多項式関数の環

数学において、体k上のベクトル空間V上の多項式関数の環は、多項式環の座標フリー類似体を与える。これはk [ V ]と表記される。 Vが有限次元であり、代数多様体として見られる場合、k [ V ] はまさにVの座標環である。

環の明示的な定義は次のように与えられます。多項式環 が与えられたとき、を 上の座標関数 として見ることができます。つまり、です。これは次のことを示唆しています。^{[どのように？ ]}ベクトル空間Vが与えられたとき、k [ V ] を、すべての関数の環の部分環である双対空間によって生成される可換k代数とします。 Vの基底を固定し、その双対基底 を と書くと、k [ V ] はの多項式から構成されます。 ${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V\to k}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

kが無限大の場合、k [ V ] は双対空間の対称代数です。 ${\displaystyle V^{*}}$

応用においては、V がkの何らかの部分体上で定義されている場合(たとえば、kは複素体で、Vは実ベクトル空間) 、 k [ V ] も定義されます。この場合も同じ定義が適用されます。

この記事全体を通して、簡潔にするために、基底体kは無限であると仮定します。

を体K上のすべての多項式全体の集合、BをK上の 1 変数の多項式関数全体の集合とします。A と B はどちらも、多項式と関数の標準的な乗算と加算によって与えられるK上の代数です。規則 によって、A内のそれぞれをB内の に写すことができます。 通常のチェックにより、この写像は代数AとBの準同型であることが示されます。 この準同型は、 Kが無限体である場合に限り同型です。 たとえば、K が有限体である場合、 とします。p はK [ x ]内の非ゼロ多項式ですが、 K内のすべてのtに対して、ゼロ関数もそうであり、準同型は同型ではありません (実際、多項式の代数は無限であるのに対し、多項式関数の代数は有限であるため、代数は同型ではありません)。 ${\displaystyle A=K[x]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)}$${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$${\displaystyle p(x)=\prod \limits _{t\in K}(x-t)}$${\displaystyle p(t)=0}$${\displaystyle {\hat {p}}=0}$

Kが無限大の場合、となる多項式f を選択します。これは となることを示したいとします。と をKのn  +1 個の異なる要素とします。すると、について、そしてラグランジュ補間により が得られます。したがって、マッピングは単射です。このマッピングは明らかに全射であるため、全単射であり、したがってAとBの代数同型です。 ${\displaystyle {\hat {f}}=0}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \deg f=n}$${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}}$${\displaystyle f(t_{i})=0}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$

k を特性0 (または少なくとも非常に大きい)の無限体とし、 V を有限次元ベクトル空間 とします。

が対称な多重線形関数のベクトル空間を表すとします。は のすべての順列に対して同じです。${\displaystyle S^{q}(V)}$${\displaystyle \textstyle \lambda :\prod _{1}^{q}V\to k}$${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})}$${\displaystyle v_{i}}$

λは次数qの同次多項式関数fを生じます。fが多項式関数であることを確認するには、 Vの基底とその双対を選択します。すると、 ${\displaystyle S^{q}(V)}$ ${\displaystyle f(v)=\lambda (v,\dots ,v).}$${\displaystyle e_{i},\,1\leq i\leq n}$${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})}$、

これはfがt _iの多項式であることを意味します。

したがって、明確に定義された線形写像が存在する。

${\displaystyle \phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).}$

これは同型であることを示します。前と同じように基底を選択すると、次数qの任意の同次多項式関数f は次のように表すことができます。

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}}$

ここで、 はにおいて対称である。 ${\displaystyle a_{i_{1}\cdots i_{q}}}$${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{q}}$

${\displaystyle \psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).}$

明らかに、は恒等関数であり、特にφは射影的である。φが単射であることを確認するために、φ(λ) = 0と仮定する。 ${\displaystyle \phi \circ \psi }$

${\displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}$、

これはゼロです。上記の式のt ₁ t ₂ … t _qの係数はq ! × λ( v ₁ , …, v _q ) であり、λ = 0 となります。

注: φ は基底の選択に依存しません。したがって、上記の証明は ψ も基底に依存しないことを示していますが、この事実は事前に明らかではありません。

例: 双線形関数は独特な方法で 二次形式を生じ、あらゆる二次形式はこのようにして生じます。

滑らかな関数が与えられた場合、局所的には、テイラー級数展開から関数の偏微分を得ることができ、逆に級数展開から関数を復元することができる。この事実はベクトル空間上の多項式関数にも当てはまる。f が k [ V ] に属する場合、次のように書くことができる。x 、yがVに属する場合、

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)}$

ここでg _n (x, y) はyに関してn次同次であり、そのうちの有限個のみが非ゼロである。

${\displaystyle (P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),}$

結果としてk [ V ]の線型自己準同型 P _{y が}得られる。これは分極演算子と呼ばれる。すると、約束通り次のようになる。

証明: まず、( P _y f ) ( x ) はf ( x + t y )におけるtの係数であることに注意します。言い換えると、g ₀ ( x , y ) = g ₀ ( x , 0) = f ( x ) であるため、

${\displaystyle P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)}$

ここで右辺は定義により、

${\displaystyle \left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.}$

このことから定理が導かれます。たとえば、n  = 2 の場合、次のようになります。

${\displaystyle P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).}$

一般的なケースも同様です。${\displaystyle \square }$

多項式が体k上ではなく、何らかの代数上で値を持つ場合、追加の構造を定義できます。したがって、たとえば、k = GL(1,m)の代わりに、GL(n,m)上の関数の環を検討できます。^{[説明が必要]}この場合、追加の公理を課すことができます。

作用素積代数は、次の形式の 結合代数である。

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

構造定数は、 あるベクトル束のセクションではなく、一価関数である必要があります。体 (または演算子) は、関数の環を張る必要があります。実際の計算では、通常、和がある収束半径内で解析的である必要があります。通常、収束半径は です。したがって、関数の環は多項式関数の環と見なすことができます。 ${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$${\displaystyle A^{i}(x)}$${\displaystyle |x-y|}$

上記は、環に課せられた追加の要件であると考えることができ、ブートストラップと呼ばれることもあります。物理学では、作用素積代数の特殊なケースは、作用素積展開として知られています。

• 射影空間の代数幾何学
• 多項式環
• 対称代数
• ザリスキ接空間

• 小林 誠、野水 和夫 (1963) 『微分幾何学の基礎』第 2 巻(新版)、Wiley-Interscience (2004 年出版)。