小平の消失定理

数学において、小平消滅定理は複素多様体理論および複素代数幾何学の基本的な結果であり、指数q > 0 の層コホモロジー群が自動的にゼロとなる一般的な条件を記述する。指数q = 0の群の場合、通常はその次元（独立した大域切断の数）が、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理を用いて計算できる正則オイラー標数と一致する。

小平邦彦の結果の記述は、 M が複素次元nのコンパクトケーラー多様体であり、L がM上の任意の正の正則線束であり、K _{M が}標準線束である場合、

${\displaystyle H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0}$

q > 0 の場合。${\displaystyle K_{M}\otimes L}$は線束のテンソル積を表す。Serre双対性により、 の消滅も得られる。${\displaystyle H^{q}(M,L^{\otimes -1})}$q < nの場合。一般化として小平-中野消滅定理があり、${\displaystyle K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)}$ここで、Ω ⁿ ( L )は、 Lに値をとるM上の正則 ( n ,0) 形式の層を表し、Ω ^r ( L ) は、 Lに値をとる正則 ( r ,0) 形式の層に置き換えられます。すると、 q + r > nのときはいつでもコホモロジー群 H ^q ( M , Ω ^r ( L )) は消滅します。     

小平消滅定理は、ケーラー計量などの超越的手法を参照することなく、代数幾何学の言葉で定式化できる。線束Lの正値性は、対応する可逆層が豊富であること（すなわち、あるテンソル冪が射影埋め込みを与えること）を意味する。代数的小平・秋月・中野消滅定理は、次の記述である。

k が標数ゼロの体であり、X が次元dの滑らかで射影的なkスキームであり、L がX上の十分な可逆層である場合、^{[ 1 ]}

${\displaystyle H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d,}$

ここでΩp^は相対（代数的）微分形式の層を表す（ケーラー微分を参照）。

Raynaud (1978) は、この結果が特性p > 0の体上で常に成り立つとは限らず、特にRaynaud 曲面では成り立たないことを示した。その後、 Sommese (1986)は非対数標準特異点を持つ特異多様体の反例を示し、^{[ 2 ]}また、Lauritzen & Rao (1997)は非縮約安定化子を持つ適切な同次空間に触発された初等的な反例を示した。

1987年までは、標数0における既知の証明は複素解析的証明とGAGA比較定理に基づくものだけであった。しかし、1987年にピエール・ドリーニュとリュック・イリュジーは（Deligne & Illusie 1987 ）において、消滅定理の純粋に代数的な証明を与えた。彼らの証明は、代数的ド・ラーム・コホモロジーのホッジ・ド・ラーム・スペクトル系列が次数1で退化することを示すことに基づいている。これは、標数p > 0からの対応するより具体的な結果を持ち上げることによって示される。正標数の結果は制限なしには成り立たないが、持ち上げることで完全な結果が得られる。   

歴史的に、小平埋め込み定理は消失定理の助けを借りて導出されました。セール双対性を適用すると、曲線や曲面のさまざまな層コホモロジー群（通常は標準的な線束に関連する）の​​消失が、エンリケス・小平分類などの複素多様体の分類に役立ちます。

• 川俣-ヴィーヴェーク消失定理
• マンフォードの消失定理
• ラマヌジャンの消滅定理

• ドリーニュ、ピエール。 Illusie, Luc (1987)、「Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham」、Inventiones Mathematicae、89 (2): 247–270、Bibcode : 1987InMat..89..247D、doi : 10.1007/BF01389078、S2CID 119635574 
• エノー、エレーヌ。 Viehweg、Eckart (1992)、消失定理に関する講義(PDF)、DMV セミナー、vol.  20、ビルクホイザー版、ISBN 978-3-7643-2822-1MR 1193913​ 
• フィリップ・グリフィスとジョセフ・ハリス著『代数幾何学の原理』
• Huybrechts, Daniel (2004年11月18日).複素幾何学入門. Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 年 (リンク)
• 小平邦彦 (1953)「解析スタック理論における微分幾何学的方法について」米国科学アカデミー紀要、39 (12): 1268–1273、Bibcode : 1953PNAS...39.1268K、doi : 10.1073/pnas.39.12.1268、PMC 1063947、PMID 16589409  
• Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997)、「素特性で消滅する小平問題に対する基本的な反例」、Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci.、107、Springer Verlag: 21–25、arXiv : alg-geom/9604012、doi : 10.1007/BF02840470、S2CID 16736679 
• Raynaud, Michel (1978)、「Contre-example au vanishing theorem en caractéristique p>0」、CP Ramanujam---トリビュート、Tata Inst.基金。解像度数学の研究、vol.  8、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 273–278、MR 0541027  
• 藤野修（2009）「対数正準ペアのための対数最小モデルプログラムの紹介」arXiv : 0907.1506 [ math.AG ]。
• Sommese, Andrew John (1986). 「射影多様体の随伴理論構造について」.複素解析と代数幾何学. 数学講義録. 第 1194巻. pp. 175–213 . doi : 10.1007/BFb0077004 . ISBN  978-3-540-16490-6。