完全な多様性

数学、特に代数幾何学において、完全代数多様体とは、任意の代数多様体 $Y$ に対して射影射影が成り立つような代数多様体 $X$ のことである。

X\times Y\to Y

は閉じた写像（つまり、閉じた集合を閉じた集合に写す）である。 ^{[a]これは代数幾何学における}コンパクト性の類似物として考えることができる。位相空間 $X$ がコンパクトであるためには、上記の射影写像が位相積に関して閉じている必要がある。

完全多様体の像は閉じており、完全多様体である。完全多様体の閉じた部分多様体は完全である。

複素多様体は、複素解析多様体としてコンパクトであるときに限り、完全である。^[1]

完全多様体の最も一般的な例は射影多様体であるが、次元2 以上では完全非射影多様体が存在している。任意の完全非特異面は射影的であるが、^[2]次元 3 以上では射影的ではない非特異完全多様体が存在している。^[3]非射影完全多様体の最初の例は、永田正義^[3]と弘中平祐によって与えられた。^[4]正の次元のアフィン空間は完全ではない。

完全多様体を点に写す射は、図式理論の意味で、適切な射である。「欠けている点がない」という意味での「完全」の直感的な正当性は、クロード・シュヴァレーに遡る適切性の評価基準に基づいて与えられる。

参照

注記

^ ここで、積多様体 $X \times Y は$ 一般に積位相を持ちません。その上のザリスキ位相はより多くの閉集合を持ちます (非常に単純な場合を除く)。セグレ埋め込みも参照してください。

参考文献

^ マムフォード 1999、第I章10。
^ザリスキ、 オスカー(1958)。「代数曲面理論における極小モデルの問題入門」。アメリカ数学ジャーナル。80 :146–184。doi :10.2307/2372827。JSTOR 2372827。
^ ab 永田正義 (1958). 「非射影完全代数多様体の存在定理」イリノイ数学ジャーナル2 : 490–498. doi : 10.1215/ijm/1255454111 .
^ 広中平輔 (1960). 双有理的爆発理論について（論文）ハーバード大学。

出典

Hartshorne, Robin (1977)のセクション II.4 、代数幾何学、Graduate Texts in Mathematics、第 52 巻、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90244-9、MR 0463157
ミルン、ジェームズ・S（2009）「代数幾何学」第5.20巻第7章、 2010年8月4日取得
Mumford, David (1999)「The red book of variety and schemes」の第 I.9 節、Lecture Notes in Mathematics、第 1358 巻 (第 2 版、拡張版)、Springer-Verlag、doi :10.1007/b62130、ISBN 978-3-540-63293-1
ダニロフ、VI（2001）[1994]、「完全代数多様体」、数学百科事典、EMSプレス
Hartshorne, Robin (1977). 「付録 B. 例 3.4.1. (図 24)」. 代数幾何学. 大学院数学テキスト. 第 52 巻. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[1] ここで、積多様体 $X \times Y は$ 一般に積位相を持ちません。その上のザリスキ位相はより多くの閉集合を持ちます (非常に単純な場合を除く)。セグレ埋め込みも参照してください。

[FOOTNOTEMumford1999Chapter_I.10-2] マムフォード 1999、第I章10。

[3] ^ザリスキ、 オスカー(1958)。「代数曲面理論における極小モデルの問題入門」。アメリカ数学ジャーナル。80 :146–184。doi :10.2307/2372827。JSTOR 2372827。

[Nagata-4] 永田正義 (1958). 「非射影完全代数多様体の存在定理」イリノイ数学ジャーナル2 : 490–498. doi : 10.1215/ijm/1255454111 .

[5] 広中平輔 (1960). 双有理的爆発理論について（論文）ハーバード大学。