空間の分類

数学、特にホモトピー理論において、位相群Gの分類空間 BGは、弱縮約空間EG (すなわち、そのホモトピー群がすべて自明である位相空間) をGの適切な自由作用で割った商である。これは、パラコンパクト多様体上の任意のG主バンドルが主バンドルの引き戻しに同型であるという性質を持つ。^[1]後で説明するように、これは分類空間が位相空間のホモトピー圏上の集合値関数を表すことを意味する。分類空間という用語は、シェルピンスキー空間などの位相空間の圏上の集合値関数を表す空間にも使用できる。この概念は、分類トポスの概念によって一般化される。ただし、この記事の残りの部分では、ホモトピーまでの分類空間という、より一般的に使用される概念について説明する。 ${\displaystyle EG\to BG}$

離散群 Gに対して、BG は、大まかに言えば、Xの基本群がGに同型で、 Xの高次ホモトピー群が自明であるような経路連結 位相空間 Xです。つまり、BGはアイレンバーグ・マクレーン空間、つまりK ( G , 1 ) です。

無限巡回群 Gの分類空間の例としては、Xの円が挙げられる。G が離散群である場合、 Xの条件を指定する別の方法は、 Xの普遍被覆Y が収縮可能であることである。その場合、射影写像

${\displaystyle \pi \colon Y\longrightarrow X\ }$

は構造群Gを持つファイバー束、つまりGの主束になります。分類空間の概念への興味は、実際には、この場合Y がホモトピー範疇において主G束に関して普遍特性を持つという事実から生じます。これは実際には、高次のホモトピー群が消えるという条件よりも基本的なことです。基本的な考え方は、Gが与えられたときに、 G が自由に作用する収縮可能な空間Y を見つけることです。(ホモトピー理論の弱同値性という考えは、2 つのバージョンを関連付けています。) 円の例の場合、言われていることは、無限巡回群C が収縮可能な実数直線R上で自由に作用することに留意することです。Xを商空間円とすると、 R = YからXへの射影 π を、3 次元から平面への射影を受ける幾何学的な用語での螺旋と見なすことができます。主張されていることは、 π が主C束の間で普遍特性を持つということです。任意の主要なCバンドルは明確な方法で π から「来る」。

より形式的な記述では、G が位相群（単に離散群ではない）である可能性があり、Gの群作用は連続的であるとみなされることを考慮に入れている。連続作用がない場合、分類空間の概念は、ホモトピーの用語で、アイレンバーグ・マクレーン空間構成を介して処理できる。ホモトピー理論では、主Gバンドルの分類空間である位相空間BGの定義が、 BG上の普遍バンドルの全空間である空間EGとともに与えられている。つまり、提供されるのは実際には連続マッピングである。

${\displaystyle \pi \colon EG\longrightarrow BG.}$

これからは、CW複体のホモトピー圏が基礎圏であると仮定する。BGに要求される分類特性は、実はπに関係している。任意の主G束 が与えられたとき、

${\displaystyle \gamma \colon Y\longrightarrow Z\ }$

空間Z上では、 ZからBGへの分類写像φが存在し、 はπ の φ に沿った引き戻し です。より抽象的な言葉で言えば、の「ねじれ」による構成は、 φ を介して、 π の構成によってすでに表現されているねじれに還元できるはずです。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

これが有用な概念であるためには、明らかに、そのような空間BG が存在すると信じる何らかの理由がなければなりません。空間の分類に関する初期の研究では、任意の離散群の単体複体としてBGを具体的に記述する構成 (たとえば、バー構成) が導入されました。このような構成により、群コホモロジーとの関連が明らかになります。

具体的には、EG を、 n単体がGの元の順序付き ( n +1) 組である弱い単体複体とします。このようなn単体は、標準単体がその面に接続するのと同じ方法で(n−1) 単体に接続します。ここで、 はこの頂点が削除されることを意味します。複体 EG は縮約可能です。群G はEGに対して左乗法で 作用します。${\displaystyle [g_{0},\ldots,g_{n}]}$${\displaystyle [g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]}$${\displaystyle {\hat {g}}_{i}}$

