代数スタック

数学において、代数スタックは代数空間、あるいはスキームの広範な一般化であり、モジュライ理論の研究の基礎となる。多くのモジュライ空間は、代数スタックに特有の技術、例えば、尖った代数曲線のモジュライ空間や楕円曲線のモジュライスタックの構築に使用されるアルティンの表現可能性定理などを使用して構築される。もともと、これらはアレクサンダー・グロタンディーク^[1]によってモジュライ空間上の自己同型を追跡するために導入されたものであり、この技術により、これらのモジュライ空間を、その基礎となるスキームまたは代数空間が滑らかであるかのように扱うことができる。グロタンディークが一般降下理論^{[2] を}、ジローが一般スタック理論^[3]を開発した後、代数スタックの概念はマイケル・アルティン^[4]によって定義された。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$

代数スタックの動機となる例の1つは、固定スキーム上の群スキーム を考えることです。たとえば、（ここでは単位根の群スキーム）の場合、は射影マップ、は群作用です。${\displaystyle (R,U,s,t,m)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R=\mu_{n}\times_{S}\mathbb{A}_{S}^{n}}$${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}$${\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})}$

そして乗算マップ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$

についてである。すると、-スキームが与えられたとき、群体スキームは群体 (ここで、はそれらの関連関数) を形成する。さらに、この構成は反変2 関数を形成することについて関数的である。${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \pi :X\to S}$${\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}$${\displaystyle R,U}$${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$

${\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}$

ここで、 は小さなカテゴリの2-カテゴリです。これをグロタンディーク構成によるファイバーカテゴリとして見ることもできます。上のグロタンディーク位相などの正しい技術的条件を取得すると、代数スタックの定義が得られます。たとえば、体 の関連点の群では、原点オブジェクト上に自己同型の群が存在します。ただし、 から単なるスタックではなく代数スタックを取得するには、 に対して追加の技術的仮定が必要です。^[5]${\displaystyle {\text{猫}}}$ ${\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}$${\displaystyle \mu_{n}(k)}$${\displaystyle [U/R]}$${\displaystyle [U/R]}$

上のfppf位相^[6]（忠実に平坦で局所的に有限の表示）（ と表記） を使用することで、代数スタックを定義するための基礎が形成される。すると、代数スタック^[7]はファイバーカテゴリである。${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

そのような

1. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$は群に繊維化されたカテゴリであり、いくつかの過剰カテゴリは群であることを意味する。${\displaystyle \pi :X\to S}$
2. ファイバーカテゴリの対角写像は代数空間として表現できる${\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}}$
3. アトラスと呼ばれる、射影的かつ滑らかなファイバーカテゴリのスキームとそれに関連する 1 射が存在します。${\displaystyle fppf}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

まず、fppf位相が使用されるのは、降下 に関してうまく動作するからである。例えば、スキームがあり、を のfppf被覆に精製できる場合、が平坦、局所有限型、または局所有限表示である場合、 はこの性質を持つ。^[8]この種の考え方は、射のターゲットまたはソースのいずれかで局所的な性質を考慮することでさらに拡張できる。被覆について、性質がソース上で局所的であるとは次の場合であると言う。${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$それぞれ が存在する場合のみ、 はを持ちます。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X_{i}\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

ターゲット上には、ターゲット上の局所と呼ばれる類似の概念があります。これは、カバーが与えられた場合、${\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$それぞれ が存在する場合のみ、 はを持ちます。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

fppf 位相では、浸漬はターゲット上で局所的です。^[9] fppf 位相のソース上で局所的な前述の特性に加えて、普遍的に開いていることもソース上で局所的です。^[10]また、局所的にネーター的およびヤコブソン的であることは、fppf 位相のソースとターゲット上で局所的です。^[11]これは fpqc 位相では当てはまらないため、技術的な特性の点ではそれほど「良い」ものではありません。これは真実ですが、fpqc 位相で代数スタックを使用することは、彩色ホモトピー理論などでまだ有用です。これは、形式群法則のモジュライ スタックが fpqc 代数スタックであるためです^{[12] 40 ページ}。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

定義により、群体でファイバー化されたカテゴリの 1射は、スキーム^の任意のfppf射と任意の1射に対して、群体でファイバー化された関連カテゴリが${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$

は代数空間として表現可能であり、^{[14] [15]}代数空間が存在することを意味する。

${\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

となる。対角線の表現可能性には、この技術的条件を直感的に理解するのに役立つ同値な条件がいくつかある^[17]が、主な動機の1つは次の通りである。スキームとオブジェクトに対して、層は代数空間として表現可能である。特に、スタック上の任意の点の安定化群は代数空間として表現可能である。表現可能な対角線を持つことのもう1つの重要な同値性は、代数スタック内の任意の2つの代数空間の交差が代数空間であるという技術的条件である。ファイバー積を使用して再定式化すると、${\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}$${\displaystyle \operatorname {Isom} (x,y)}$${\displaystyle x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}}$

対角線の表現可能性は代数空間に対して表現可能であることと同値である。これは代数空間からの射が与えられた場合、それが対角写像からの写像に拡張されるからである。代数空間に対しても、上の層の代数空間としての表現可能性を与える類似の命題がある。 ^[18]${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}$${\displaystyle (F/S)_{fppf}}$

対角線の表現可能性の類似の条件は、ファイバー積が-スタックの-スタックである高次スタックのいくつかの定式化^[19]にも当てはまることに注意されたい。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

