代数曲線

数学において、アフィン代数平面曲線は、 2 変数の多項式の零点集合である。射影代数平面曲線は、3 変数の同次多項式の射影平面における零点集合である。アフィン代数平面曲線は、定義多項式を同次化することで射影代数平面曲線に完成させることができる。逆に、同次方程式h ( x , y , t ) = 0の射影代数平面曲線は、方程式h ( x , y , 1) = 0のアフィン代数平面曲線に制限することができる。これら 2 つの演算は、互いに逆であるため、代数平面曲線という語句は、アフィンの場合と射影の場合のどちらを対象とするかを明示的に指定せずによく使用される。

平面代数曲線の定義多項式が既約である場合、既約平面代数曲線が存在します。そうでない場合、代数曲線は、既約因子によって定義される、その成分と呼ばれる 1 つまたは複数の既約曲線の和集合です。

より一般的には、代数曲線は次元1の代数多様体です。(文脈によっては、次元 1 の代数集合も代数曲線と呼ばれますが、この記事ではそのようには呼びません。) 同様に、代数曲線は既約代数平面曲線と双有理的に同値な代数多様体です。曲線がアフィン空間または射影空間に含まれている場合、そのような双有理的同値性に対して射影を取ることができます。

これらの双有理同値性により、代数曲線の研究のほとんどが代数平面曲線の研究に集約されます。しかし、いくつかの特性は双有理同値性では維持されないため、非平面曲線で研究する必要があります。特に、次数と滑らかさがこれに該当します。たとえば、種数が0 で次数が 2 より大きい滑らかな曲線は存在しますが、そのような曲線の平面投影には特異点があります(種数-次数公式を参照)。

非平面曲線は、空間曲線または斜め曲線と呼ばれることもあります。

ユークリッド平面上の代数曲線は、二変量多項式方程式p ( x , y ) = 0の解である座標を持つ点の集合です。この方程式は、 yをxの関数として明示的に定義する関数のグラフである曲線とは対照的に、曲線の暗黙の方程式と呼ばれることがよくあります。

このような暗黙の方程式で与えられた曲線の場合、最初の問題は曲線の形状を決定し、それを描くことです。これらの問題は、さまざまなx値に対してy を簡単に計算できる関数のグラフの場合ほど簡単には解決できません。定義方程式が多項式であるという事実は、曲線がこれらの問題を解決するのに役立つ可能性のあるいくつかの構造的特性を持っていることを意味します。

すべての代数曲線は、有限個の滑らかな単調な弧(枝とも呼ばれる) に一意に分解できます。これらの弧は、時には「注目すべき点」と呼ばれるいくつかの点で接続され、場合によってはアクノードと呼ばれる有限個の孤立した点に分解できます。滑らかな単調な弧は、 x軸の開区間上で定義され単調である滑らかな関数のグラフです。各方向で、弧は無限 (通常、無限弧と呼ばれる) であるか、特異点 (これは以下で定義されます) または座標軸の 1 つに平行な接線を持つ点のいずれかである端点を持ちます。

たとえば、チルンハウゼン 3 次曲線では、原点 (0,0) を終点とする無限弧が 2 つあります。この点は、曲線の唯一の特異点です。また、この特異点を 1 つの終点とし、水平接線を持つ 2 番目の終点を持つ弧が 2 つあります。最後に、水平接線を持つこれらの点のいずれかを最初の終点とし、垂直接線を持つ唯一の点を 2 番目の終点とする他の 2 つの弧があります。対照的に、正弦波は確かに代数曲線ではなく、単調な弧が無限にあります。

代数曲線を描くには、注目すべき点とその接線、無限枝とその漸近線(存在する場合)、および弧がそれらを結ぶ方法を知ることが重要です。変曲点を注目すべき点として考えることも役立ちます。このすべての情報を 1 枚の紙に描くと、通常、曲線の形状がかなり明確に現れます。そうでない場合は、曲線を適切に記述するために、他のいくつかの点とその接線を追加するだけで十分です。

