ガーベ

数学において、ゲルブ（/ dʒ ɜːr b /、フランス語: [ʒɛʁb]）は、ホモロジー代数と位相幾何学における構成概念である。ゲルブは、アレクサンドル・グロタンディークのアイデアに従って、 2次の非可換コホモロジーのツールとしてジャン・ジロー（Giraud 1971）によって導入された。ゲルブは、ファイバーがグループの分類スタックであるファイバー束の類似物と見ることができる。ゲルブは、特に現代の代数幾何学において、多くの種類の変形問題を扱うための便利で、高度に抽象化された言語を提供する。さらに、ゲルブの特殊なケースは、最近では微分位相幾何学と微分幾何学において、特定のコホモロジー類とそれに付随する追加の構造に対する代替記述を与えるために使用されている。

「Gerbe」はフランス語（および古英語）で、文字通り小麦の 束を意味します。

位相空間 ^{[1] : 318}上のガーベは、局所的に空でない（各​​点には、ガーベの切断圏が空ではない開近傍がある）かつ推移的（任意の開集合 の任意の2つのオブジェクトとに対して、 の開被覆が存在し、それぞれ と の制限が少なくとも 1 つの射によって接続されている） 上の群のスタックです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U_{p})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {X}}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle U_{i}}$

標準的な例としては、固定構造群を持つ主バンドルのゲルベが挙げられます。開集合上の切断カテゴリは、射として同型を持つ主バンドルのカテゴリです(したがって、カテゴリは群体です)。主バンドルは互いに接着する (降下条件を満たす) ため、これらの群体はスタックを形成します。自明なバンドルは、局所的な空でない条件が満たされることを示し、最後に、主バンドルは局所的に自明であるため、十分に小さい開集合に制限すると同型になります。したがって、推移性条件も満たされます。 ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\times H\to X}$

ゲルブの最も一般的な定義はサイト上で定義される。サイトa -ゲルブ^{[2] [3] : 129}は群体でファイバー化されたカテゴリであり、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$

1. の改良^[4] が存在し、あらゆるオブジェクトに対して、関連するファイバーカテゴリは空ではない${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')}$${\displaystyle G_{S}}$
2. 繊維状カテゴリ内の任意の2つのオブジェクトは局所的に同型である${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle G_{S}}$

最終オブジェクト を持つサイトの場合、群にファイバー化されたカテゴリは-gerbeであり、局所セクションを許容します。つまり、 の場合、 は最初の公理を満たします。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ob}}(G_{e})\neq \varnothing }$

サイト上のガーベを検討する主な動機の 1 つは、次の素朴な疑問を検討することです。空間の適切な被覆に対するチェフ コホモロジー群が上の主 -バンドルの同型類を与える場合、反復コホモロジー関数は何を表すのでしょうか。つまり、何らかのコサイクルを介してグループを接着しているということです。ガーベは、この疑問に対する技術的な回答です。ガーベは、高次のコホモロジー群 の要素の幾何学的表現を与えます。この直感は高次のガーベにも当てはまると予想されます。 ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {U}},G)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(-,H^{1}(-,G))}$${\displaystyle H^{1}(U_{i},G)}$${\displaystyle H^{2}({\mathcal {U}},G)}$

ガーベに関する主要な定理の1つは、バンドと呼ばれる固定されたアーベル群の層^{[5] [2]}によって与えられる自己同型群を持つ場合のコホモロジー分類である。サイト、オブジェクト、オブジェクト上のガーベの場合、ガーベの自己同型群は自己同型群として定義される。自己同型群が常に同じである場合は、これが明確に定義されていることに注目してください。被覆が与えられた場合、関連するクラスが存在する。${\displaystyle {\underline {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))}$${\displaystyle L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}}(U)}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}}$

${\displaystyle c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})}$

はによって束ねられたガーベの同型類を表す。例えば、位相幾何学では、群 によって束ねられたガーベを考えることによって、多くのガーベの例を構築することができる。分類空間は整数の第二アイレンベルグ・マクレーン空間なので、位相空間上のによって束ねられたガーベのバンドルは、 の写像のホモトピー類から構築される。${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]}$、

これはまさに第3特異ホモロジー群である。^{[6] の}捩れコホモロジー類を表すすべてのゲルベは、固定された複素ベクトル空間の有限次元代数の束で表されることがわかっている。さらに、非捩れ類は、固定された無限次元可分ヒルベルト空間上のユニタリ作用素の射影群の無限次元主束として表される。すべての可分ヒルベルト空間は平方和可能列の空間に同型であるため、これは明確に定義されていることに注意されたい。ゲルベのホモトピー理論的解釈は、ホモトピーファイバー平方を見ることから来ている。${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\text{End}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \ell^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}}$

