通常のスキーム

代数幾何学において、代数多様体または代数スキーム Xが正規 であるとは、それがすべての点で正規である場合、つまりその点での局所環が整閉領域である場合を指します。アフィン多様体 X (既約であると理解されている) が正規となるのは、 X上の正則関数の環O ( X ) が整閉領域である場合に限ります。体上の多様体X が正規となるのは、任意の多様体YからXへのすべての有限双有理射が同型である場合に限ります。

通常の変種はZariski  (1939、セクションIII) によって導入されました。

多様体の射は、あらゆる点の逆像が有限で、射が真である場合に有限である。多様体の射は、稠密な開集合間の同型に制限される場合に双有理である。したがって、たとえば、x ² = y ³で定義されるアフィン平面A ^{2の尖点三次曲線}X は正規ではない。なぜなら、同型ではない有限双有理射A ¹ → X (つまり、t は( t ³ , t ² )に写像される) が存在するからである。対照的に、アフィン直線A ^{1 は}正規である。これは、有限双有理射によってこれ以上簡略化することはできない。

正規複素多様体X は、古典的な位相を用いた成層空間として見た場合、すべてのリンクが連結であるという性質を持ちます。同様に、すべての複素点x には、 U からXの特異集合を引いたものが連結されるような任意の小さな近傍Uがあります。たとえば、図の ノード 3 次曲線X はy ² = x ² ( x + 1) で定義され、正規ではありません。これは、 A ^1からXへの有限の双有理射があり、これは同型ではないため、正規性の定義からもわかります。この射は、 A ^{1の 2 つの点を}Xの同じ点に送信します。

より一般的には、スキーム Xが正規であるとは、その各局所環が

O _X、x

は整閉領域です。つまり、これらの環のそれぞれは整領域 Rであり、R ⊆ S ⊆ Frac( R )を満たすすべての環Sで、 SがR加群として有限生成されるものはRに等しくなります。(ここで、 Frac( R ) はRの分数体を表します。) これは、 Xへのすべての有限双有理射が同型であるという幾何学的条件を、局所環に関して直接変換したものです。

より古い概念では、射影空間のサブ多様体X は、埋め込みを与える線型システムが完全であれば線型正規である。同様に、 X ⊆ P ^{n は、埋め込み}X ⊆ P ⁿ⁺¹の線型射影ではない( Xが超平面P ^{nに含まれていない限り)。これは、}有理正規曲線や有理正規スクロールという語句における「正規」の意味である。

すべての正規スキームは正規である。逆に、ザリスキ（1939、定理11）は、すべての正規多様体は少なくとも2の余次元の部分集合の外側では正規であり、同様の結果はスキームにも当てはまることを示しました。^[1]したがって、たとえば、すべての正規曲線は正規です。

任意の簡約スキーム Xには、一意の正規化、つまり積分双有理射Y → Xを持つ正規スキームY があります。(体上の多様体Xに対して、射Y → X は有限であり、「積分」よりも強いです。^{[2] ) 次元 1 のスキームの正規化は正則であり、次元 2 のスキームの正規化には孤立した特異点のみがあります。正規化は通常、高次元のスキームの}特異点の解決には使用されません。

正規化を定義するには、まずX が既約な 縮約スキームXであると仮定します。Xのすべてのアフィン開部分集合は、 Rが整域であるSpec Rという形式を持ちます。 X をアフィン開部分集合 Spec A _iの和集合として書きます。 B _{i を}A _{iの分数体における}整閉包とします。すると、 Xの正規化は、アフィンスキーム Spec B _{i を}貼り合わせることによって定義されます。

初期スキームが既約でない場合、正規化は既約コンポーネントの正規化の分離した和集合として定義されます。

アフィン曲線を考える

${\displaystyle C={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)}$

原点にカスプ特異点がある。その正規化は写像によって与えられる。

${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t])\to C}$

代数マップから誘導される

${\displaystyle x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}}$

例えば、

${\displaystyle X={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

は2つの成分を持つため、既約スキームではない。その正規化はスキーム射影によって与えられる。

${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

2つの商写像から誘導される

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)}$

同様に、UFDにおける同次既約多項式の場合、${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

は射影によって与えられる

${\displaystyle {\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

• ノイマン正規化補題
• 特異点の解決

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数。代数幾何学に向けて。、Graduate Texts in Mathematics、vol. 150、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、91ページ
• ザリスキ、オスカー (1939)、「代数多様体の算術理論におけるいくつかの結果」、アメリカ数学誌、61 (2): 249–294、doi :10.2307/2371499、JSTOR  2371499、MR  1507376