リングのスペクトル

可換代数において、可換環の素スペクトル（または単にスペクトル）は、のすべての素イデアルの集合であり、通常は と表記される。^[1]代数幾何学においては、それは同時に環の層を備えた位相空間でもある。^[2] ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

の任意のイデアル に対して、を を含む素イデアルの集合と定義します。閉集合の集合を と 定義することで、に位相を置くことができます。${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V_{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle {\big \{}V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R{\big \}}.}$

このトポロジーはザリスキートポロジーと呼ばれます。

ザリスキ位相の基礎は次のように構築でき ます。

に対して、を含まないの素イデアルの集合を と定義します。 ${\displaystyle f\in R}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$

すると、それぞれはの開集合となり、ザリスキー位相の基底となります。 ${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle {\big \{}D_{f}:f\in R{\big \}}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$はコンパクト空間だが、ハウスドルフになることはほとんどない。実際、の極大イデアルは、まさにこの位相における閉点である。同じ理由により、は一般にT ₁空間ではない。^[3]しかし、は常にコルモゴロフ空間（T _{0公理を満たす）であり、}スペクトル空間でもある。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

ザリスキ位相を持つ空間が与えられた場合、構造層は、の局所化をのべき乗で設定することにより、区別された開部分集合上に定義されます。これはB 層を定義し、したがって層 を定義することが示されます。より詳細には、区別された開部分集合はザリスキ位相の基底であるため、の和集合として書かれた任意の開集合 に対して、 が設定されます。ここで、 は自然な環準同型に対する逆極限を表します。この前層が層であること、したがって環空間も層であることを確認できます。この形式の 1 つに同型な環空間は、アフィン スキームと呼ばれます。一般的なスキームは、アフィン スキームを一緒に接着することで得られます。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$${\displaystyle \varprojlim }$${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

同様に、環 上のモジュール に対して、上の層を定義できます。 区別された開部分集合 上に、モジュール の局所化を使用して設定します。 上記のように、この構成は のすべての開部分集合 上の前層 に拡張され、接着公理 を満たします。 この形式の層は準コヒーレント層と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\widetilde {M}})=M_{f},}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

が 内の点、つまり素イデアルである場合、 における構造層の茎は、一般に と表記されるイデアル におけるの局所化に等しく、これは局所環です。したがって、は局所環空間です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

が分数体 の整域である場合、環をより具体的に次のように記述することができます。の元がの点で正則であるとは、その元が の分数として表せる場合をいいます。これは代数幾何学における正則関数の概念と一致することに注意してください。この定義を使用すると、のすべての点で正則である の元の集合を正確に として記述することができます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {R}}$${\displaystyle f=a/b}$${\displaystyle b\notin {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle U}$

圏論の言語を使って、が関手 であることを観察すると便利である。すべての環準同型写像は連続写像を誘導する（ の任意の素イデアルの逆像はの素イデアルであるため）。このように、は可換環の圏から位相空間の圏への反変関手と見ることができる。さらに、すべての素数に対して、準同型写像は準同型写像に降下する。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

局所環の。したがって、 は可換環のカテゴリから局所環空間のカテゴリへの反変関手を定義します。実際、これはそのような普遍的な関手であり、したがって自然同型までの関手を定義するために使用できます。^[要出典]${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

関数は、可換環のカテゴリとアフィンスキームのカテゴリの間に反変同値をもたらします。これらのカテゴリはそれぞれ、他方の カテゴリの反対であると考えられることがよくあります。${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

例に続いて、代数幾何学では代数集合、つまり変数の多項式の集合の共通零点として定義される(ここでは代数的に閉体) の部分集合を研究します。 がそのような代数集合である場合、すべての多項式関数の可換環を検討します。の極大イデアルはの点に対応し(は代数的に閉であるため)、の素イデアルはの部分多様体に対応します(代数集合は、2 つの適切な代数的部分集合の和集合として表すことができない場合、既約または多様体と 呼ばれます)。${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\to K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

したがって、のスペクトルは、 の点と、のすべての部分多様体の元から構成されます。の点はスペクトル内で閉じていますが、部分多様体に対応する元は、そのすべての点と部分多様体からなる閉包を持ちます。 の点、つまり における極大イデアルのみを考慮すると、上で定義したザリスキ位相は、代数集合上で定義されたザリスキ位相（代数部分集合を閉集合として正確に持つ）と一致します。具体的には、 における極大イデアル、つまり は、ザリスキ位相とともに、ザリスキ位相とも 同相です。${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$${\displaystyle A}$

