投影化

数学において、射影化（しょうげんか、英: projectivization ）とは、非零ベクトル空間 V を射影空間 P ( V )に関連付ける手続きであり、その要素はVの1 次元部分空間である。より一般的には、スカラー乗法で閉じたVの任意の部分集合S は、 Sに含まれる直線によって形成されるP ( V )の部分集合を定義し、 Sの射影化と呼ばれる。^{[1] [2]}

• 射影化は、群作用による因数分解の特殊なケースです。射影空間P ( V ) は 、スカラー変換による基底体の乗法群の作用による非ゼロベクトルの開集合V \ {0}の商です。代数幾何学の意味でのP ( V )の次元は、ベクトル空間Vの次元より 1 小さくなります。
• 射影化は、単射線型写像に関して関数的である。

${\displaystyle f:V\to W}$

が自明な核を持つ線型写像である場合、fは対応する射影空間の代数写像を定義する。

${\displaystyle \mathbf {P} (f):\mathbf {P} (V)\to \mathbf {P} (W).}$

特に、一般線型群GL( V )は射影空間P ( V )に自己同型によって作用する。

関連する手続きは、体K上のベクトル空間V を同じ次元の射影空間P ( V ⊕ K )に埋め込む。 Vのすべてのベクトルvに、 V ⊕ Kのベクトル( v , 1)が張る直線を関連付ける。

代数幾何学では、射影多様体 Proj S を次数付き可換代数 Sに関連付ける手順があります( Sにはいくつかの技術的な制限があります)。S がベクトル空間V上の多項式代数 である場合、Proj SはP ( V )です。このProj 構成により、次数付き可換環と射影次数付き写像のカテゴリから射影スキームのカテゴリへの反変関手が生成されます。