引用スキーム

代数幾何学において、Quot スキームは、射影スキーム上の層をパラメータ化するスキームです。より具体的には、X がノイザンスキームS上の射影スキームであり、F がX上の連接層である場合、 T点の集合がT上で平坦な の商の同型類の集合であるスキームが存在します。この概念は、アレクサンダー・グロタンディークによって導入されました。^[1]${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}$${\displaystyle F\times _{S}T}$

これは通常、ヒルベルト スキームなどの、関心のある幾何学的オブジェクトをパラメーター化する別のスキームを構築するために使用されます。(実際、F を構造層とすると、ヒルベルト スキームが得られます。) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

ネーター基底スキーム上の有限型のスキーム とコヒーレント層 に対して、関手^{[2] [3]が存在する。}${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{集合}}}$

送信先${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{有限表示}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ }}T 上で適切\\{\mathcal {F}}{\text{ }}T 上で平坦\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{全射}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

ここで、射影 と である。2つの射影 と可換な同型が存在する場合、によって同値関係が与えられる。つまり、${\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}$${\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle q,q'}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}$

は の可換図式です。あるいは、 が成り立つという同等の条件があります。これはquot 関手と呼ばれ、これは部分関手の互いに素な和集合に自然に成層化します。各部分関手はヒルベルト多項式 に関連付けられたquotスキームと呼ばれる射影的 -スキームによって表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}$${\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Phi}$

比較的非常に豊富な 線束 ^[4]と任意の閉点 に対して、${\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim }}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}$

これは に対する多項式である。これはヒルベルト多項式と呼ばれ、quot 関数の自然な層化を与える。また、が固定されている場合、部分関数の互いに素な和集合が存在する。${\displaystyle m>>0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal { F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\ファイ \右\}}$

ヒルベルト多項式は、閉点 に対するのヒルベルト多項式です。ヒルベルト多項式は、非常に豊富な直線束の選択に依存しないことに注意してください。 ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

関数はすべて上の射影スキームによって表現可能であるというのはグロタンディークの定理です。 ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}$${\displaystyle S}$

次元ベクトル空間の平面の グラスマン多様体は普遍商を持つ${\displaystyle G(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}$

ここで はで表される -平面です。は局所的に自由であり、すべての点で-平面を表すため、定数ヒルベルト多項式 を持ちます。これは、 がquot 関数を表すことを示しています。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in G(n,k)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Phi (\lambda )=k}$${\displaystyle G(n,k)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}$

特別なケースとして、プロジェクト空間を「スキーム」として構築することができます。${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}$

-scheme上の束に対して。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

ヒルベルトスキームは「スキーム」の特別な例です。サブスキームは射影として与えられることに注意してください。${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

そして、そのような投影の平坦な族は、スキームによってパラメータ化され、次のように与えられる。${\displaystyle T\in Sch/S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}$

に関連付けられたヒルベルト多項式が存在するので、スキームの同型性が存在する。${\displaystyle Z}$${\displaystyle \Phi _{Z}}$

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}$

代数的に閉じた体 に対して、非ゼロ断面はヒルベルト多項式で消失軌跡を持つ。${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle Z=Z(s)}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}$

そして、射影がある

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

核 を持つ。 は任意の非ゼロ断面であり、に対するの消失軌跡は同じ消失軌跡を与えるので、 スキームはそのようなすべての断面の自然なパラメータ化を与える。上に層があり、任意の に対して、関連する部分スキームと全射 が存在する。この構成は、quot 関手${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle a\cdot s}$${\displaystyle a\in k^{*}}$${\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X\times Q}$${\displaystyle [s]\in Q}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}$

かつ のとき、ヒルベルト多項式は${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}$

上の普遍商は次のように与えられる。${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}$

ここで、点上のファイバーは射影写像を与える。${\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

例えば、係数が${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}$

${\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}$

上の普遍商は、短い正確な数列を与える。${\displaystyle [Z]}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

種数曲線上の半安定ベクトル束は、有限階数の局所自由層として同値に記述できる。このような階数と次数の局所自由層は、以下の性質を持つ^[5]。${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$グローバルセクションによって生成される

に対して。これは全射が存在することを意味する。${\displaystyle d>n(2g-1)}$

${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}$

そして、quotスキームはそのような全射をパラメータ化する。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を用いると、次元は${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}$

次数の固定線束にはねじれがあり、次数が だけシフトするので、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}$${\displaystyle nm}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}$^[5]

ヒルベルト多項式を与える

${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}$

そして、半安定ベクトル束の軌跡は、

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}$

これはGIT商を用いて半安定ベクトル束のモジュライ空間を構築するために使用できる。^[5]${\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}$

• ヒルベルト多項式
• 平坦射影
• ヒルベルトスキーム
• モジュライ空間
• GIT 指数

• 安定写像と量子コホモロジーに関するノート
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/