困難ですが、楕円曲線に関するハッセの定理により、次の不等式が示されます。

${\displaystyle |\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

言い換えれば、曲線上の点の数は、体内の要素の数に比例して増加します。この事実は、いくつかの一般理論の助けを借りて理解および証明できます。たとえば、 局所ゼータ関数とエタール コホモロジーを参照してください。

点集合E ( Fq )は有限アーベル群である。これは常に巡回群または2つの巡回群の積_である。例えば、^[17]で定義される曲線は

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

F ₇₁上には、この体上に72 個の点 ( (0,0) を含む71 個のアフィン点と 1個の無限大点) があり、その群構造はZ /2 Z × Z /36 Zで与えられます。特定の曲線上の点の数は、Schoof のアルゴリズムで計算できます。

F _qの体拡大上の曲線を調べるには、生成級数によって定義される F _q上のEの局所ゼータ関数を導入すると簡単になります（上記も参照）。

${\displaystyle Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}$

ここで、体K _nは、次数nのK = F _qの（同型を除いて一意な）拡大です（つまり、 ）。 ${\displaystyle K_{n}=F_{q^{n}}}$

ゼータ関数はTにおける有理関数である。これを理解するには、次のような 整数を考える。${\displaystyle a}$

${\displaystyle \#E(K)=1-a+q}$

次のような 複素数が存在する。${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle 1-a+q=(1-\alpha )(1-{\bar {\alpha }})}$

ここで は複素共役なので、 ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

${\displaystyle \alpha +{\bar {\alpha }}=a}$

${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=q}$

絶対値がとなるように選択します。つまり、 となり、 となります。 に注意してください。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt {q}}}$${\displaystyle \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }}$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{2{\sqrt {q}}}}}$${\displaystyle |a|\leq 2{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \alpha }$は局所ゼータ関数で使用できる。なぜなら、その値をnのさまざまな累乗にすると、 の挙動を合理的に近似できるからである。${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}}$

自然対数のテイラー級数を用いると、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}}$

そして、最後に ${\displaystyle (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}}$

${\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}$

例えば^[18]体F _2上のE  : y ² + y = x ³のゼータ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}$

これは次の式から導かれます:

${\displaystyle \left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}$

として、それから、そのように。 ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle |E|=2^{1}+1=3=1-a+2}$${\displaystyle a=0}$

関数方程式は

${\displaystyle Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}$

の挙動のみに関心があるので、簡約ゼータ関数を使用することができる。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)}$

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)}$

など

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)}$

これは直接的に局所L関数につながる。

${\displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}$

佐藤-テイト予想は、楕円曲線 E 上のQ が qを法として簡約される場合、ハッセの定理の誤差項が異なる素数qによってどのように変化するかについての予想です。これは、テイラー、ハリス、シェパード-バロン^[19]の結果により 2006 年に (ほとんどすべてのそのような曲線に対して) 証明され、誤差項が等分布していることを示しています。 ${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$

有限体上の楕円曲線は、暗号化や大きな整数の因数分解によく応用されています。これらのアルゴリズムでは、 Eの点の群構造がよく利用されます。したがって、一般の群に適用できるアルゴリズム、たとえば有限体の可逆元の群F * _qは、楕円曲線上の点の群にも適用できます。たとえば、離散対数はそのようなアルゴリズムです。興味深いのは、楕円曲線を選択すると、q (およびF _qの単位群) を選択するよりも柔軟性が高くなることです。また、楕円曲線の群構造は、一般的に複雑です。

楕円曲線は任意の体 K上で定義できます。楕円曲線の正式な定義は、種数1でK上で定義された特別な点を持つ、K上の非特異射影代数曲線です。

Kの標数が2でも3でもない場合、K上のすべての楕円曲線は次の形式で表すことができます。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

変数の線形変換後。ここでpとqはKの要素であり、右辺の多項式x ³ − px − qは二重根を持たない。標数が2または3の場合、より多くの項を保持する必要がある。標数が3の場合、最も一般的な方程式は次の形式になる。

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

任意の定数b ₂、b ₄、b ₆に対して、右辺の多項式が別々の根を持つ（この表記法は歴史的な理由から選択された）。特性2では、これだけでも不可能であり、最も一般的な式は次のようになる。

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

ただし、それが定義する多様体は特異ではない。特性が障害でなければ、各方程式は適切な線形変数変換によって前の方程式に簡約される。

一般的に、曲線は、上記の式を満たし、xとy の両方がKの代数閉包の要素となるすべての点 ( x、y )の集合であるとみなされます。曲線上の点のうち、座標が両方ともKに属する点は、 K有理点と呼ばれます。

