ネータースキーム

代数幾何学において、ネータースキームは、それぞれがネーター環である開アフィン部分集合による有限被覆が許容されるスキームです。より一般的には、スキームがネーター環のスペクトルによって被覆されている場合、スキームは局所ネーターです。したがって、スキームがネーターであるためには、それが局所ネーターかつコンパクトである必要があります。ネーター環と同様に、この概念はエミー・ネーターにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

局所的ネータースキームでは、が開アフィン部分集合である場合、Aはネーター環であることが示されます  。特に、は、 Aがネーター環である場合に限り、ネータースキームです。局所的ネータースキーム X の場合、局所環もネーター環です。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

ネータースキームはネーター位相空間です。しかし、その逆は一般には偽です。たとえば、非ネーター付値環のスペクトルを考えてみましょう。

定義は正式なスキームにまで拡張されます。

一般に、スキームに関するステートメントに対して (局所的に) ネーター仮説を持つことで、その多くの特性が十分に厳格化されるため、多くの問題が扱いやすくなります。

ネーター環とネータースキームに関する最も重要な構造定理の一つは、デヴィサージュ定理である。これにより、連接層に関する議論を帰納的議論に分解することが可能になる。連接層の短い完全列が与えられた場合、

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$

層の 1 つが何らかの特性を持つことを証明することは、他の 2 つが特性を持つことを証明することと同等です。特に、固定された連結層と部分連結層 が与えられている場合、 が何らかの特性を持つことを示すことは、 と を見ることに帰着できます。このプロセスは、有限回数だけ非自明に適用できるため、多くの帰納的議論が可能になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'}$

あらゆるネータースキームは有限個の成分しか持つことができない。^[1]

ネータースキームからのすべての射は準コンパクトである。^[2]${\displaystyle X\to S}$

ネータースキームには多くの優れたホモロジー特性がある。 ^[3]

チェフコホモロジーおよび層コホモロジーは、アフィン開被覆で一致します。これにより、標準開被覆のチェフコホモロジーを使用して 層コホモロジーを計算することが可能になります。${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$

ノイザンスキーム上のアーベル群の層の 直接的な系が与えられた場合、標準同型が存在する。${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha } )}$

関数の意味

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

直接的な極限と余積を保存します。

ネータースキームへの局所有限型射と、上で適切なサポートを持つような有界コヒーレントコホモロジーを持つ層の複合体が与えられた場合、導出されたプッシュフォワードは上で有界コヒーレントコホモロジーを持ち、つまり 内のオブジェクトになります。^[4]${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$

興味のあるスキームのほとんどはネータースキームです。

ネータースキームの例の別のクラス^[5]は、基底がネーターであり、上で有限型であるスキームの族です。これには、ヒルベルトスキームの連結成分、つまり固定されたヒルベルト多項式など、多くの例が含まれます。これは、代数曲線のモジュライや安定ベクトル束のモジュライなど、一般に遭遇する多くのモジュライ空間がネーターであることを意味するため重要です。また、この特性は、代数幾何学で考慮される多くのスキームが実際にネーターであることを示すために使用できます。 ${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

特に、準射影多様体はネータースキームです。このクラスには、代数曲線、楕円曲線、アーベル多様体、カラビ-ヤウスキーム、志村多様体、K3 曲面、および3 次曲面が含まれます。基本的に、古典的な代数幾何学のすべてのオブジェクトは、この例のクラスに当てはまります。

特に、ネータースキームの微小変形は再びネーターです。たとえば、曲線 が与えられた場合、任意の変形もネータースキームです。このような変形の塔を使用して、正式なネータースキームを構築できます。 ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$

非ネーター的な自然環の一つに代数体に対するアデール環が ある。このような環を扱うために位相を考慮し、位相環を与える。このような環上の代数幾何学の概念は、ヴェイユとアレクサンダー・グロタンディークによって開発された。^[6]${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$

（すべての 1 の根を接合することによって）のような無限ガロア体拡大 が与えられると、整数環は次元 の非ネーター環になります。これは、有限次元スキームは必ずネーターであるという直感を覆します。また、この例は、非ネーター基底上のスキーム、つまりスキーム の研究が興味深く実りある主題になり得る理由の動機付けとなります。 ${\displaystyle K/L}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$

このような拡張の 特別なケースとして^{[7] pg 93}に最大非分岐拡張をとり、整数環を考えることがある。誘導射${\displaystyle K^{ur}/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K^{ur}}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

の普遍的なカバーを形成します。 ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

非ノイザン有限次元スキーム（実際にはゼロ次元）の別の例は、無限の数の生成元を持つ多項式環の次の商によって与えられます。

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$

• 優れたリング- ネーターリングよりもわずかに剛性が高いが、特性は優れている
• 構築可能な集合に関するシュバレーの定理
• ザリスキの主定理
• 二重化複合体
• 永田のコンパクト化定理

• ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。数学の大学院テキスト。第52巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157. Zbl  0367.14001.
• Harder, Günter . 「算術群のコホモロジー」(PDF) . 2020-07-24 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• ダニロフ、VI (2001) [1994]、「ノイザン図式」、数学百科事典、EMS プレス