ホモトピーファイバーの正方形から直線束が生まれるのと似ている

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}}$

ここで、は 上の直線束の同型類の群として与えられます。 ${\displaystyle BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S}$

パラコンパクト空間上のコンパクトに支えられた複素数値関数の代数を研究することで、ゲルベスの自然な例が生まれる^{[7] pg 3} 。の被覆が与えられた場合、次のように定義されるチェフ群が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{\coprod _{i,j}U_{ij}\rightrightarrows \coprod U_{i}\right\}}$

包含物によって与えられたソースマップとターゲットマップ

${\displaystyle {\begin{aligned}s:U_{ij}\hookrightarrow U_{j}\\t:U_{ij}\hookrightarrow U_{i}\end{aligned}}}$

そして合成可能な矢印の空間はちょうど

${\displaystyle \coprod _{i,j,k}U_{ijk}}$

すると、2次コホモロジークラスは単なる写像となる。${\displaystyle \sigma \in H^{2}(X;U(1))}$

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{ijk}\to U(1)}$

すると、非可換C*-代数 を形成することができ、これは空間のコンパクトで支えられた複素数値関数の集合に関連付けられる。${\displaystyle C_{c}({\mathcal {G}}(\sigma ))}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod _{i,j}U_{ij}}$

これは非可換積で、

${\displaystyle a*b(x,i,k):=\sum _{j}a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma (x,i,j,k)}$

ここで、コホモロジー類は標準的な- 代数 積の乗算をひねります。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle C^{*}}$

を代数的に閉じた体上の多様体、たとえば代数群 とします。上のG -トルソルは、の作用と写像 を持つ代数空間であり、（エタール位相またはfppf 位相において）上で局所的に は直積 となることを思い出してください。M上のG -ゲルブも同様の方法で定義できます。これは、（エタール位相または fppf 位相において）M上で局所的に は直積 となるような写像 を持つアルティンスタックです。^[8]ここで はの分類スタック、つまり、点の自明な -作用による商を表します。その場合、群構造との互換性を強制する必要はありません。これはスタックの定義でカバーされているからです。との基礎となる位相空間は同じですが、各点には と同型の安定化群が備わっています。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :P\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi |_{U}:G\times U\to U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {M}}\to M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [*/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle G}$

連接層の2項複体

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]}$

スキーム上の群の標準層がそれに関連付けられており、開部分集合上には- 加群の2項複体が存在する。${\displaystyle X\in {\text{Sch}}}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle X(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)}$

群性を与える。群性は元によって与えられたオブジェクトを持ち、射は元によって与えられ、${\displaystyle x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)}$${\displaystyle x\to x'}$${\displaystyle y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)}$

${\displaystyle dy+x=x'}$

このスタックがガーベになるためには、コホモロジー層が必ずセクションを持たなければなりません。この仮説は、上で構築されたカテゴリが必ずオブジェクトを持つことを意味します。これは、ホップ代数上のコモジュールの状況に適用して、アフィンまたは射影スタック上のガーベの代数モデルを構築できることに留意してください (次数付きホップ代数を使用する場合は射影性)。さらに、上で平坦なホップ代数上のコモジュールの導出カテゴリの安定化からの 2 項スペクトルは、非厳密なガーベの追加モデルを与えます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle (A,\Gamma )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A}$

種数 の上の滑らかな射影 曲線 を考えます。を上の階数、次数の安定なベクトル束のモジュライスタックとします。これは、準射影多様体である粗いモジュライ空間 を持ちます。これら 2 つのモジュライ問題は同じオブジェクトをパラメータ化しますが、スタック版ではベクトル束の自己同型を覚えています。任意の安定なベクトル束に対して、自己同型群はスカラー乗法のみで構成されるため、モジュライスタックの各点は に同型の安定子を持ちます。この写像は、上記の意味で確かに -gerbe であることがわかります。 ^[9]と が互いに素である場合に限り、これは自明な gerbe です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M_{r,d}^{s}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Aut(E)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$

ルートスタックの構成を使って、別のクラスのゲルブを見つけることができる。非公式には、スキーム上の直線束の - 次ルートスタックは、の - 次ルートを表す空間であり、次のように表記される。${\displaystyle r}$${\displaystyle L\to S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}.\,}$^{[10] 52ページ}