射影的で滑らかなファイバー圏のスキームと1射 の存在は、ファイバー圏の滑らかで射影的な射を定義することに依存します。これは、カテゴリーが自明な射のみを持つ群体のファイバー圏にアップグレードされた、表現可能な関手からの代数スタックです。これは、集合${\displaystyle fppf}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle h_{U}}$${\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

${\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}$

は、 で表されるカテゴリと見なされ、内のオブジェクトは射として表される。${\displaystyle h_{\mathcal {U}}(T)}$${\displaystyle h_{U}(T)}$${\displaystyle fppf}$

${\displaystyle f:T\to U}$

そして射は恒等射である。したがって

${\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}$

は群体の2-関手です。この2-関手が層であることを示すことは、2-米田の補題の内容です。グロタンディーク構成を使用すると、 で表される群体にファイバー化された関連カテゴリが存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

この射が滑らかまたは射影的であると言うためには、表現可能な射を導入する必要がある。^[20]上の群体にファイバー化された圏の射は、内のオブジェクトと2ファイバー積のオブジェクトが与えられたときに表現可能であると言われる。${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle T\to S}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}$

はスキームで表現できる。すると、群体のファイバー化された圏の射は、関連する射が滑らかで射影的であると言える。${\displaystyle p}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}$

スキームは滑らかで射影的です。

代数スタックは、アルティンスタックとも呼ばれ、定義により、滑らかな全射アトラス が装備されています。ここで、 は、何らかのスキーム に関連付けられたスタックです。さらに、アトラスがエタールである場合、 はドリーニュ-マンフォードスタックであると言われています。ドリーニュ-マンフォードスタックのサブクラスは、代数曲線のモジュライスタックなど、考慮される多くの自然なスタックに対して正しい設定を提供するため便利です。さらに、それらは、ドリーニュ-マンフォードスタック内の点によって表されるオブジェクトが無限小自己同型を持たないように十分に厳密です。無限小自己同型はアルティンスタックの変形理論の研究を非常に困難にするため、これは非常に重要です。たとえば、ランクベクトルバンドルのモジュライスタックであるアルティンスタックの変形理論には、リー代数によって部分的に制御される無限小自己同型があります。これは一般に変形と障害の無限のシーケンスにつながり、これが安定バンドルのモジュライを研究する動機の 1 つです。線バンドルの変形理論の特殊なケースでのみ、関連するリー代数がアーベルであるため、変形理論は扱いやすくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\to S}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}$

多くのスタックは、有限被覆、または有限被覆を持つ代数スタックのみを許容するため、デリーニュ・マンフォード・スタックとして自然に表現できないことに注意してください。すべてのエタール被覆は平坦で局所的に有限表現であるため、fppf-位相で定義された代数スタックはこの理論を包含することに注意してください。しかし、曲線のモジュライ など、自然界に見られる多くのスタックがこの形式であるため、それでも有用です。また、このようなスタックの微分幾何学的類似物はオービフォールドと呼ばれます。エタール条件は、2-関手${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}$

スキームを-トルソルの群に送ることはエタール位相上のスタックとして表現できるが、 - トルソルのピカールスタック（線束のカテゴリと同等）は表現できない。この形式のスタックは、fppf位相上のスタックとして表現できる。fppf位相とエタール位相を比較するもう1つの理由は、クンマーシーケンスの特性上である。${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}$

は fppf 層のシーケンスとしてのみ正確であり、エタール層のシーケンスとしては正確ではありません。

他のグロタンディーク位相を使用すると、代数スタックの代替理論が得られますが、これは十分に一般化されていないか、被覆の基底から被覆の全空間への特性の交換に関してうまく動作しません。次の一般化の階層があることを思い出すと便利です。${\displaystyle (F/S)}$

${\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}$

の大きなトポロジー。 ${\displaystyle (F/S)}$

代数スタックの構造層は、サイト上の 普遍構造層から引き戻されたオブジェクトである。^[21]この普遍構造層^[22]は次のように定義される。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$

および群体で繊維化されたカテゴリ上の関連する構造層

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}$

は次のように定義される

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}$

ここで、はグロタンディーク位相の写像から来ている。特に、これは が上にあることを意味するので、ならば となる。妥当性チェックとして、これをさまざまな位相に対する-スキームから得られる群素にファイバー化されたカテゴリと比較する価値がある。^[23]たとえば、${\displaystyle p^{-1}}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p(x)=U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})}$

は 上の群にファイバー化されたカテゴリであり、開部分スキームの構造層は${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle U\to X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

したがって、この定義はスキーム上の古典的な構造層を復元する。さらに、商スタック の場合、構造層は単に-不変セクションを与える。${\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}$

のために。^{[24] [25]}${\displaystyle u:U\to X}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

代数群の分類スタックの多くは代数スタックである。実際、有限表現の平坦なスキーム上の代数群空間の場合、スタックは代数的である^[4]定理6.1。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle BG}$

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• スタックの追求
• 導出代数幾何学

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - 「公理」と「代数スタック」をご覧ください
• アルティン代数化と商スタック - Jarod Alper

• Alper, Jarod (2009). 「代数スタックに関する文献ガイド」(PDF)。S2CID 51803452。2020-02-13に オリジナル(PDF)からアーカイブ。
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• スタックの例
• グロタンディーク位相、ファイバーカテゴリ、降下理論に関するノート
• 代数スタックに関する注記