注目すべき点とその接線を計算する方法については、以下の「平面曲線の注目すべき点」セクションで説明します。

射影空間内の曲線を考慮することが望ましい場合がよくあります。射影平面内の代数曲線または平面射影曲線は、射影座標が3 つの変数P ( x、y、z ) の同次多項式の零点である射影平面内の点の集合です。

方程式p ( x , y ) = 0のすべてのアフィン代数曲線は、方程式 の射影曲線に完成できます。ここで、 は pの同次化 の結果です。逆に、P ( x , y , z ) = 0 が射影曲線の同次方程式である場合、P ( x , y , 1) = 0 は、3 番目の射影座標が 0 でない射影曲線の点から構成されるアフィン曲線の方程式です。これらの 2 つの演算は、 および のように相互に逆数であり、pが によって定義されている場合、同次多項式P がzで割り切れなくなるとすぐに になります。 ${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=0,}$$${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$$${\displaystyle ^{h}p(x,y,1)=p(x,y)}$${\displaystyle p(x,y)=P(x,y,1)}$${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z),}$

たとえば、方程式x ² + y ² − z ^{2の射影曲線は、方程式}x ² + y ² − 1 = 0 の単位円の射影完備化です。

これは、アフィン曲線とその射影完備化が同じ曲線であることを意味します。より正確には、アフィン曲線は射影曲線の一部であり、その一部が「完全な」曲線をうまく定義できるほど大きいことを意味します。この観点は、一般に、アフィン曲線の「無限遠点」を射影完備化の点 (有限個) のうちアフィン部分に属さない点と呼ぶことで表現されます。

射影曲線はそれ自体でよく研究されるが、アフィン曲線の研究にも役立つ。例えば、p ( x , y )がアフィン曲線を定義する多項式である場合、偏微分とに加えて、無限遠での微分を考慮すると便利である。${\displaystyle p'_{x}}$${\displaystyle p'_{y}}$ $${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}。}$$

例えば、方程式p ( x , y ) = 0 のアフィン曲線の点 ( a , b ) における接線の方程式は、 $${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.}$$

このセクションでは、二変量多項式p ( x , y ) によって定義される平面代数曲線と、pの均質化によって定義されるその射影完備化について考察します。 ${\displaystyle P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)}$

曲線と特定の直線との交点がわかっていると、多くの場合役に立ちます。座標軸との交点と漸近線は、曲線を描くのに役立ちます。軸に平行な直線と交差することで、曲線の各分岐で少なくとも 1 つの点を見つけることができます。効率的な根探索アルゴリズムが利用できる場合は、 y軸に平行でx軸上の各ピクセルを通過するすべての直線との交点をプロットすることで、曲線を描くことができます。

曲線を定義する多項式の次数がdの場合、どの直線も最大d個の点で曲線を切断します。ベズーの定理は、点が代数的に閉じた体(たとえば複素数) 上の射影平面で検索され、その重複度で数えられる場合、この数はちょうどdであると主張します。次の計算方法は、この単純なケースでこの定理を再度証明します。

多項式pで定義される曲線と方程式ax + by + c = 0の直線との交点を計算するには、直線の方程式をxについて（またはa = 0の場合はyについて）解きます。結果をpに代入すると、単変数方程式q ( y ) = 0 （または、直線の方程式がyで解かれている場合はq ( x ) = 0 ）が得られ、各方程式の根は交点の 1 つの座標です。もう 1 つの座標は、直線の方程式から推定されます。交点の重複度は、対応する根の重複度です。qの次数がpの次数よりも低い場合、交点は無限遠に存在します。このような交点の無限遠での重複度は、pとqの次数の差です。

曲線の点 ( a , b )における接線は、暗黙の方程式によって定義されるすべての微分可能曲線と同様に、方程式の直線です。多項式の場合、接線の別の式はより単純な定数項を持ち、より対称的です。 ${\displaystyle (xa)p'_{x}(a,b)+(yb)p'_{y}(a,b)=0}$

$${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,}$$

ここで は無限大での導関数です。2 つの方程式が等しいことは、Pにオイラーの同次関数定理を適用した結果です。 ${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)}$

接線が定義されておらず、点が特異点である場合。 ${\displaystyle p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,}$

