除数（代数幾何学）

代数幾何学において、約数は代数多様体の余次元-1部分多様体の一般化である。一般的に用いられる一般化には、カルティエ約数とワイル約数（デイヴィッド・マンフォードがピエール・カルティエとアンドレ・ワイルにちなんで命名）の2種類がある。どちらも整数と代数体における整除性の概念から導き出される。

全体的に見ると、射影空間のすべての余次元 1 部分多様体は、 1 つの同次多項式の消滅によって定義されます。対照的に、r が1 より大きい場合、余次元r部分多様体はr個の方程式だけで定義できるとは限りません。（つまり、射影空間のすべての部分多様体が完全な交叉であるとは限りません。）局所的には、滑らかな多様体のすべての余次元 1 部分多様体は、各点の近傍で 1 つの方程式によって定義できます。ここでも、同様の記述は、より高次の余次元部分多様体では成り立ちません。この性質の結果として、代数幾何学の多くは、任意の多様体の余次元 1 部分多様体とそれに対応する線束を解析することによって、その多様体を研究します。

特異多様体においては、この性質は成り立たない場合もあり、そのため、余次元1の部分多様体と、局所的に1つの方程式で定義できる多様体を区別する必要がある。前者はワイル因子であり、後者はカルティエ因子である。

位相的に見ると、ワイル因子はホモロジーサイクルに対応し、カルティエ因子は線束によって定義されるコホモロジー類に対応する。滑らかな多様体（あるいはより一般的には正則スキーム）においては、ポアンカレ双対性に類似した結果から、ワイル因子とカルティエ因子は同一であることがわかる。

「除数」という名称は、代数曲線の研究におけるデデキント領域の関連性を示したデデキントとウェーバーの研究に遡ります。^{[ 1 ]}曲線上の除数の群（すべての除数によって生成される自由アーベル群）は、デデキント領域の分数イデアル群と密接に関連しています。

代数的サイクルは、因子のより高次元の一般化である。定義によれば、ワイル因子は余次元1のサイクルである。

リーマン面は1次元複素多様体であり、したがってその余次元1の部分多様体の次元は0である。コンパクトリーマン面X上の因子群は、Xの点上の自由アーベル群である。

同様に、コンパクトリーマン面X上の除数は、X上の点の有限個の線形結合であり、その係数は整数である。X上の除数の次数は、その係数の和である。

X上の任意の非零有理型関数fに対して、 X内の点pにおけるfの消滅次数をord _p ( f ) と定義することができる。これは整数であり、f がpに極を持つ場合は負の値となる。コンパクトリーマン面X上の非零有理型関数fの約数は次のように定義される。

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

これは有限和です。 （f ）の形の約数は主約数とも呼ばれます。 （fg） = （f） + （g）なので、主約数の集合は約数の群の部分群です。主約数だけ異なる2つの約数は線形同値と呼ばれます。

コンパクトリーマン面上では、主因子の次数はゼロである。すなわち、有理型関数の零点の数は、重複度を考慮して数えた極の数に等しい。結果として、因子の線形同値類上では次数が明確に定義される。

コンパクトリーマン面X上の因子Dが与えられたとき、極がDによって与えられるX上の有理型関数の複素ベクトル空間、すなわちH ⁰ ( X , O ( D )) またはDに関連付けられた線束の切断空間を研究することが重要です。 Dの次数は、このベクトル空間の次元について多くのことを示唆します。たとえば、Dの次数が負の場合、このベクトル空間はゼロになります (有理型関数は極よりも多くの零点を持つことはできないため)。Dの次数が正の場合、 H ⁰ ( X , O ( mD ))の次元は、mが十分に大きいとき、 mに対して線形に増加します。リーマン・ロッホの定理は、この方向でより正確な記述です。一方、次数が低い因子Dの場合のH ⁰ ( X , O ( D ))の正確な次元は微妙であり、 Dの次数によって完全に決定されるわけではありません。コンパクトリーマン面の特徴は、これらの次元に反映されます。