前述の結果の多くは、 Eの定義体が数体 K、つまりQの有限体拡大の場合でも有効である。特に、 K 上で定義された楕円曲線 E の K 有理点の群E(K) は有限生成であり、これは上記のモーデル・ヴェイユの定理を一般化する。ロイック・メレルの定理は、与えられた整数 d に対して、次数 d の数体 K上で定義された楕円曲線に対するE ( K )の捩れ群として現れる群は（同型を除いて）有限個しかないことを示している。より正確には、[ 20] 次数 d の数体 K 上で定義された任意の楕円曲線^Eに対して、E ( K )の任意の捩れ点の位数がB ( d )より小さいような数B ( d )が存在する。この定理は有効である。d > 1 の場合、ねじれ点がp位（ pは素数） であれば、

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}}$

積分点に関しては、シーゲルの定理は次のように一般化されます: E を数体K上で定義された楕円曲線、xおよびy をワイエルシュトラス座標とします。すると、 x座標が整数環O _K内にあるE(K)の点は有限個しかありません。

ハッセ・ヴェイユのゼータ関数の特性とバーチとスウィナートン・ダイアーの予想も、このより一般的な状況に拡張することができます。

楕円曲線をトーラスの複素射影平面への埋め込みとして定式化することは、ワイエルシュトラスの楕円関数の興味深い性質から自然に導かれる。これらの関数とその1次導関数は、次の式で関連付けられる。

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

ここで、g ₂とg ₃は定数、℘( z )はワイエルシュトラスの楕円関数、℘ ′ ( z ) はその導関数である。この関係が楕円曲線の形（複素数上）であることは明らかである。ワイエルシュトラス関数は二重周期的である。つまり、格子Λに関して周期的である。本質的に、ワイエルシュトラス関数はトーラスT = C /Λ上で自然に定義される 。このトーラスは、写像によって複素射影平面に埋め込むことができる。

${\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]}$

この写像は、この写像の像である 3 次曲線上の弦接線群法則を持つトーラス（その自然な群構造で考慮される）の群同型である。また、トーラスから 3 次曲線へのリーマン面の同型でもあるため、位相的には楕円曲線はトーラスである。格子Λ が非ゼロ複素数cの乗算によって格子c Λに関連付けられている場合、対応する曲線は同型である。楕円曲線の同型類は、 j不変量によって指定される。

同型類は、より単純な方法でも理解できる。モジュラー不変量と呼ばれる定数g ₂とg _{3 は}、格子、つまりトーラスの構造によって一意に決定される。しかし、複素数体は実数の代数的閉包であるため、すべての実多項式は複素数上の線形因数に完全に因数分解される。したがって、楕円曲線は次のように記述できる。

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

次のようなことが分かる

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}}$

j不変な j ( τ )とλ ( τ )は、モジュラーラムダ関数と呼ばれることもあります。たとえば、τ = 2 iとすると、λ (2 i ) = (−1 + √ 2 ) ⁴となり、g ′ ₂、g ′ ₃となり、したがってg ′ ₂³
− 27 g ′ ₃²
上の式のτ が虚数二次体を含む場合、すべて代数的数となる。実際、整数j (2 i ) = 66 ³ =となる。287 496 .

対照的に、モジュラー判別式

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$

は一般に超越数である。特に、デデキントのイータ関数 η (2 i )の値は

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}}$

均一化定理は、種数1のコンパクトリーマン面はすべてトーラスとして表現できることを意味していることに注意してください。これにより、楕円曲線上のねじれ点も簡単に理解できます。格子Λが基本周期ω ₁とω ₂で張られている場合、nねじれ点は次の形式の点（の同値類）になります。

${\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}}$

整数aとbは0 ≤ ( a , b ) < nの範囲にある。

もし

${\displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})}$

は複素数上の楕円曲線であり、

${\displaystyle a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},}$

するとEの基本周期のペアは次のように非常に速く計算できる。

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}}$

M( w , z ) はwとzの算術平均–幾何平均です。算術平均–幾何平均反復の各ステップで、幾何平均反復のあいまいさから生じるz _nの符号は、 | w _n − z _n | ≤ | w _n + z _n |となるように選択されます。ここで、w _nとz _{n は}、それぞれwとzの個々の算術平均と幾何平均反復を表します。| w _n − z _n | = | w _n + z _n |の場合、Im ( ⁠ず_n/w _n⁠ ) > 0 . ^[21]