これは射影の場合にもそのまま当てはまる。方程式P ( x , y , z )=0の 射影曲線の射影座標( a : b : c )の点における接線の方程式は、

$${\displaystyle xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,}$$

そして、曲線の特異点とは、

$${\displaystyle P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.}$$

（これらの条件とオイラーの同次関数定理により、 条件P ( a , b , c ) = 0 が暗示されます。）

代数曲線のすべての無限枝は、曲線上の無限遠点、つまり曲線の射影完備化の点に対応しますが、これは曲線のアフィン部分には属しません。対応する漸近線は、その点における曲線の接線です。射影曲線の接線の一般的な公式を適用できますが、この場合は明示的にする価値があります。

を曲線を定義する多項式を同次部分に分解したものとしよう。ここでp _{i は}pのi次単項式の和である。従って 、 ${\displaystyle p=p_{d}+\cdots +p_{0}}$$${\displaystyle P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}}$$$${\displaystyle P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).}$$

曲線の無限遠点は、形式 ( a , b , 0)のpの零点です。同様に、 ( a , b ) はp _dの零点です。代数の基本定理は、代数的に閉じた体 (通常は複素数体) 上で、p _{d が}線形因子の積に因数分解されることを示唆しています。各因子は、曲線上の無限遠点を定義します。bx  −  ayがそのような因子である場合、無限遠点 ( a , b , 0) を定義します。実数上では、p _{d は}線形因子と二次因子に因数分解されます。既約な二次因子は、無限遠点の非実数点を定義し、実数は線形因子によって与えられます。 ( a , b , 0) が曲線の無限遠点である場合、 ( a , b ) は漸近方向であると言えます。q = p dと設定すると_、対応する漸近線の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.}$$

であり、漸近線は無限遠点にある直線であり、実際のケースでは、曲線は放物線のような分岐を持ちます。この場合、曲線は放物線状の分岐を持つと言われています。 曲線が無限遠点に特異点を持ち、 である場合、漸近線は複数ある可能性があります。それらは、特異点の接円錐を計算する方法で計算できます。 ${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0}$${\displaystyle p_{d-1}(a,b)\neq 0,}$$${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,}$$

次数dの多項式p ( x , y )によって定義される次数dの曲線の特異点は、次の連立方程式の解です。 特性 0 では、この連立方程式は と同等です。 ここで、前のセクションの表記を用いると、 となります。これらの連立方程式は、オイラーの同次関数定理 により同等です。後者の連立方程式には、3 番目の多項式がdではなくd -1 になるという利点があります。 $${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.}$$$${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,}$$${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).}$

同様に、次数dの同次多項式P ( x , y , z )によって定義される射影曲線の場合、特異点は 同次座標 として系の解を持ちます。(正の特性では、方程式を系に追加する必要があります。) $${\displaystyle P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0}$$${\displaystyle P(x,y,z)}$

これは、 p ( x , y ) またはP ( x , y , z ) が平方自由である限り、特異点の数は有限であることを意味します。ベズーの定理は、特異点の数が最大で ( d −  1) ²であることを意味しますが、方程式系が過剰決定されているため、この境界は明確ではありません。既約多項式が許される場合、明確な境界はd ( d −  1)/2 であり、この値は、多項式が線形因子で因数分解される場合、つまり曲線がd本の直線の和である場合に到達します。既約曲線と既約多項式の場合、特異点の項で種数を表す式のため、特異点の数は最大で ( d − 1)( d − 2)/2 です( 以下を 参照)。最大値は、すべての特異点が重複度 2 で異なる接線を持つ種数 0 の曲線によって達成されます (以下を参照)。

特異点における接線の方程式は、特異点における多項式のテイラー級数の最低次数の非ゼロ同次部によって与えられます。座標を変更して特異点を原点に置くと、特異点における接線の方程式は多項式の最低次数の非ゼロ同次部となり、特異点の重複度はこの同次部の次数になります。

特異点の近傍における代数曲線の解析構造を研究することで、特異点の位相に関する正確な情報が得られます。実際、特異点の近傍では、実代数曲線は、特異点のみで交差し、尖端または滑らかな曲線のよう に見える有限個の枝の和集合です。