コンパクトリーマン面上の重要な因子の 1 つは、標準因子です。これを定義するには、まず上記のように非零有理型1 形式の因子を定義します。有理型 1 形式の空間は有理型関数の体上の 1 次元ベクトル空間であるため、任意の 2 つの非零有理型 1 形式は線形的に同値な因子を生成します。この線形同値類の任意の因子は、Xの標準因子K _Xと呼ばれます。Xの種数gは標準因子から読み取ることができます。つまり、K _{X の}次数は 2 g − 2 です。コンパクトリーマン面Xの重要な 3 区分は、標準因子の次数が負 (したがってX の種数はゼロ)、次数がゼロ (種数は 1)、または正の次数 (種数は少なくとも 2) であるかです。例えば、これはX が正の曲率、ゼロの曲率、または負の曲率を持つケーラー計量を持つかどうかを決定づけます。標準因子が負の次数を持つのは、 X がリーマン球面CP ¹と同型である場合のみです。

X を局所的にネーター的な整スキームとする。X上の素因数または既約因数は、Xの余次元1の整閉部分スキームZである。X上のワイル因数は、 Xの素因数Zの形式的和である。

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

コレクション${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$は局所的に有限である。X が準コンパクト (すなわち、ネーター的) である場合、局所的有限性は以下と同等である。${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$有限である。すべてのワイル因子の群はDiv( X )と表記される。ワイル因子D は、すべての係数が非負である場合に有効である。差D − D′が有効である場合は、 D ≥ D′と表記する。

例えば、体上の代数曲線上の除数は、有限個の閉点の形式的和である。Spec Z上の除数は、整数係数を持つ素数の形式的和であり、したがってQの非零分数イデアルに対応する。同様の特徴付けは、上の除数にも当てはまる。${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$ここで、Kは数体である。

Z ⊂ Xが素因数である場合、局所環${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$クルル次元1を持っています。${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$がゼロでない場合、Zに沿ったfの消滅の次数( ord _Z ( f )と表記)は、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$この長さは有限であり、^{[ 2 ]}乗法に関して加法的である。すなわち、ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g )である。^{[ 3 ]} k ( X ) がX上の有理関数の体である場合、任意の非ゼロf ∈ k ( X )は商g / hとして表すことができ、ここでgとhは${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$そして、 fの消滅次数はord _Z ( g ) − ord _Z ( h )と定義される。^{[ 4 ]}この定義によれば、消滅次数は関数ord _Z  : k ( X ) ^× → Zである。Xが正規である場合、局所環は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$は離散付値環であり、関数ord _Zは対応する付値です。 X上の非ゼロ有理関数fに対して、fに関連付けられた主ワイル因子は、ワイル因子として定義されます。

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

この和は局所的に有限であることが示され、したがって確かにワイル因子を定義する。f に関連付けられた主ワイル因子は( f )とも表記される。f が正則関数であれば、その主ワイル因子は有効であるが、一般にはそうではない。消滅関数の位数の加法性は、

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

したがって、divは準同型写像であり、特にその像はすべてのワイル因子からなる群の部分群である。

X を通常の整ネーター的スキームとする。すべてのワイル因子D は連接層を決定する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$X上。具体的には、有理関数の層の部分層として定義できます^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ または }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

つまり、ゼロでない有理関数fは、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$U 上で、Uと交わる任意の素因数Zに対して、

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

ここでn _ZはDにおけるZの係数である。D が主項、つまり D が有理関数 g の約数である場合、同型写像が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

以来${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$は有効な除数なので${\displaystyle fg}$Xの正規性のおかげで、は正規です。逆に、${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$は同型である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$として${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュールの場合、Dは主モジュールである。したがって、 Dが局所的に主モジュールであるのは、次の場合に限る。${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$可逆である。つまり、線束である。

DがXの部分スキームに対応する有効因子である場合(例えば、D は既約因子または素因子である)、部分スキームDのイデアル層は、${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$これにより、よく使われる短い正確な数列が得られます。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

この数列の層コホモロジーは、${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$D上の正則関数がX上の正則関数の制限であるかどうかについての情報が含まれています。

シーブも含まれています

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

これは、${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$すなわち、大域的断面 1 の像である。これは正準断面と呼ばれ、 s _Dと表記される。正準断面は至るところで消滅しない有理関数の像であるが、その像は${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$遷移関数がDに沿って消滅するため、 もDに沿って消滅します。Dが滑らかなカルティエ因子である場合、上記の包含関係の余核を特定できます。以下の#カルティエ因子 を参照してください。