複素数上では、すべての楕円曲線には 9 つの変曲点があります。これらの点のうち 2 つを通るすべての直線は、3 つ目の変曲点も通っています。このようにして形成された 9 つの点と 12 本の直線は、ヘッセ配置の実現を形成します。

同種性を考えると

${\displaystyle f:E\rightarrow E'}$

次数の楕円曲線の場合、双対同型は同型である ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}:E'\rightarrow E}$

同じ程度の

${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n].}$

ここで、次数を持つ同種 乗法を表す。${\displaystyle [n]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e\mapsto ne}$${\displaystyle n^{2}.}$

多くの場合、双対同型の存在のみが必要であるが、それは構成として明示的に与えられることもできる。

${\displaystyle E'\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E')\to {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,}$

ここで は 次数0の因子群です。これを行うには、 の中立点であり、で 与え られる 写像が必要です。${\displaystyle {\mathrm {Div} }^{0}}$${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)}$${\displaystyle P\to P-O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,}$${\displaystyle \sum n_{P}P\to \sum n_{P}P.}$

それを理解するには 、元の同型が合成として書ける ことに注意する。${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n]}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)\to {\mbox{Div}}^{0}(E')\to E'\,}$

そして は次数 の有限なので、を に掛けると${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{*}f^{*}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}(E').}$

あるいは、より小さなピカール群 、つまりの 商を使うこともできる。写像は 同型写像 に下降し、 双対同型写像は ${\displaystyle {\mathrm {Pic} }^{0}}$${\displaystyle {\mbox{Div}}^{0}.}$${\displaystyle E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)}$${\displaystyle E\to {\mbox{Pic}}^{0}(E).}$

${\displaystyle E'\to {\mbox{Pic}}^{0}(E')\to {\mbox{Pic}}^{0}(E)\to E\,}$

関係は 共役関係も意味する ことに注意する。確かに、 とする と と なるが、 は射影的であるため、 ${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n]}$${\displaystyle {\hat {f}}\circ f=[n].}$${\displaystyle \phi ={\hat {f}}\circ f.}$${\displaystyle \phi \circ {\hat {f}}={\hat {f}}\circ [n]=[n]\circ {\hat {f}}.}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle \phi =[n].}$

有限体上の楕円曲線は、整数因数分解だけでなく、いくつかの暗号化アプリケーションでも使用されます。通常、これらのアプリケーションでの一般的な考え方は、特定の有限群を使用する既知のアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使用するように書き直すことです。詳細については、以下も参照してください。

• 楕円曲線暗号
  • 楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵交換 (ECDH)
  • 超特異同型鍵交換
  • 楕円曲線デジタル署名アルゴリズム(ECDSA)
  • EdDSAデジタル署名アルゴリズム
  • デュアルEC DRBG乱数ジェネレータ
• レンストラ楕円曲線因数分解
• 楕円曲線素数証明

• ヘッセ曲線
• エドワーズ曲線
• ねじれた曲線
• ねじれたヘッセ曲線
• ねじれたエドワーズ曲線
• 倍加指向ドシェ・イカールト・コーヘル曲線
• 3倍指向ドシェ・イカールト・コーヘル曲線
• ヤコビ曲線
• モンゴメリ曲線

• 算術ダイナミクス
• 楕円代数
• 楕円面
• コンピュータ代数システムの比較
• アイソジェニー
• jライン
• レベル構造（代数幾何学）
• モジュラリティ定理
• 楕円曲線のモジュライスタック
• ナーゲル・ルッツの定理
• リーマン・フルヴィッツの公式
• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

セルジュ・ラングは、以下に引用した本の序文で、「楕円曲線上では無限に書き込むことが可能である。（これは脅しではない）」と述べています。したがって、以下の短いリストは、楕円曲線の理論的、アルゴリズム的、および暗号化的側面に関する膨大な解説文献のガイドにすぎません。

• イアン・ブレイク、ガディエル・セロウシ、ナイジェル・スマート(2000)。楕円曲線暗号。LMS 講義ノート。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-65374-6。
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• クレモナ、ジョン (1997)。モジュラー楕円曲線のアルゴリズム (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-59820-6。
• Darrel Hankerson、Alfred Menezes、Scott Vanstone ( 2004)。楕円曲線暗号ガイド。Springer。ISBN 0-387-95273-X。
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• Helleguearch、イヴ (2001)。フェルマー・ワイルズの数学への招待。パリ：デュノー。ISBN 978-2-10-005508-1。
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• 「楕円曲線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「楕円曲線」。MathWorld。
• PlanetMath の楕円曲線の算術
• R 上および Zp 上のインタラクティブな楕円曲線 - HTML5 対応ブラウザを必要とする Web アプリケーション。

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