正規点の近くでは、曲線の座標の 1 つを他の座標の解析関数として表すことができます。これは解析的暗黙関数定理の系であり、曲線がその点の近くで滑らかであることを意味します。特異点の近くでは、状況はより複雑になり、枝の 解析的パラメトリック方程式を提供するピュイズー級数が関係します。

特異点を記述するには、特異点が原点になるように曲線を変換する価値があります。これは、特異点の座標である形式の変数の変更で構成されます。以下では、検討中の特異点は常に原点にあると想定されています。 ${\displaystyle X=x-a,Y=y-b,}$${\displaystyle a,b}$

代数曲線の方程式は、fがxとyの多項式である場合に成り立ちます。この多項式は、xのピュイズー級数の代数的に閉じた体に係数を持つ、yの多項式と見なすことができます。したがって、f は、 Pがピュイズー級数である形式の因数に分解できます。 fが既約多項式である場合、これらの因数はすべて異なります。これは、 fが平方でないことを意味するためであり、これは係数体に依存しない特性です。 ${\displaystyle f(x,y)=0,}$${\displaystyle y-P(x),}$

ここで現れるピュイズー級数は 、 dが正の整数 で、⁠ ⁠も正であると考えられる整数である形式を持ちます。これは、原点を通る曲線の枝のみを考慮しているためです。一般性を失うことなく、d がnの最大公約数と互いに素であり、 ⁠ ⁠であると仮定できます(そうでない場合は、指数に小さい公分母を選択できます)。 $${\displaystyle P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},}$$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

⁠ ⁠ を${\displaystyle \omega _{d}}$d乗の原始根とします。上記のピュイズー級数が⁠ ⁠${\displaystyle f(x,y)=0}$の因数分解で発生する場合、d級数 も因数分解で発生します (ガロア理論 の結果)。これらのd級数は共役であると言われ、分岐指数dの曲線の単一の枝として考えられます。 $${\displaystyle P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}}$$

実曲線、つまり実係数を持つ多項式で定義される曲線の場合、3 つのケースが考えられます。⁠ ⁠ の${\displaystyle P_{i}(x)}$いずれも実係数を持たない場合、非実数枝になります。⁠ ⁠のうちいくつかが実係数を持つ場合、それを${\displaystyle P_{i}(x)}$⁠ ⁠${\displaystyle P_{0}(x)}$として選択できます。dが奇数の場合、 xのすべての実数値は⁠ ⁠${\displaystyle P_{0}(x)}$の実数値を提供し、 d > 1の場合は特異ですが、規則的に見える実数枝になります。dが偶数の場合、⁠ ⁠${\displaystyle P_{0}(x)}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle P_{d/2}(x)}$実数値を持ちますが、x ≥ 0の場合のみです。 この場合、実数枝は尖端のように見えます(または、使用される尖端の定義によっては尖端になります)。

たとえば、通常のカスプには分岐が 1 つしかありません。これが方程式で定義されている場合、因数分解は次のようになります。分岐指数は 2 で、2 つの因子は実数であり、それぞれが半分岐を定義します。カスプを回転させると、方程式は次のようになり、因数分解は次のようになります(係数⁠ ⁠ は、上記の⁠ ⁠の定義がどのように特殊化されているかを示すためにjに簡略化されていません)。ここで、分岐指数は 3 で、1 つの因子のみが実数です。これは、最初のケースでは、2 つの因子が同じ分岐を定義していると見なす必要があることを示しています。 ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0,}$${\displaystyle (y-x^{3/2})(y+x^{3/2});}$${\displaystyle y^{3}-x^{2}=0,}$${\displaystyle (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),}$${\displaystyle j=(1+{\sqrt {-3}})/2}$${\displaystyle (j^{2})^{2}}$${\displaystyle P_{i}(x)}$

代数曲線は次元1の代数多様体です。これは、次元nのアフィン空間のアフィン曲線が、少なくともn変数のn  − 1 多項式によって定義されることを意味します。曲線を定義するには、これらの多項式がKrull 次元1の素イデアルを生成する必要があります。この条件は実際にはテストが容易ではありません。したがって、非平面曲線を表す次の方法が好ましい場合があります。

