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環論とホモロジー代数において、環Aの大域次元（または大域ホモロジー次元、単にホモロジー次元と呼ばれることもある）は、 gl dim Aと表記され、環のホモロジー不変量である非負の整数または無限大である。これは、すべてのA加群の射影次元の集合の上限として定義される。大域次元は、ネーター環の次元理論における重要な技術的概念である。ジャン＝ピエール・セールの定理により、大域次元は、可換ネーター局所環のクラス内で正則な環を特徴付けるために使用できる。それらの大域次元は、定義が加群論的である クルル次元と一致している。
環Aが非可換である場合、最初にこの概念の 2 つのバージョン、つまり右A加群 を考慮した右大域次元と左A加群を考慮した左大域次元を考慮する必要があります。任意の環Aに対して、右大域次元と左大域次元は異なる場合があります。ただし、Aがネーター環である場合、これらの次元は両方とも弱大域次元に等しくなり、その定義は左右対称になります。したがって、非可換ネーター環の場合、これら 2 つのバージョンは一致し、大域次元について話すことは正当化されます。[1]
例
- A = K [ x 1 ,..., x n ]を体K上のn変数の多項式環とします。このとき、 Aのグローバル次元はnに等しくなります。この記述は、多項式環のホモロジー特性に関するデイヴィド・ヒルベルトの基礎研究に遡ります。ヒルベルトのシジジー定理を参照してください。より一般的には、R が有限グローバル次元kのネーター環であり、A = R [x] がR上の 1 変数の多項式環である場合、 Aのグローバル次元はk + 1に等しくなります 。
- 環が半単純である場合に限り、環の大域次元は 0 になります。
- リングが右ネーターである場合、右グローバル次元は弱グローバル次元と同じであり、最大で左グローバル次元になります。特に、リングが右および左ネーターである場合、左および右グローバル次元と弱グローバル次元はすべて同じです。
- 三角行列リングは、 右グローバル次元が 1、弱グローバル次元が 1 ですが、左グローバル次元が 2 です。これは右ネーターですが、左ネーターではありません。
代替的な特徴づけ
環Aの右グローバル次元は、次のように定義することもできます。
- すべての巡回右A加群の射影次元の集合の上限。
- すべての有限右A加群の射影次元の集合の上限。
- すべての右A加群の単射次元の上限。
- A が最大イデアルmを持つ可換ノイザン局所環であるとき、剰余体A / mの射影次元。
Aの左グローバル次元には、上記のリストで「右」を「左」に置き換えることによって得られる類似の特性があります。
セールは、可換ノイザン局所環Aが正則となるのは有限大域次元を持つ場合のみであり、その場合大域次元はAのクルル次元と一致することを証明した。この定理は、ホモロジー法を可換代数に適用する道を開いた。
参考文献
- ^ Auslander, Maurice (1955). 「モジュールと代数の次元について。III. 全体次元」名古屋数学誌9 : 67–77.
- アイゼンバッド、デイヴィッド（1999）、代数幾何学に向けた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻（第3版）、Springer-Verlag、ISBN 0-387-94268-8。
- カプランスキー、アーヴィング（1972）、フィールドとリング、シカゴ数学講義（第2版）、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-42451-0、Zbl 1001.16500
- 松村秀之 (1989) 「可換環論」、ケンブリッジ高等数学研究第8巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36764-6。
- McConnell, JC; Robson, JC; Small, Lance W. (2001)、改訂版、非可換ノイザン環、Graduate Studies in Mathematics、第30巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2169-5。