密閉浸漬

代数幾何学において、スキームの閉じた浸漬とは、 Z をXの閉じた部分集合として特定し、局所的にZ上の正規関数をXに拡張できるようなスキームの射である。^[1]後者の条件は、 が全射であるとすることで形式化できる。^[2] ${\displaystyle f:Z\to X}$${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}}$

一例として、標準マップによって誘導される包含マップが挙げられます。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle R\to R/I}$

以下は同等です:

1. ${\displaystyle f:Z\to X}$密閉型浸漬です。
2. あらゆる開アフィンに対して、 U上のスキームとして成り立つようなイデアルが存在します。${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}$${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$
3. 開いたアフィン被覆が存在し、各jに対して、上のスキームとしてとなるイデアルが存在します。${\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}$${\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})}$${\displaystyle U_{j}}$
4. X上には準整合的なイデアル層が存在し、f はX上のグローバルSpec上へのZの同型である。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f_{\ast}{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$

^{局所環空間[3]}の場合、同様の基準リストが満たされる場合、 射は閉じた浸漬である。${\displaystyle i:Z\to X}$

1. この地図は、その像への同相写像である。${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$
2. 関連する層写像は核と射影的である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. カーネルはセクションごとにモジュールとしてローカルに生成される[ ^4]${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

唯一変化する条件は3番目の条件です。閉じた浸漬で はないマップを見て、3番目の条件が何をもたらすかを知るために反例を見ることは有益です。${\displaystyle i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$

におけるの茎を見ると、セクションはありません。これは、の束を含む任意の開部分スキームに対して がセクションを持たないことを意味します。 少なくとも 1 つの開部分スキーム被覆に が含まれるため、これは 3 番目の条件に違反します。 ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}}$${\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle 0}$

閉じた浸漬は有限かつ根基的（普遍的に単射的）である。特に、閉じた浸漬は普遍的に閉じている。閉じた浸漬は基底の変更と合成に対して安定である。閉じた浸漬の概念は、ある（すべての）開被覆に対して誘導写像が閉じた浸漬である場合に限り、fが閉じた浸漬であるという意味で局所的である。^{[5] [6]}${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$

合成が閉じた浸漬であり、分離されている場合、は閉じた浸漬です。Xが分離されたSスキームである場合、XのすべてのSセクションは閉じた浸漬です。^[7]${\displaystyle Z\to Y\to X}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Z\to Y}$

が閉じた浸漬であり、がZ を切り出すイデアルの準連接層である場合、Z上の準連接層のカテゴリからX上の準連接層のカテゴリへの直接の像は正確であり、となるようなからなる本質的な像に完全に忠実である。^[8]${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}$

有限表現の平坦な閉じた浸漬は、開いた閉じたサブスキームの開いた浸漬である。^[9]

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• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• スタックスプロジェクト
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157