2変数x ₁とx _2のn個の多項式でfが既約であるとする。n次元のアフィン空間の点であって、座標が方程式と不等式を満たすものは、 ${\displaystyle f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}}$$

は、有限個の点が除去された代数曲線のすべての点です。この曲線は、多項式hのイデアルの生成元システムによって定義され、によって生成されたイデアルに属する整数kが存在するようにします。この表現は、曲線とfによって定義される平面曲線との間の双有理同値です。すべての代数曲線は、このように表現できます。ただし、最初の 2 つの変数への射影をほぼ常に単射にするには、変数の線形変換が必要になる場合があります。変数の変更が必要な場合、無限体上で定義されていれば、ほぼすべての変更が便利です。 ${\displaystyle g_{0}^{k}h}$${\displaystyle f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}}$

この表現により、非平面代数曲線のあらゆる特性（グラフィカル表現を含む）を、その平面投影の対応する特性から簡単に推測できるようになります。

暗黙の方程式で定義される曲線の場合、上記の曲線の表現は、より小さな変数のブロックが ( x ₁ , x _{2 ) である}ブロック順序のグレブナー基底から簡単に演繹できます。多項式f は、 x ₁とx ₂のみに依存する基底の一意の多項式です。分数g _i / g _0は、 i = 3, ..., nに対して、 x _iに線形で x 1 、 x 2 、および x i のみに依存する基底の多項式を_選択すること_により得られ_ます。これらの選択が不可能な場合は、方程式が多様体ではない代数集合を定義しているか、多様体が次元 1 ではないか、または座標を変更しなければならないことを意味します。後者の場合は、f が存在して一意であり、i = 3, ..., nに対して、主単項式がx ₁、x _{2 、}およびx _iのみに依存する多項式が存在する場合に発生します。

代数曲線の研究は、既約代数曲線の研究に還元できます。既約代数曲線とは、2 つの小さな曲線の和として表すことができない曲線です。双有理同値性を除き、体F上の既約曲線は、 F上の 1 変数の代数関数体と圏的に同値です。このような代数関数体は、F上で超越的な元x を含むFの体拡大Kであり、K はF上の 不定元xの有理関数体であるF ( x )の有限代数拡大です。

たとえば、複素数体C を考えます。この体の上に、 C内の有理関数の 体C ( x ) を定義できます。y ² = x ³ − x − 1の場合、体C ( x ,  y ) は楕円関数体です。元x は一意に決定されません。たとえば、体はC ( y ) の拡張と見なすこともできます。関数体に対応する代数曲線は、 y ² = x ³ − x − 1を満たすC ^{2内の点 (} x ,  y )の集合にすぎません。

体F が代数的に閉じていない場合、関数体の観点は、点の軌跡を考える観点よりも少し一般的です。これは、たとえば、点のない「曲線」も含められるためです。たとえば、基底体F が実数体Rである場合、 x ² + y ² = −1はR ( x )の代数拡大体を定義しますが、 R ²のサブセットとして考えられる対応する曲線には点がありません。方程式x ² + y ² = −1は、スキームの意味でのR上の既約代数曲線を定義します( R上の有限型の積分、分離された1 次元スキーム)。この意味で、 F上の既約代数曲線(双有理同値を除く) とF上の 1 変数の代数関数体との間の 1 対 1 対応は一般に成り立ちます。

2 つの曲線は、曲線として同型でなくても、双有理的に同値である (つまり、同型の関数体を持つ) 場合があります。特異でない曲線、つまり特異点のない曲線を扱う場合、状況は簡単になります。体上の 2 つの特異でない射影曲線は、関数体が同型である場合に限り、同型です。

ツェンの定理は、代数的に閉じた体上の代数曲線の関数体に関する定理です。

複素射影代数曲線は、 n次元複素射影空間CP ⁿに存在します。これは複素次元nを持ちますが、実多様体 としての位相次元は2 nであり、コンパクト、連結、および向き付け可能です。 C上の代数曲線も同様に位相次元が 2 です。つまり、面です。