${\displaystyle g\cdot [g_{0},\ldots,g_{n}]=[gg_{0},\ldots,gg_{n}],}$

そして恒等写像eだけが任意の単体をそれ自身に取ります。したがって、 GのEGへの作用は被覆空間作用であり、商写像は軌道空間の普遍被覆であり、BGはです。^[2]${\displaystyle EG\to EG/G}$${\displaystyle BG=EG/G}$${\displaystyle K(G,1)}$

抽象的な言葉で言えば（この概念が最初に導入された1950年頃に使われていた言葉ではない）、これはある関数が表現可能かどうかという問題である。つまり、ホモトピー圏から集合圏への反変関数は次のように定義される。

h ( Z ) = Z上の主Gバンドルの同型類の集合。

これに関して知られている抽象的な条件 (ブラウンの表現可能性定理) により、存在定理としての結果が肯定的であり、それほど難しくないことが保証されます。

1. 円は 無限巡回群の分類空間である。全空間は${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$${\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}$
2. nトーラスは、階数nの自由アーベル群の 分類空間である。全空間は${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}$
3. n個の円のくさびは、ランクnの自由群の分類空間です。
4. 種数が1以上の閉じた（つまり、コンパクトで境界のない）連結面 Sは、その基本群の分類空間である。 ${\displaystyle \pi_{1}(S).}$
5. 閉じた（つまり、コンパクトで境界のない）連結な双曲多様体 M は、その基本群 の分類空間です。${\displaystyle \pi_{1}(M)}$
6. 有限局所連結CAT(0) 立方複体はその基本群の分類空間である。
7. 無限次元射影空間 （有限次元射影空間の直接極限）は巡回群の分類空間です。全空間は（球面の直接極限）です。あるいは、原点を取り除いたヒルベルト空間を使用することもできます。これは収縮可能です。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$${\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}$${\displaystyle S^{n}.}$
8. 空間は巡回群の分類空間です。ここで、は原点が除去された無限次元ヒルベルト空間の特定の部分集合であると理解され、巡回群は単位根との乗算によってこれに作用すると考えられます。${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$${\displaystyle S^{\infty}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$
9. 非順序配置空間は アルティン組紐群の分類空間であり、^[3]順序配置空間は純粋アルティン組紐群の分類空間である。${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle P_{n}.}$
10. （順序付けされていない）配置空間は 対称群の分類空間である^[4]${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$${\displaystyle S_{n}.}$
11. 無限次元複素射影空間は 、コンパクトな位相群として考えられた円S ¹の分類空間BS ^1です。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$
12. における n平面のグラスマン多様体 は、直交群O( n )の分類空間である。全空間は、におけるn次元正規直交フレームのシュティーフェル多様体である。${\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$

これでも、 BGで効果的な計算を行うという問題は残ります。たとえば、特性類の理論は、少なくともホモトピー理論の制限的な条件の範囲内で、リー群などの興味深いグループGに対して、 BGのコホモロジー群を計算することと本質的に同じです(H. カルタンの定理)。^{[説明が必要]}ボットの周期性定理で示されたように、BGのホモトピー群も基本的な関心事です。

分類空間の例としては、Gが 2 次巡回の場合、BG は無限次元の実射影空間であり、これはEG が無限次元ヒルベルト空間の原点を除去して得られる収縮可能な空間としてとらえることができ、Gはvを介して − vに作用し、BG を選択することでホモトピー同値性を可能にするという観察に対応します。この例は、分類空間が複雑になる可能性があることを示しています。

微分幾何学(チャーン・ヴェイユ理論) やグラスマン多様体の理論との関連では、最も興味深いユニタリー群などのケースに対して、理論へのより実践的なアプローチが可能です。トム複体 MGの構成は、空間BG もコボルディズム理論に関係していることを示しており、そのため、代数位相幾何学から生じる幾何学的考察において中心的な位置を占めています。群コホモロジーは(多くの場合) 分類空間の使用によって定義できるため、多くのホモロジー代数において基礎的なものと見なすこともできます。

一般化には、葉脈を分類するためのものや、「モデル空間」に代わる 直観主義論理における述語計算の論理理論の分類トポスが含まれます。

• O(n) 、B O( n )の分類空間
• U(n) 、B U( n )の分類空間
• SO(n)の分類空間
• SU(n)の分類空間
• 分類スタック
• ボレルの定理
• 同変コホモロジー

• メイ、JP (1999)。代数的位相幾何学の簡潔なコース。シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-51183-2。
• nラボでの空間の分類
• 「空間の分類」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]