オイラー数列

数学において、オイラー数列は、環上のn次元射影空間上の層の特定の正確な数列である。これは、相対微分層がセールねじり層の双対の - 重和に安定同型であることを示す。 ${\displaystyle (n+1)}$

オイラー数列は、射影バンドルやグラスマンバンドルにも一般化されます(この一般化については、後者の記事を参照してください)。

を可換環A上のn次元射影空間とします。をこの空間上の 1 微分層とします。以下同様です。オイラー数列は、 上の層の次の正確な数列です。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$${\displaystyle \Omega^{1}=\Omega_{\mathbb{P}_{A}^{n}/A}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$

$${\displaystyle 0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.}$$

このシーケンスは、次数1で および の準同型を定義し、次数で射​​影し、標準チャート上で局所的にカーネルが相対微分モジュールと同型であることを確認することによって構築できます。 ^[1]${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}}$${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle e_{i}=1}$${\displaystyle \geq 1}$${\displaystyle n+1}$

A は体 kであると仮定します。

上記の正確なシーケンスは、シーケンスの双対です

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0}$、

の接線層はどこですか。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

この数列の座標フリー版をk上の次元ベクトル空間Vについて説明しよう。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.}$

このシーケンスは、中心項のセクションをV上の1 同次ベクトル場として解釈することで最も簡単に理解できます。そのようなセクションの 1 つであるオイラー ベクトル場は、多様体の各点に接ベクトルを関連付けます。このベクトル場は、0 同次関数、つまり相似再スケーリングによって不変である関数、つまり「放射状座標に依存しない」関数上で一様に消えるという意味で放射状です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$

上の関数（何らかの開集合上で定義）は、引き戻しによってV上の 0 同次関数（これも部分的に定義）を生じます。オイラーベクトル場をこのような関数で乗算すると、1 同次ベクトル場が得られます。これが最初のマップの定義であり、その単射性は直接的です。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$

2 番目の写像は微分の概念に関連しており、ベクトル場の概念と同等です。射影空間の開集合U上のベクトル場は、この開集合上で定義された関数の微分として定義できることを思い出してください。 Vで引き戻すと、これは 0 同次関数を保存するUの逆像上の微分と同等です。 上の任意のベクトル場はこのようにして取得でき、この写像の単射性の欠陥は、まさに放射状ベクトル場から構成されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$${\displaystyle \mathbb {P} V}$

したがって、2 番目の射の核は最初の射の像に等しくなります。

最大の外冪を取ると、射影空間の標準層が で与えられることがわかります。特に、射影空間はファノ多様体です。標準バンドルが反豊富であり、この直線バンドルが非ゼロの大域断面を持たないため、幾何学的種数は 0 です。これは、オイラー数列を見て、それをの形式の任意の短完全数列の行列式公式^[2]に代入することで見つけることができます。 $${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).}$$ $${\displaystyle \det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$

オイラー数列は、射影空間のチャーン類を計算するために使用できます。連接層の短い正確な数列が与えられれば、 公式 を使って の全チャーン類を計算できることを思い出してください。^[3]たとえば、 について が見つかります^[4] 。 ここで は、チャウ環の超平面類を表します。正確な数列^[5]を使用すると 、再び全チャーン類の公式を使用して を見つけることができます 。分母の多項式を反転する必要があるため、これはとなるようなべき級数を見つけることと同等です。 $${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})}$ $${\displaystyle 0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots }$${\displaystyle a([H])c(\Omega ^{1})=1}$

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ルベイ、エレナ（2014）、代数幾何学、簡潔な辞典、ベルリン/ボストン：ウォルター・デ・グリュイター、ISBN 978-3-11-031622-3