この曲面の位相的種数、つまり取っ手またはドーナツの穴の数は、代数的手段で計算できる代数曲線の幾何学的種数に等しくなります。つまり、次数 dで通常の特異点 (異なる接線を持つ重複度 2 の特異点) のみを持つ非特異曲線の平面投影を考えると、種数は( d − 1)( d − 2)/2 − kです( kはこれらの特異点の数)。

リーマン面は、1 つの複素次元の連結された複素解析多様体であり、2 次元の連結された実多様体になります。位相空間としてコンパクトである場合、 コンパクトです。

C上の滑らかな既約射影代数曲線のカテゴリ(非定数正則写像を射として持つ)、コンパクト リーマン面のカテゴリ (非定数正則写像を射として持つ)、およびC上の1 変数の代数関数体のカテゴリの反対( C を射として固定する体準同型を持つ)の間には、カテゴリの三重同値性があります。これは、これら 3 つの主題を研究することで、ある意味で 1 つの同じことを研究していることを意味します。これにより、複素解析的手法を代数幾何学で使用でき、複素解析では代数幾何学的手法を、両方では体論的手法を使用できます。これは、代数幾何学のより広範な問題の特徴です。

より一般的な理論については 代数幾何学と解析幾何学も参照してください。

接空間の本質的な概念を用いると、代数曲線C上の点Pは滑らかな点（同義語：非特異点）か、そうでなければ特異点に分類されます。n  + 1 変数 のn − 1 同次多項式が与えられれば、ヤコビ行列は偏導 関数の( n − 1)×( n + 1) 行列として求め られます。この行列の階数がn  − 1 の場合、多項式は代数曲線を定義します（そうでない場合は、より高次元の代数多様体を定義します）。 ヤコビ行列が曲線上の点Pで評価されたときに階数がn − 1 のままであれば、その点は滑らかな点または正則な点であり、そうでない場合は特異点です。特に、曲線が単一の斉次多項式方程式f ( x , y , z ) = 0 で定義される平面射影代数曲線である場合、特異点は1×( n + 1)行列の階数が 0 である点Pとまったく 同じであり、つまり、 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.}$$

fは多項式なので、この定義は純粋に代数的であり、体Fの性質について何も仮定しません。特に、体 F は実数または複素数である必要はありません。もちろん、(0,0,0) は曲線の点ではなく、したがって特異点ではないことを思い出してください。

同様に、単一の多項式方程式f ( x , y ) = 0で定義されるアフィン代数曲線の場合、特異点は、 1× nヤコビ行列の階数がゼロである曲線の点P です。つまり、

$${\displaystyle f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.}$$

曲線の特異点は双有理不変量ではありません。しかし、曲線の特異点の位置を特定して分類することは、双有理不変量である種数を計算する 1 つの方法です。これが機能するには、曲線を射影的に考慮し、曲線に属するすべての特異点が考慮されるように、F が代数的に閉じていることを要求します。

特異点には、曲線がそれ自身と交差する複数の点や、(0,0) における 方程式x ³  = y ²の曲線で示されるようなさまざまな種類の尖点が含まれます。

曲線C には、最大で有限個の特異点があります。特異点がない場合、曲線Cは滑らかまたは非特異と呼ばれます。一般に、この定義は代数的に閉じた体上、および射影空間(つまり、代数幾何学の意味で完全な)内の曲線 C に対して理解されます。たとえば、方程式の平面曲線は、無限遠に特異点 (尖点) を持つため、特異であると見なされます。 ${\displaystyle y-x^{3}=0}$

このセクションの残りの部分では、二変量多項式 f ( x , y )の零点集合として定義される平面曲線Cについて考察します。結果の一部は、すべてではありませんが、非平面曲線に一般化できます。

