商スタック

代数幾何学において、商スタックは同変オブジェクトをパラメータ化するスタックです。幾何学的には、スキームまたは多様体の商をグループで一般化します。つまり、商多様体は商スタックの粗い近似になります。

この概念は、スタックの研究において基本的な重要性を持ちます。自然界に生じるスタックは、多くの場合、それ自体が商スタックであるか、商スタックによる層化が可能です (例: Deligne–Mumford スタック)。商スタックは、分類スタックなどの他のスタックの構築にも使用されます。

商スタックは次のように定義される。GをスキームS上のアフィン滑らかな群スキームとし、XをGが作用するSスキームとする。商スタックをSスキーム のカテゴリ上のカテゴリとし、ここで ${\displaystyle [X/G]}$

• T上のオブジェクトは、同変写像を伴う主Gバンドル である。${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P\to X}$
• からへの射はバンドル写像（つまり、可換図式を形成する）であり、同変写像およびと互換性がある。${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P'\to T'}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle P'\to X}$

商が 代数空間として存在すると仮定する（例えば、キール・モリ定理による）。標準写像 ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$、

束P をT上の対応するT点に送る^[1]はスタックの同型である必要はない。つまり、空間 "X/G" は通常より粗い。標準写像が同型であるのは、安定化因子が自明である場合のみである（その場合が存在する）。^[要出典]${\displaystyle X/G}$

一般に、はアルティンスタック（代数スタックとも呼ばれる）です。幾何学的点の安定子が有限かつ簡約である場合、それはドリーニュ・マンフォードスタックです。 ${\displaystyle [X/G]}$

Burt Totaro  (2004) は、次のことを示しました。Xを、閉点における安定群がアフィンである正規ノイザン代数スタックとします。すると、Xが商スタックとなるのは、それが解像度特性を持つ場合のみです。つまり、すべてのコヒーレント層はベクトル束の商です。以前、Robert Wayne Thomason は商スタックが解像度特性を持つことを証明しました。

An effective quotient orbifold, e.g., ${\displaystyle [M/G]}$ where the ${\displaystyle G}$ action has only finite stabilizers on the smooth space ${\displaystyle M}$, is an example of a quotient stack.^[2]

If ${\displaystyle X=S}$ with trivial action of ${\displaystyle G}$ (often ${\displaystyle S}$ is a point), then ${\displaystyle [S/G]}$ is called the classifying stack of ${\displaystyle G}$ (in analogy with the classifying space of ${\displaystyle G}$) and is usually denoted by ${\displaystyle BG}$. Borel's theorem describes the cohomology ring of the classifying stack.

One of the basic examples of quotient stacks comes from the moduli stack ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ of line bundles ${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$ over ${\displaystyle {\text{Sch}}}$, or ${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$ over ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ for the trivial ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-action on ${\displaystyle S}$. For any scheme (or ${\displaystyle S}$-scheme) ${\displaystyle X}$, the ${\displaystyle X}$-points of the moduli stack are the groupoid of principal ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-bundles ${\displaystyle P\to X}$.

There is another closely related moduli stack given by ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$ which is the moduli stack of line bundles with ${\displaystyle n}$-sections. This follows directly from the definition of quotient stacks evaluated on points. For a scheme ${\displaystyle X}$, the ${\displaystyle X}$-points are the groupoid whose objects are given by the set

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

The morphism in the top row corresponds to the ${\displaystyle n}$-sections of the associated line bundle over ${\displaystyle X}$. This can be found by noting giving a ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant map ${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$ and restricting it to the fiber ${\displaystyle P|_{x}}$ gives the same data as a section ${\displaystyle \sigma }$ of the bundle. This can be checked by looking at a chart and sending a point ${\displaystyle x\in X}$ to the map ${\displaystyle \phi _{x}}$, noting the set of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps ${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$ is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. This construction then globalizes by gluing affine charts together, giving a global section of the bundle. Since ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps to ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ is equivalently an ${\displaystyle n}$-tuple of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-equivariant maps to ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$, the result holds.

Example:^[3] Let L be the Lazard ring; i.e., ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$. Then the quotient stack ${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$ by ${\displaystyle G}$,

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

is called the moduli stack of formal group laws, denoted by ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$.

• Homotopy quotient
• Moduli stack of principal bundles (which, roughly, is an infinite product of classifying stacks.)
• Group-scheme action
• Moduli of algebraic curves

• ピエール・ドリーニュ; Mumford, David (1969)、「与えられた種数の曲線空間の既約性」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、36 (36): 75–109、CiteSeerX  10.1.1.589.288、doi :10.1007/BF02684599、MR  0262240
• 東太郎、バート（2004）。 「スキームとスタックの解決プロパティ」。数学に関するジャーナル。577 : 1-22. arXiv : math/0207210。土井：10.1515/crll.2004.2004.577.1。MR  2108211。

その他の参考文献としては

• Behrend, Kai (1991). 主バンドルのモジュライスタックの Lefschetz トレース公式(PDF) (論文). カリフォルニア大学バークレー校.
• Edidin, Dan. 「曲線のモジュライ空間の構築に関する注記」(PDF)。