有理特異点

数学、特に代数幾何学の分野において、あるスキームが有理特異点を持つとすると、それは正規で、特性ゼロの体上の有限型であり 、適切な双有理写像が存在する場合である。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$

の高次の直接像が自明であるような正規のスキーム から。つまり、 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}=0}$のために。${\displaystyle i>0}$

そのような解決が 1 つある場合、特異点の任意の 2 つの解決が 3 番目の解決によって支配される可能性があるため、すべての解決がこの特性を共有することになります。

表面の場合、有理特異点は (Artin 1966) によって定義されました。

あるいは、導来カテゴリにおける自然写像が有理特異点を持つ場合、かつその場合に限って、${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow Rf_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$

は準同型です。これには という文が含まれており、したがって が正規であるという仮定が含まれていることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\simeq f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle X}$

正と混合の特性に は関連する概念がある

• 疑似合理的

そして

• F-有理数

有理特異点とは、具体的には、コーエン・マコーレー特異点、正規特異点、デュボア特異点です。ゴレンスタイン特異点やQ-ゴレンスタイン特異点である必要はありません。

対数終端特異点は有理数である。^[1]

有理特異点の例としては、 2次円錐の特異点が挙げられる。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.\,}$

アルティン^[2]は代数曲面の有理二重点がデュバル特異点であることを示した。

• 楕円特異点

• アルティン、マイケル(1966)、「表面の孤立した有理特異点について」、アメリカ数学ジャーナル、88 (1)、ジョンズホプキンス大学出版局: 129–136、doi :10.2307/2373050、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373050、MR  0199191
• コラール、ヤーノシュ、森、重文 (1998)、「代数多様体の双有理幾何学」、ケンブリッジ数学論集、第 134 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511662560、ISBN 978-0-521-63277-5、MR  1658959
• リップマン、ジョセフ (1969)、「有理特異点、代数曲面と一意因数分解への応用」、Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279、ISSN  1618-1913、MR  0276239