特異点はいくつかの不変量に​​よって分類される。多重度mは、 m -1までのすべての次数に対するfの導関数が0になる最大の整数として定義される（また、 P における曲線と直線の最小の交点数でもある）。直感的に、特異点にはデルタ不変量 δ は通常の二重点δがPに集中する場合に成り立つ。これを正確に言うと、爆発過程によっていわゆる無限に近い点、無限に近い点にわたってm ( m  − 1)/2と（ここでmはそれらの重複度）、δ。既約で既約な曲線と点Pについて、 δ を代数的に の長さとして定義することができる。ここでPにおける局所環であり はその整閉包である。^[1]${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}}$

特異点のミルノア数 μは、写像の次数である⁠勾配f ( x , y )/|勾配 f ( x , y )|⁠ は、連続写像 の位相次数の意味で、半径 ε の小球面上に存在します。ここで、 grad  fはfの（複素）勾配ベクトル場です、ミルナー・ユングの公式によって δ とrに関連付けられています

ここで、 Pの分岐数r は、 Pにおける局所的に既約な分岐の数です。たとえば、通常のカスプではr = 1 で、通常の二重点でr = 2 です。多重度mは少なくともrであり、mが少なくとも 2の場合にのみPは特異です。さらに、 δ は少なくともm ( m -1)/2 です。

すべての特異点のデルタ不変量を計算すると、曲線の種数 gが決定されます。dが次数である場合、

$${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$$

ここで、和は複素射影平面曲線のすべての特異点Pにわたって取られます。これは種数公式と呼ばれます。

不変量 [ m , δ, r ] を特異点に割り当てます。ここで、mは多重度、 δ はデルタ不変量、r は分岐数です。すると、通常のカスプは不変量 [2,1,1] を持つ点であり、通常の二重点は不変量 [2,1,2] を持つ点であり、通常のm多重点は不変量 [ m , m ( m  − 1)/2, m ]を持つ点です。

有理曲線は一筆曲線とも呼ばれ、直線と双有理的に同値な曲線であり、射影直線とみなすことができます。したがって、曲線の関数体と、1 つの不定元F ( x ) 内の有理関数体とを同一視できます。Fが代数的に閉じている場合、これは種数0の曲線に相当します。ただし、実代数多様体x ²  +  y ² = −1上で定義されるすべての実代数関数の体は、 種数 0 の体であり、有理関数体ではありません。

具体的には、 F上のn次元のアフィン空間に埋め込まれた有理曲線は、単一のパラメータtのn 個の有理関数によってパラメータ化できます (孤立した例外的な点を除く) 。これらの有理関数を同じ分母に簡約すると、結果として得られるn +1 個の多項式は、射影空間における曲線の射影完備化の多項式パラメータ化を定義します。一例として、有理正規曲線があり 、ここでこれらの多項式はすべて単項式です。

F上に定義され、F内に有理点を持つ任意の円錐曲線は有理曲線です。有理点を通る傾きt の線と平面二次曲線との交点を描くことで、有理曲線をパラメータ化できます。これにより、 F有理係数と 1 つのF有理根を持つ多項式が生成されます。したがって、もう 1 つの根もF有理です (つまり、Fに属します)。

例えば、楕円x ²  +  xy  +  y ^{2 = 1 を考えます。ここで (-1, 0) は有理点です。 (-1,0) から傾き}t の直線を描き、y  =  t ( x  + 1) とし、これを楕円の方程式に代入して因数分解し、  xについて解くと、次式が得られます。

$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.}$$

するとyの式は次のようになる。

$${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,}$$

これは楕円の有理パラメータ化を定義し、したがって楕円が有理曲線であることを示します。楕円のすべての点は、t  = ∞に対応する(-1,1)を除いて与えられます。したがって、曲線全体は実射影直線によってパラメータ化されます。

このような有理パラメータ化は、最初の射影座標をパラメータ化の分子に、最後の射影座標を共通分母に等しくすることで、射影空間で考えることができる。パラメータは射影直線で定義されるため、パラメータ内の多項式は同次化される必要がある。たとえば、上記の楕円の射影パラメータ化は

$${\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}$$

これらの方程式間のTとU を消去すると、楕円の射影方程式が再び得られます 。これは、上記の方程式を同次化することで簡単に直接得ることができます。 $${\displaystyle X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},}$$