したがって、位相空間は位相空間の「強化」として見ることができます(ザリスキ位相による)。 のすべての部分多様体に対して、1 つの追加の非閉点が導入され、この点は対応する部分多様体を「追跡」します。この点は、部分多様体の一般的な点であると考えられます。さらに、 上の構造層と 上の多項式関数の層は本質的に同一です。 ザリスキ位相による代数集合ではなく多項式環のスペクトルを研究することで、代数幾何学の概念を非代数的に閉じた体やそれ以降に一般化することができ、最終的にはスキームの言語に到達できます。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle A}$

• 整数のスペクトル: は可換環のカテゴリの最初のオブジェクトであるため、アフィン スキームはアフィン スキームのカテゴリの最後のオブジェクトです。${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• のスキーム理論的類似物: アフィン スキーム。点の関数の観点から、点は評価射 と同一視できます。この基本的な観察により、他のアフィン スキームに意味を与えることができます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }$
• 交差: は、位相的には 1 点での 2 つの複素平面の交差のように見えますが、 への明確に定義された射は点 に関連付けられた評価射だけであるため、通常は として表されます。${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• ブール環（例えば冪集合環）の素スペクトルはコンパクトな全不連続ハウスドルフ空間（つまりストーン空間）である。^[4]
• ( M.ホクスター) 位相空間が可換環の素スペクトル（すなわちスペクトル空間）に同相であるための必要十分条件は、それがコンパクトで、準分離的で、かつ非対称である場合である。 [ ^5]

以下は、アフィン スキームではないスキームの例です。これらは、アフィン スキームを結合して構築されます。

• 体 上の射影-空間${\displaystyle n}$ 。これは任意の基本環に簡単に一般化できます。Proj構築を参照してください(実際、任意の基本スキームに対して射影空間を定義できます)。 の射影-空間は、 の大域断面がであるためアフィンではありません。${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle k}$
• 原点を除いたアフィン平面。^[6]内部には、区別された開いたアフィン部分スキームがあります。それらの和集合は、原点を除いたアフィン平面です。 の大域的切断は、上の同じ多項式に制限される 上の多項式のペアであり、 であることが示され、 の大域的切断です。は のようにアフィンではありません。${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{xy}}$${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$${\displaystyle U}$

一部の著者（特に M. Hochster）は、ザリスキ位相以外の素スペクトル上の位相を考慮しています。

まず、構成可能位相の概念がある。環Aが与えられたとき、形の の部分集合は位相空間の閉集合の公理を満たす。この位相は構成可能位相と呼ばれる。^{[7] [8]}${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

ホッホスター（1969）では、ホッホスターは素スペクトル上のパッチ位相と呼ばれるものを考察しています。^{[9] [10] [11]}定義により、パッチ位相は、フォームとフォームの集合が閉じている最小の位相です。 ${\displaystyle V(I)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

関手 の相対バージョンは、大域または相対と呼ばれます。 がスキームである場合、相対 はまたは で表されます。が文脈から明らかな場合、相対 Spec はまたはで表すことができます。 スキームと-代数 の準コヒーレント層に対して、スキームと射が存在し、すべての開アフィン に対して同型 が存在し、開アフィン に対して、制限写像 によって包含が誘導されます。つまり、環準同型がスペクトルの反対写像を誘導するように、代数 の層の制限写像は、層の Specを構成するスペクトルの包含写像を誘導します。${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$${\displaystyle U\subseteq S}$${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

大域 Spec は、通常の Spec の普遍的性質と同様の普遍的性質を持つ。より正確には、Spec と大域セクション関数が可換環とスキームのカテゴリ間の反変右随伴であるのと同様に、大域 Spec と構造マップの直接像関数は、可換- 代数のカテゴリと 上のスキーム間の反変右随伴である。^{[疑わしい–議論する]} 式では、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

