Loading article…
数学において、コヒーレント双対性とは、代数幾何学や複素多様体理論におけるコヒーレント層、および「局所」理論の一部である可換代数のいくつかの側面に適用される、Serre双対性の多くの一般化のいずれかである。
この理論の歴史的ルーツは、古典代数幾何学における因子の線形系の随伴線形系という考え方にあります。これは、層理論の出現とともに、ポアンカレ双対性との類似性がより明確になる形で再表現されました。その後、グロタンディークの相対的観点という一般的な原理に従って、ジャン＝ピエール・セールの理論は適切な射に拡張されました。セール双対性は、非特異射影多様体（または完全多様体）から一点への射の場合として回復されました。結果として得られた理論は現在、セール・グロタンディーク・ヴェルディエ双対性と呼ばれることもあり、代数幾何学の基本的なツールとなっています。この理論を扱ったロビン・ハートショーンの『 Residues and Duality』（1966年）は、参考文献となりました。具体的な派生概念の一つに、グロタンディークの剰余があります。
ポアンカレ双対性のうち、閉多様体以外のバージョンについては、適切な射を超えて、コンパクトサポートの概念の何らかのバージョンが必要となる。これは、 SGA2において局所コホモロジーとグロタンディーク局所双対性の観点から扱われ、その後も議論が続いている。1976年にラルフ・シュトレーベル、1978 年にエベン・マトリスによって初めて定式化されたグリーンリーズ・メイ双対性は、この分野の継続的な考察の一部である。
セール双対性では線束または可逆層を双対化層として用いるが、一般理論は（実際には）それほど単純ではない。（より正確には、単純ではあるが、ゴレンシュタイン環条件を課す必要がある。）グロタンディークは、特徴的な展開として、一般のコヒーレント双対性を右随伴関手の存在として再定式化した。ねじれ逆像関手または例外逆像関手と呼ばれるものから、コンパクトサポート関手を持つ高次の直接像へ。
高次の直接像は、この場合、適切な（コンパクトな）サポートを持つ層コホモロジーの層化された形式であり、ホモロジー代数の導来圏定式化（この場合を念頭に置いて導入されたもの）によって単一の関手にまとめられます。正しいならば、 は逆像関手の右随伴関手である。ねじれた逆像の存在定理とは、求められる随伴のコモナドのコユニット、すなわち自然変換の存在を証明する定理のことである。
これは、（ハートショーン）または（ヴェルディエ）。表記が示唆するように、双対性が統合によって定義されるという点において、これは理論の古典的な意味に最も近い側面である。
より正確に言うと、準連接層の導来圏からの完全関手として存在する類似のカテゴリーへ、 いつでも
は、有限クルル次元のネーター的スキームの適切な射影または準射影射である。[ 1 ]これから、理論の残りの部分が導き出される。双対化複体は、、グロタンディーク剰余記号、コーエン・マコーレーの場合の双対化層。
より古典的な言語で、かつSerre双対性よりも広い範囲で記述するために、Hartshorne（代数幾何学）は層のExt関手を使用します。これは導来圏への一種の足がかりとなります。
射影的射または固有射に対するグロタンディーク双対性の古典的な記述ハートショーン（ 『剰余と双対性』 ）に見られる有限次元のネーター的スキームには、次の準同型写像がある。
のために上に境界のある複合体準コヒーレントコホモロジーを持つモジュールと下限のある複合体-コヒーレントコホモロジーを持つモジュール。ここでは、は準同型写像の層である。
長年にわたり、擬ファンクターが出現した。ごく最近の成功したアプローチの1つは、剛体双対化複体の概念に基づいている。この概念は、非可換な文脈でヴァン・デン・ベルフによって最初に定義された。[ 2 ]この構成は、導来ホッホシルトコホモロジー（シュクラコホモロジー）の変種に基づいている。は可換環であり、 可換である代数。ファンクターが存在するこれはコチェーン複合体を取る物体に対して派生カテゴリでは[ 3 ] [ 4 ]
仮定するとは、相対的に定義上ペアであるどこ双対化複合体である有限の平面次元を持つ、そして は導来圏における同型写像である。もしそのような厳密な双対化複合体が存在するならば、それは強い意味で唯一無二である。[ 5 ]
仮定すると有限型の局所化-代数、上の剛体双対化複体の存在相対的にYekutieliとZhang [ 5 ]によって最初に証明された。は有限クルル次元の正則ネーター環であり、アブラモフ、イエンガー、リップマン[ 6 ]は、は有限クルル次元のゴレンシュタイン環であり、は有限の平面次元を持つ。
もしは有限型のスキームであるアフィン部分が持つ剛体双対化複体を貼り合わせることで、剛体双対化複体を得ることができる[ 7 ]。いったん、固定双対化複合体のグローバルな存在が確立されると、マップが与えられます。計画の定義することができる、ある計画の場合私たちは設定しました。
射影多様体の双対化複体複素数によって与えられる
射影多様体を考える
計算できます解像度を使用する局所的に自由な層によって。これは複素数によって与えられる。
以来私たちはそれを持っています
これは複合施設です
![{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85cff983ed48417a1f47a7ea0d4fcc109d576bc)
![{\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad2bb7728e03369a8c48045397ad904b4d01072)
![{\displaystyle \mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc73c20898167218f52d8fe0282727176529117)
![{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893bd3f4438379824e6570e11b66e8bda32ebf53)
![{\displaystyle [{\mathcal {O}}(-4)\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}} {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}} {\mathcal {O}}(-1)][-3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf38642e3425807393caabed4e0a0bf1f870397)