Wikipedia の曲線リストにある曲線の多くは有理曲線であり、したがって同様の有理パラメータ化を持ちます。

有理平面曲線は、 に埋め込まれた有理曲線です。2つの座標 における 次数同次多項式の一般的なセクションが与えられると、次数の有理平面曲線を定義することによって与えられる写像があります。^{[2]このような}安定な曲線すべてをパラメータ化する、関連付けられたモジュライ空間(ここでは超平面クラス)があります。次元カウントを行って、モジュライ空間の次元を決定できます。にはパラメータがあり、各セクションのパラメータ合計が与えられます。次に、 の射影商まで考慮されるため、のパラメータは少なくなります。さらに、 の自己同型の 3 次元群が存在するため、 は次元 を持ちます。このモジュライ空間を使用して、グロモフ–ウィッテン理論を使用して、点と交差する 次数有理平面曲線の数を数えることができます。^[3]これは、 の再帰関係によって与えられ、ここで です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}}$$$${\displaystyle s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]}$$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])}$${\displaystyle [H]}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle 3d+3}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle 3d+3-1-3=3d-1}$${\displaystyle N_{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 3d-1}$$${\displaystyle N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)}$$${\displaystyle N_{1}=N_{2}=1}$

楕円曲線は、有理点を持つ種数1の曲線として定義できます。一般的なモデルは、種数1の曲線をモデル化するのに十分な、特異でない3次曲線です。このモデルでは、区別される点は、通常、無限遠での変曲点とみなされます。これは、曲線がテイト・ワイエルシュトラス形式で記述できることを要求することになり、その射影バージョンは次のようになります。 $${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.}$$

体の特性が2と3と異なる場合、座標の線形変換により、古典的なワイエルシュトラス形式を与える配置が可能になります。${\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,}$$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q.}$$

楕円曲線は、群法則の恒等式として区別される点を持つアーベル群の構造を持ちます。平面立方モデルでは、群内の 3 つの点の和が 0 になるのは、それらの点が同一線上にある場合のみです。複素数上で定義された楕円曲線の場合、群は、対応する楕円関数の周期格子を法として複素平面の加法群と同型です。

2 つの2 次曲面の交差は、一般に、有理点がある場合は、種数 1、次数 4 の非特異曲線であり、したがって楕円曲線です。特殊なケースでは、交差は有理特異 4 次曲線になるか、または常に区別できるとは限らないより小さい次数の曲線に分解されます (3 次曲線と直線、2 つの円錐曲線、円錐曲線と 2 つの直線、または 4 つの直線)。

種数が1 より大きい曲線は、有理曲線や楕円曲線とは大きく異なります。有理数上で定義されたこのような曲線は、ファルティングスの定理によって、有限個の有理点のみを持つことができ、双曲幾何学構造を持つと見なすことができます。例としては、超楕円曲線、クラインの 4次曲線、およびnが 3 より大きい場合のフェルマー曲線x ⁿ + y ⁿ = z ^{n が}あります。また、の射影平面曲線やの曲線には、多くの有用な例があります。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

次数 の平面曲線は、一般切断の消失点として構成することができ、 連接層コホモロジー を 使って計算できる種数 を持ちます。次数に関連する曲線の種数の簡単な概要を以下に示します。 ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))}$$${\displaystyle {\frac {(k-1)(k-2)}{2}}}$$

たとえば、曲線は種数 の曲線を定義しますが、この曲線は滑らかな曲線です。これは、微分が曲線と共通の零点を持たないためです。一般的な断面の非例は、ベズーの定理により、ほとんどの 点で交わる曲線 は、 2 点で交わる2 つの有理曲線の和集合です。は の消失軌跡 によって与えられ、は の消失軌跡 によって与えられることに注意してください。これらは明示的に求めることができます。 の場合、点は両方に存在します。したがって、2 つの解はとなる点であり、およびです。 ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4x^{3},4y^{3},4z^{3}}$${\displaystyle x(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle [0:y:z]}$${\displaystyle y^{2}+z^{2}=0}$${\displaystyle [0:1:-{\sqrt {-1}}]}$${\displaystyle [0:1:{\sqrt {-1}}]}$