ここで、はスキームの射影です。 ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

相対仕様は、上の原点を通る直線の族をパラメータ化するための正しいツールです。代数の層を考え、を のイデアルの層とします。すると、相対仕様は目的の族をパラメータ化します。実際、上のファイバーは、点を含むの原点を通る直線です。ファイバーは、プルバック図の構成を見ることで計算できると 仮定します。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

下の矢印の構成

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

は点と原点を含む直線を与える。この例は、 およびとすることで、 の原点を通る直線族をパラメータ化するように一般化できる。${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

表現論の観点からは、素イデアルI は加群R / Iに対応し、環のスペクトルはRの既約巡回表現に対応し、より一般的な部分多様体は巡回である必要のないおそらく既約な表現に対応します。抽象的には、群の表現論はその群代数上の加群の研究であることを思い出してください。

表現論との関連は、多項式環 あるいは基底なしの を考えるとより明確になります。後者の定式化で明らかなように、多項式環 はベクトル空間上の群代数であり、 を使って書くことはベクトル空間 の基底を選ぶことに対応します。すると、イデアルI、あるいは同等のモジュールはRの巡回表現です(巡回とは、1 つの要素によってRモジュールとして生成される意味です。これは 1 次元表現を一般化します)。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=K[V].}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R/I,}$

体が代数的に閉じている場合（例えば複素数）、すべての極大イデアルは、零点定理によってn空間の点に対応する（ によって生成される極大イデアルは点 に対応する）。 のこれらの表現は、各 を対応する に送ることで共ベクトルが与えられる双対空間によってパラメータ化される。したがって、 （K線型写像）の表現は、 n個の数の集合、またはそれと同等の共ベクトルによって与えられる。${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle K[V]}$${\displaystyle V^{*},}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{n}\to K}$${\displaystyle K^{n}\to K.}$

したがって、の最大仕様として考えられるn空間の点は、 Rの 1 次元表現に正確に対応しますが、点の有限集合は有限次元表現（これは、幾何学的には和集合であることに対応し、代数的には素イデアルではないことに対応し、簡約可能）に対応します。非最大イデアルは、無限次元表現に対応します。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

「スペクトル」という用語は、作用素論での使用に由来します。有限次元ベクトル空間V上の線型作用素 Tが与えられたとき、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理と同様に、1 変数の多項式環R = K [ T ] 上の加群として作用素を持つベクトル空間を考えることができます。すると、環としてのK [ T ]のスペクトルは、作用素として のTのスペクトルに等しくなります。

さらに、環のスペクトルの幾何学的構造（つまり、モジュールの代数的構造）は、代数的重複度や幾何学的重複度などの演算子のスペクトルの挙動を捉えます。たとえば、2×2 単位行列には対応するモジュールがあります。

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

2×2のゼロ行列はモジュール

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

は零固有値に対して幾何重複度2を示し、一方、非自明な2×2冪零行列はモジュール

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

代数的重複度は 2 ですが、幾何的重複度は 1 です。

詳細:

• 演算子の固有値（幾何学的重複度を持つ）は、重複度を持つ多様体の（縮小された）点に対応する。
• モジュールの一次分解は多様体の未約点に対応する。
• 対角化可能な（半単純な）演算子は、縮小された多様体に対応する。
• 巡回モジュール（1つの生成元）は巡回ベクトル（ Tの下での軌道が空間に広がるベクトル）を持つ演算子に対応します。
• モジュールの最後の不変因子は演算子の最小多項式に等しく、不変因子の積は特性多項式に等しくなります。

スペクトルは、環から作用素論のC*-代数へと一般化することができ、 C*-代数のスペクトルの概念をもたらす。特に、ハウスドルフ空間に対して、スカラー代数（空間上の有界連続関数で、正則関数に類似）は可換C*-代数であり、空間はスカラー代数の位相空間として復元され、実際関数的にはそうなる。これがバナッハ・ストーン定理の内容である。実際、任意の可換 C*-代数は、このようにしてハウスドルフ空間のスカラー代数として実現することができ、環とそのスペクトルの間と同じ対応が得られる。非可換 C*-代数に一般化すると、非可換位相が得られる。 ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

• スキーム（数学）
• 射影スキーム
• マトリックスのスペクトル
• アフィン性に関するセールの定理
• エタール スペクトル
• ジーグラースペクトル
• 原始スペクトル
• 石の二重性^[12]

• https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum