代数空間

数学 において、代数空間は、マイケル・アルティン^[1]が変形理論での使用のために導入した代数幾何学のスキームの一般化を形成します。直感的には、スキームはザリスキー位相を使用してアフィンスキームを貼り合わせることで与えられ、代数空間はより細かいエタール位相を使用してアフィンスキームを貼り合わせることで与えられます。あるいは、スキームはザリスキー位相のアフィンスキームに局所的に同型であると考えることもできますが、代数空間はエタール位相のアフィンスキームに局所的に同型です。

結果として得られる代数空間のカテゴリはスキームのカテゴリを拡張し、モジュライ空間の構築で使用されるが、より小さなスキームのカテゴリでは必ずしも可能ではないいくつかの自然な構成、たとえば有限群による自由作用の商を取ることなどを実行することを可能にします（キール-モリの定理を参照）。

代数空間を定義する一般的な方法は 2 つあります。代数空間は、エタール同値関係によるスキームの商として定義するか、スキームに局所的に同型である大きなエタール サイト上の層として定義することができます。これら 2 つの定義は本質的に同等です。

代数空間 XはスキームUと、次の2つの条件を満たす 閉じたサブスキームR⊆U × Uで構成されます。

1. RはU × Uの部分集合としての同値関係である

2.各因子への射影p _i : R → Uはエタール写像である。

ナットソンなどの一部の著者は、代数空間は準分離されなければならないという追加の条件を追加します。これは、対角写像が準コンパクトであることを意味します。

RとU は常にアフィン スキームであると仮定できます。そうすると、代数空間の理論はスキームの完全な理論に依存せず、実際にはその理論の (より一般的な) 代替として使用できることになります。

R がUの各連結成分上の自明な同値関係である場合（つまり、Uの同じ連結成分に属するすべてのx、yについて、 x = yの場合にのみxRyが成り立つ）、代数空間は通常の意味でのスキームになります。一般的な代数空間X はこの要件を満たさないため、Uの単一の連結成分が多くの「シート」でX を覆うことができます。代数空間Xの基礎となる点集合は、同値類の集合として| U | / | R | で与えられます。

Y を同値関係S ⊂ V × Vによって定義される代数空間とする。代数空間の射の集合 Hom( Y , X ) は、降下列

${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)}$

正確です（この定義は、アフィンスキームの射影エタール写像に対するグロタンディークの下降定理に基づいています）。これらの定義により、代数空間はカテゴリを形成します。

Uを多項式系g ( x )、x = ( x ₁ , ..., x _n )で定義される体k上のアフィンスキームとし、

${\displaystyle k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\ }$

x上のk上の代数関数の環を表し、X = { R ⊂ U × U } を代数空間とします。

X上の適切な茎 Õ _{X , x}は、 Õ _{U , u}によって定義される代数関数の局所環として定義されます。ここで、_u ∈ Uはx上の点であり、Õ _{U , u}は環の uに対応する局所環です。

k { x ₁ , ...,  x _n } / ( g )

U上の代数関数。

代数空間上の点は、不定元z ₁ , ..., z _dに対してÕ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } が成り立つとき、滑らかであるといわれます。この場合、 xにおけるXの次元はdと定義されます。

代数空間の射f : Y → Xは、 y ∈ Y（ただしx = f ( y )）においてエタールであるとは、茎上の誘導写像

Õ _{X , x} → Õ _{Y , y}

同型です。

代数空間X上の構造層 O _Xは、 V上の関数の環O ( V ) (先ほど定義した意味でVからアフィン直線A ^{1へのエタール写像によって定義される) を、} X上のエタールである任意の代数空間Vに関連付けることによって定義されます。

代数空間は 集合の層として定義できる ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{集合}}}$

そのような

1. 全射エタール射がある${\displaystyle h_{X}\to {\mathfrak {X}}}$
2. 対角射は表現可能です。${\displaystyle \Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$

2番目の条件は、任意のスキームと射が与えられたとき、それらの層のファイバー 積が${\displaystyle Y,Z}$${\displaystyle h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle h_{Y}\times _{\mathfrak {X}}h_{Z}}$

は 上のスキームによって表現できます。Knutson などの一部の著者は、代数空間が準分離でなければならないという追加の条件を追加していることに注意してください。これは、対角写像が準コンパクトであることを意味します。 ${\displaystyle S}$

代数空間はスキームに似ており、スキームの理論の多くは代数空間にまで拡張されます。たとえば、スキームの射のほとんどの特性は代数空間にも適用され、準コヒーレント層のコホモロジーを定義することができ、これは適切な射の通常の有限性特性を持ちます、などです。

• 次元 1 の体 (曲線) 上の適切な代数空間はスキームです。
• 体（滑らかな表面）上の次元 2 の非特異な固有代数空間はスキームです。
• 体上の代数空間のカテゴリ内の準分離群オブジェクトはスキームですが、スキームではない非準分離群オブジェクトも存在します。
• 任意のスキーム上の代数空間のカテゴリにおける可換群オブジェクトで、適切、局所有限表示、平坦、および 0 次元でコホモロジー的に平坦であるものはスキームです。
• すべての特異代数面がスキームであるわけではありません。
• 広中の例は、スキームではない非特異 3 次元の適切な代数空間を与えるために使用できます。これは、自由に作用する位数 2 の群によるスキームの商で与えられます。これは、スキームと代数空間の 1 つの違いを示しています。つまり、自由に作用する離散群による代数空間の商は代数空間ですが、自由に作用する離散群によるスキームの商は、スキームである必要はありません (グループが有限であっても)。
• すべての準分離代数空間には稠密な開アフィン部分スキームが含まれ、そのような部分スキームの補集合は常に余次元が1 以上になります。したがって、代数空間は、ある意味でアフィンスキームに「近い」と言えます。
• 格子による複素数の商は代数空間ですが、楕円曲線ではありません。対応する解析空間は楕円曲線です (より正確には、複素代数空間から解析空間への関数による楕円曲線の像です)。実際、この代数空間の商はスキームではなく、完全ではなく、準分離さえされていません。これは、代数空間を無限離散群で割った商は代数空間ですが、奇妙な特性を持つ可能性があり、「期待」していた代数空間ではない可能性があることを示しています。同様の例は、複素アフィン直線を整数で割った商、または複素アフィン直線から原点を引いた商をある数の累乗で割った商によって与えられます。この場合も、対応する解析空間は多様体ですが、代数空間は多様体ではありません。

複素数上の代数空間は、解析空間やモイシェゾン多様体と密接に関連しています。

大まかに言えば、複素代数空間と解析空間の違いは、複素代数空間はエタール位相を使用してアフィン部分を貼り合わせることで形成されるのに対し、解析空間は古典位相を使用して貼り合わせることで形成されることです。特に、有限型の複素代数空間から解析空間への関数があります。ホップ多様体は、適切な代数空間から来ない解析面の例を提供します（ただし、ホップ面を解析空間とする非適切で分離されていない代数空間を構成することはできます）。異なる代数空間が同じ解析空間に対応することも可能で、たとえば、楕円曲線と、対応する格子によるCの商は、代数空間として同型ではありませんが、対応する解析空間は同型です。

アルティンは、複素数上の適切な代数空間は、モイシェゾン空間とほぼ同じであることを示しました。

代数空間の広範囲な一般化は代数スタックによって与えられます。スタックのカテゴリでは、代数空間のカテゴリよりも多くの商をグループ作用によって形成できます (結果として得られる商は商スタックと呼ばれます)。

• アルティン、マイケル(1969)、「代数幾何学における暗黙の関数定理」、アビヤンカール、シュリーラム・シャンカール (編)、代数幾何学: 1968 年ボンベイ・コロキウムで発表された論文、タタ基礎研究所数学研究第 4 巻、オックスフォード大学出版局、pp. 13–34、ISBN 978-0-19-617607-9、MR  0262237
• アルティン、マイケル(1971)、代数空間、イェール数学モノグラフ、第 3 巻、イェール大学出版局、ISBN 978-0-300-01396-2、MR  0407012
• クヌートソン、ドナルド (1971)、「代数空間」、数学講義ノート、第203巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、doi：10.1007/BFb0059750、ISBN 978-3-540-05496-2、MR  0302647

• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「代数空間」、数学百科事典、EMSプレス
• スタックプロジェクトにおける代数空間