の -乗根スタックは次の性質を持つ。${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L}$

ガーベとして。スタックとして構築されます

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }$

次のような形式の線束をオブジェクトとするカテゴリに-scheme を送信する${\displaystyle S}$${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}}$

および射は同型と互換性のある可換図式である。このゲルベは単位根の代数群によって帯状に覆われており、被覆上では点に対して の因子を循環的に入れ替えることで作用する。幾何学的には、これらのスタックはスタックのファイバー積として形成される。${\displaystyle \alpha _{M}}$${\displaystyle \mu _{r}}$${\displaystyle T\to S}$${\displaystyle (M\to T,\alpha _{M})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{\otimes r}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}}$

ここでの垂直マップはクンマーシーケンスから来ている${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle 1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1}$

これは、が線束のモジュライ空間であるため、線束はカテゴリのオブジェクト（モジュライ空間の点として考えられます）に対応するためです。 ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle L\to S}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(S)}$

セクションを持つルートスタックの関連する構成がもう1つあります。上記のデータから、セクションがあるとします。すると、ペアの-番目のルートスタックは、lax 2-ファンクタとして定義されます^{[10] [11]}${\displaystyle s:S\to L}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (L\to S,s)}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }$

次のような形式の線束をオブジェクトとするカテゴリに-scheme を送信する${\displaystyle S}$${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\\&t\in \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}}$

と射も同様に与えられる。これらのスタックは非常に明示的に構築することができ、アフィンスキームではよく理解されている。実際、これらはセクションを持つルートスタックのアフィンモデルを形成する。^{[11] : 4}局所的には、直線束は自明であると仮定することができ、したがって任意のセクションは要素を取ることと同等である。すると、スタックはスタック商によって与えられる。${\displaystyle S={\text{Spec}}(A)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\in A}$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]}$^{[11] : 9}

と

${\displaystyle B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}}$

の場合、これは の無限小拡張を与えます。 ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]}$

これらの、そしてより一般的な種類のガーベは、幾何学的な空間としても正式な簿記ツールとしても、さまざまなコンテキストで登場します。

• 東谷代数
• 微小な厚みの変形
• 射影多様体のねじれた形
• モチーフのファイバー関数

• ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$および-gerbes: Jean-Luc Brylinskiのアプローチ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$

ゲルベは代数幾何学の文脈で初めて登場しました。その後、より伝統的な幾何学的枠組みの中で Brylinski によって開発されました (Brylinski 1993)。ゲルベは、整数コホモロジー類の幾何学的実現を提供する数学的オブジェクトの階層における自然なステップであると考えることができます。

より専門的なガーベの概念はマレーによって導入され、バンドル ガーベと呼ばれています。本質的には、束ガーベはアーベル ガーベの滑らかなバージョンであり、層よりも主束から始まる階層に属します。バンドル ガーベはゲージ理論や弦理論でも使用されています。現在、他の人による研究では、非アーベル バンドル ガーベの理論が開発されています。

• ねじれた束
• 東谷代数
• ねじれたK理論
• 代数スタック
• バンドルガーベ
• 文字列グループ

• ジロー、ジャン(1971)、コホモロジー ノン アベリエンヌ、スプリンガー、ISBN 3-540-05307-7。
• Brylinski, Jean-Luc (1993)、「ループ空間、特性類、幾何量子化」、Birkhäuser Verlag、ISBN 0-8176-3644-7。

• バンドル ガーベスを使用した構造 - スチュアート ジョンソン
• Orbifolds 上の Gerbes 入門、Ernesto Lupercio、Bernado Uribe。
• ゲルベとは何か？ 、 AMS の通知におけるNigel Hitchin著
• バンドルガーベ、マイケル・マーレー。
• Moerdijk, Ieke . 「Stacks と Gerbes の言語入門」. 2007 年 5 月 20 日閲覧。

• 単体群の前層のホモトピー理論、羅志明

• ツイストK理論とバンドルガーベのK理論
• ツイストバンドルとツイストK理論 - Karoubi

• 弦理論における安定特異点 - 付録にブラウアー群を使ったゲルベの例が含まれています
• 群多様体上のブレーン、グルーオン凝縮、ねじれた K 理論
• 特殊ラグランジアン部分多様体に関する講義 - ミラー対称性への応用を含む非常に現実的な入門
• コンパクトな単純リー群上の基本的なゲルベ -ストリング群などの群をゲルベとして記述するテクニックを示します。