Xを体上の有限型の正規整分離スキームと仮定する。Dをワイル因子とする。すると${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$はランク1の反射層であり、${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$は、 の部分層として定義される。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$これは分数イデアル層です（下記参照）。逆に、すべてのランク 1 反射層はワイル因子に対応します。層は正則軌跡に制限することができ、そこで自由層となり、カルティエ因子に対応します（これも下記参照）。また、特異軌跡の余次元は少なくとも 2 であるため、カルティエ因子の閉包はワイル因子です。

ワイル因子類群Cl( X ) は、 Div( X ) をすべての主ワイル因子の部分群で割った商群です。 2 つの因子は、その差が主である場合に線形同値であると言われ、したがって因子類群は線形同値性を法とする因子の群です。体上のn次元の多様体Xに対して、因子類群はChow 群です。すなわち、 Cl( X ) は ( n −1) 次元サイクルのChow 群 CH _{n −1} ( X ) です。

Z をXの閉部分集合とする。Zが余次元 1 の既約集合である場合、 Cl( X − Z ) はCl( X ) のZのクラスによる商群と同型である。ZがXにおいて少なくとも 2 の余次元を持つ場合、制限 Cl( X ) → Cl( X − Z ) は同型である。^{[ 6 ]} (これらの事実は、チャウ群の局所化系列の特殊な場合である。)

通常の整数ネーター的スキームXにおいて、2 つのワイル因子D、Eが線形同値であるのは、${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$同型である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール。X上の反射層の同型類は、テンソル積の反射包として与えられる積を持つモノイドを形成する。すると${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$Xの Weil 因子類群からX上のランク 1 反射層の同型類のモノイドへのモノイド同型を定義する。

X を整型ネータースキームとする。このとき、Xは有理関数の層を持つ。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$すべての正則関数は有理関数であり、これは短い完全数列につながる。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

X上のカルティエ除数は、${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$同等の説明としては、カルティエ除数は集合である。${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$どこ${\displaystyle \{U_{i}\}}$開いたカバーは${\displaystyle X,f_{i}}$は、${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$の上${\displaystyle U_{i},}$そして${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$の上${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$のセクションによる乗算まで${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

カルティエ因子にも層理論的な記述がある。分数イデアル層は部分イデアル層である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$分数イデアル層Jは、 Xの各xに対して、 JのUへの制限が次の値に等しいようなxの開近傍Uが存在する場合に可逆である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$どこ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$そして製品は${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$各カルティエ因子は、カルティエ因子の記述を集合として用いることで、可逆な分数イデアル層を定義する。${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$逆に、可逆な分数イデアル層はカルティエ因子を定義します。カルティエ因子をDとすると、対応する分数イデアル層は と表されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$またはL ( D ) 。

上記の正確な系列により、層コホモロジー群の正確な系列が存在する。

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

カルティエ因子は、準同型の像に含まれる場合に主因子と呼ばれる。${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$すなわち、それがX上の有理関数の約数である場合。2 つのカルティエ約数は、その差が主値である場合に線形同値である。整列ネーター スキームX上のすべての線束L は、何らかのカルティエ約数のクラスである。結果として、上記の正確なシーケンスは、整列ネーター スキームX上の線束のピカール群を、線形同値によるカルティエ約数の群と同一視する。これは、より一般的には、縮約ネーター スキーム、またはネーター環上の準射影スキームに対して成り立つが、^{[ 12 ]}一般には成り立たない可能性があり ( C上の適切なスキームであっても)、完全な一般性におけるカルティエ約数の興味を低下させる。^{[ 13 ]}

Dが有効なカルティエ因子であると仮定する。すると、短い完全数列が存在する。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

この数列は、 XとDの構造層とDのイデアル層を関連付ける短完全数列から導出される。Dはカルティエ因子であるため、${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$は局所的に自由であり、したがってそのシーケンスをテンソル化することで${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$Dが滑らかな場合、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(D)}$は、 XにおけるDの正規束である。

（大きな）カルティエ除数の基本的な結果として、小平の補題と呼ばれる結果があります。^{[ 15 ] [ 16 ]}

X を既約射影多様体とし、D をX上の大きなカルティエ因子とし、H をX上の任意の有効カルティエ因子とする。このとき

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$。

十分に大きいすべての${\displaystyle m\in N(X,D)}$。

小平の補題は、大きな約数に関するいくつかの結果を与える。

φ  : X → Y を、局所的にネーター的な整型スキーム間の射とする。多くの場合、φ を用いて因子 D を一方のスキームから他方のスキームへ移すことが可能であるが、常に可能とは限らない。これが可能かどうかは、因子がワイル因子かカルティエ因子か、因子をXからYへ移すのか、それともその逆なのか、そして φ がどのような追加的な性質を持つかによって決まる。

ZがX上の素ワイル因子である場合、${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$はYの閉じた既約部分スキームです。φ によっては、素ワイル因子である場合とそうでない場合があります。たとえば、φ が平面上の点のブローアップであり、Z が例外因子である場合、その像はワイル因子ではありません。したがって、φ _* Zは次のように定義されます。${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$その部分スキームが素因数である場合、それは零因数として定義され、そうでない場合は零因数として定義されます。これを線形性によって拡張すると、X が準コンパクトであると仮定して、プッシュフォワードと呼ばれる準同型Div( X ) → Div( Y )が定義されます。( Xが準コンパクトでない場合、プッシュフォワードは局所的に有限和にならない可能性があります。) これは、チャウ群上のプッシュフォワードの特殊なケースです。

Zがカルティエ因子である場合、φに関する緩やかな仮定の下で、引き戻しが存在する。${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$層理論的には、引き戻し写像が存在する場合${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$すると、この引き戻しはカルティエ因子の引き戻しを定義するために使用できます。局所セクションの観点から、引き戻しは${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$と定義される${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$φが優勢な場合はプルバックは常に定義されますが、一般には定義できません。例えば、X = Zで、φがZからYへの包含写像である場合、対応する局所断面が至るところでゼロになるため、φ ^* Zは定義されません。（ただし、対応する線束のプルバックは定義されます。）

φ が平坦である場合、ワイル因子の引き戻しが定義されます。この場合、Zの引き戻しはφ ^* Z = φ ^{− 1} ( Z )です。φ の平坦性により、Zの逆像の余次元が引き続き 1 になります。これは、例えば小さな縮約など、平坦でない射では失敗する可能性があります。

整数ネータースキームXに対して、カルティエ因子群からワイル因子群への自然な準同型は準同型を与える。

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

第1チャーン類として知られています。^{[ 17 ] [ 18 ]}第1チャーン類は、Xが正規である場合は単射であり、 Xが階乗である場合は同型です（上記のように定義されています）。特に、カルティエ因子は任意の正則スキーム上でワイル因子と同一視できるため、第1チャーン類はXが正則である場合の同型です。

具体的には、第 1 チャーン類は次のように定義できます。整列ネーター スキームX上の線束Lに対して、s をLの非零有理切断(つまり、Lの空でない開部分集合上の切断) とします。これはLの局所自明性によって存在します。有理関数の除数との類推により、X上のWeil 除数 ( s )を定義します。すると、 Lの第 1 チャーン類は除数 ( s ) として定義できます。有理切断sを変更すると、線形同値性によりこの除数も変更されます。これは、非零有理関数fとLの非零有理切断sに対して ( fs ) = ( f ) + ( s )となるためです。したがって、 Cl( X ) の要素c1 ( L )_は適切に定義されます。

次元nの複素多様体Xは、必ずしもC上で滑らかまたは適切である必要はないが、因子類群からボレル・ムーアホモロジーへの自然な準同型写像であるサイクル写像が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

後者の群は、 Xの複素点の空間X ( C )とその古典的な (ユークリッド) 位相を用いて定義される。同様に、ピカール群は、位相的な意味での第一チャーン類によって、積分コホモロジーに写像される。

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

この2つの準同型写像は可換図式によって関連付けられており、右側の垂直写像はボレル・ムーアホモロジーにおけるXの基本クラスとのキャップ積である。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

C上の滑らかなXに対して、垂直方向の写像は両方とも同型写像である。

カルティエ因子は、その局所定義関数f _{i が}正則関数（有理関数だけでなく）である場合に有効である。この場合、カルティエ因子は、 Xにおける余次元 1 の閉じた部分スキームと同一視でき、その部分スキームは局所的にf _i = 0で定義される。カルティエ因子Dは、その関連する線束が有効な因子と線形同値である場合に限り、有効因子と線形同値である。${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$非ゼロのグローバルセクションsを持つ場合、D はsのゼロ軌跡と線形的に等価である。

X を体k上の射影多様体とする。このとき、大域切断を乗じると、${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$kの非ゼロスカラーによる変化は、そのゼロ軌跡を変えません。その結果、グローバルセクションのkベクトル空間H ⁰ ( X , O ( D )) の直線の射影空間は、 Dと線形的に等価な有効因子の集合と同一視でき、これはDの完全線形システムと呼ばれます。この射影空間の射影線形部分空間は、因子の線形システムと呼ばれます。

線束のグローバル切断空間を研究する理由の一つは、与えられた多様体から射影空間への可能な写像を理解することである。これは代数多様体の分類に不可欠である。具体的には、多様体Xから体k上の射影空間P ⁿへの射は、 X上の線束Lを規定する。これは標準線束の引き戻しである。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$P ⁿ上。さらに、Lには、基底軌跡(それらの零集合の共通部分) が空であるn +1 個のセクションが付随する。逆に、共通の基底軌跡が空であるn +1 個のグローバルセクションを持つ任意の線束L は、射X → P ⁿを決定する。^{[ 19 ]}これらの観察は、カルティエ因子 (または線束) の正値性に関するいくつかの概念、例えば、アンプル因子やネフ因子につながる。^{[ 20 ]}

体k上の射影多様体Xの因子Dに対して、kベクトル空間H ⁰ ( X , O ( D )) は有限次元を持つ。リーマン・ロッホの定理は、 X が射影曲線である場合のこのベクトル空間の次元を計算するための基本的なツールである。ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理とグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理という一連の一般化により、体上の任意の次元の射影多様体Xに対するH ⁰ ( X , O ( D ))の次元に関する情報が得られる。

正準因子は本質的に多様体と結びついているため、多様体の分類において、K _Xとその正の倍数によって与えられる射影空間への写像が重要な役割を果たします。Xの小平次元は重要な双有理不変量であり、 mが増加するにつれてベクトル空間H ⁰ ( X , mK _X ) (つまりH ⁰ ( X , O ( mK _X )))がどれだけ大きくなるかを測定します。小平次元は、すべてのn次元多様体をn + 2 個のクラスに分割し、それらは (非常に大まかに) 正の曲率から負の曲率へと続きます。

X を正規多様体とする。(Weil) Q因子とは、 Xの既約余次元 1 部分多様体の有限形式線形結合であり、係数は有理数である。( R因子も同様に定義される。) Q因子は、係数が非負であれば有効である。Q因子Dは、ある正の整数mに対してmDがカルティエ因子である場合、Q-カルティエ因子である。Xが滑らかな場合、すべてのQ因子はQ-カルティエ因子である。

もし

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

がQ除数である場合、その切り捨ては除数になります

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

どこ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$は、 a以下の最大の整数です。${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$は次のように定義される。${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

レフシェッツ超平面定理によれば、次元が4以上の滑らかな複素射影多様体Xと、 X内の滑らかな豊富因子Yに対して、制限Pic( X ) → Pic( Y )は同型写像である。例えば、Yが複素射影空間における次元が3以上の滑らかな完全交差多様体である場合、 Yのピカール群は、射影空間上の線束O (1)の制限によって生成されるZと同型である。

グロタンディークは、任意の基底体、特異多様体、射影多様体ではなく局所環に関する結果など、いくつかの方向でレフシェッツの定理を一般化した。特に、Rが余次元が最大 3 で階乗となる完全交差局所環である場合 (例えば、 Rの非正則軌跡の余次元が少なくとも 4 である場合)、Rは一意の因数分解領域である (したがって、Spec( R ) 上のすべてのワイル因子はカルティエ因子である)。^{[ 21 ]}上記の 3 次元二次錐の例で示されているように、ここでの次元の境界は最適である。

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