代数トーラス

数学において、代数トーラス（1 次元トーラスが通常 、 、または と表記される）は、射影代数幾何学およびトーリック幾何学でよく見られる可換アフィン代数群の一種である。より高次元の代数トーラスは、代数群 の積としてモデル化できる。これらの群は、リー群論におけるトーラスの理論との類推により命名された（カルタン部分群を参照）。たとえば、複素数上では、代数トーラスは群スキームと同型であり、これはリー群 のスキーム理論的類似物である。実際、複素ベクトル空間上の任意の-作用は、実多様体としての包含から -作用に引き戻すことができる。 ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}}$

トーラスは、代数群やリー群の理論、および対称空間や建物など、それらに関連する幾何学的オブジェクトの研究において、基本的な重要性を持っています。

ほとんどの場合、基本体は完全であると仮定します（たとえば有限または特性ゼロ）。この仮説は、滑らかな群スキーム^{[1] pg 64}を持つために必要です。これは、代数群が特性 上で滑らかであるためには、写像が十分に大きい に対して幾何学的に縮小される必要があるためです。つまり、 上の対応する写像の像は、十分に大きい に対して滑らかであるということです。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle (\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$

一般的には、代数的閉包の代わりに分離可能閉包を使用する必要があります。

が体である場合、上の乗法群は、任意の体拡大に対して -点が群 に同型となるような代数群です。 を代数群として適切に定義するには、上のアフィン平面で、の等式によって定義されるアフィン多様体を座標としてとります。 乗法は、によって定義される正則有理写像を制限することによって与えられ、その逆は正則有理写像 の制限です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{\times}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

を代数的閉包を持つ体とします。すると、-トーラスは 上で定義され、 上で乗法群のコピーの有限積 に同型となる代数群になります。${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}}$

言い換えると、 が- 群である場合、ある に対してである場合に限り、それはトーラスです。トーラスに関連する基本的な用語は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$${\displaystyle r\geq 1}$

• この整数はトーラスの階数または絶対階数と呼ばれます。${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {T} }$
• トーラスが体拡大上で分割されていると言われるのは、の場合です。が分割されるの唯一の極小有限拡大が存在し、これはの分割体と呼ばれます。${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$
• の- ランクは、の分割されたサブトーラスの最大ランクです。トーラスが分割されるのは、その- ランクが絶対ランクに等しい場合のみです。${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle F}$
• トーラスの - ランクが 0 の場合、そのトーラスは異方性があると言われます。${\displaystyle F}$

代数群間の同型写像は有限核を持つ射影写像である。2 つのトーラスは、最初のトーラスから 2 番目のトーラスへの同型写像が存在する場合、同型であると言われる。トーラス間の同型写像は特によく振る舞う。任意の同型写像に対して、がべき乗写像となるような「双対」同型写像が存在する。特に、同型であることはトーラス間の同値関係である。 ${\displaystyle \phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '}$${\displaystyle \psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} }$${\displaystyle \psi \circ \phi }$

任意の代数的閉体上には、同型を除いて任意の階数の唯一のトーラスが存在する。階数代数的トーラスの場合、これ上のトーラスは群スキーム^{[1] 230 ページ}によって与えられる。 ${\displaystyle k={\overline {k}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}^{n}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])}$

実数体上には、階数 1 のトーラスが (同型を除いて) ちょうど 2 つ存在する: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 分割トーラス${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$
• コンパクト形式は、ユニタリ群 または特殊直交群として実現できます。これは異方性トーラスです。リー群としては、1-トーラスと同型で、対角化可能な代数群のトーラスとしての描像を説明します。${\displaystyle \mathbf {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$

任意の実トーラスは、これら 2 つの有限和に同型です。たとえば、実トーラスはによって二重に覆われます (ただし、同型ではありません) 。これは、同型で非同型のトーラスの例です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}}$

有限体 上には、2つの階数1のトーラスが存在する。分割トーラスは濃度、異方性トーラスは濃度 である。後者は行列群として実現できる。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle q+1}$$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}t&du\\u&t\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q}).}$$

より一般的には、が次数の有限体拡大である場合、の乗法群のから へのWeil 制限は、階数および-階数 1 の -トーラスです(不可分体拡大上のスカラーの制限により、トーラスではない可換代数群が生成されることに注意)。その体ノルムの核もトーラスであり、これは異方性で階数 です。階数 1 の任意の -トーラスは、二次拡大のノルムの核と分割または同型です。^[2]上記の 2 つの例は、この特殊なケースです。コンパクトな実トーラスは の体ノルムの核であり、 上の異方性トーラスはの体ノルムの核です。 ${\displaystyle E/F}$${\displaystyle d}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle d}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N_{E/F}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}}$

分離閉体上では、トーラスT は2 つの主要な不変量を許容します。重み 格子は代数準同型 T  →  G _mの群であり、コウェイト格子は代数準同型G _m  →  Tの群です 。これらは両方とも、階数がトーラスの階数である自由アーベル群であり、によって与えられる標準的な非退化ペアリングを持ちます。ここで、次数は、合成が乗法群上のn乗写像に等しい数nです。重みを取ることによって与えられる関数は、トーラスと自由アーベル群の間のカテゴリの反同値であり、コウェイト関数は同値です。特に、トーラスの写像は重みまたはコウェイト上の線型変換によって特徴付けられ、トーラスの自己同型群は Z上の一般線型群です。重み関数の準逆関数は、自由アーベル群からトーラスへの双対関数によって与えられ、点の関数によって次のように定義されます。 ${\displaystyle X^{\bullet }(T)}$${\displaystyle X_{\bullet }(T)}$${\displaystyle X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle (f,g)\mapsto \deg(f\circ g)}$

${\displaystyle D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {G} _{m,S}(X)).}$

この同値性は、乗法型の群（形式群の特別なクラス）と任意のアーベル群の間で通るように一般化することができ、トーラスのカテゴリには核やフィルターされた余極限がないため、このような一般化は、行儀の良いカテゴリで作業したい場合に便利です。

体K が分離的に閉じていない場合、 K上のトーラスの重みとコウェイトの格子は、分離可能な閉包上のそれぞれの格子として定義されます。これにより、Kの絶対ガロア群の格子への標準連続作用が誘導されます。この作用によって固定される重みとコウェイトは、  K上で定義される写像とまったく同じです。重みを取る関数は、代数準同型を持つK上のトーラスのカテゴリと、 Kの絶対ガロア群の作用を持つ有限生成の捩れのないアーベル群のカテゴリとの間の反同値です。

有限可分体拡大L / KとL上のトーラスTが与えられると、ガロア加群同型性 が得られる。

${\displaystyle X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}}^{G_{K}}X^{\bullet }(T).}$

T が乗法群である場合、これはスカラーの制限に置換加群構造を与えます。重み格子がガロア群の置換加群であるトーラスは準分割と呼ばれ、すべての準分割トーラスはスカラーの制限の有限積です。

上記の例でわかるように、トーラスは線形群として表すことができます。トーラスの別の定義は次のとおりです。

線型代数群は、代数閉包上で対角化可能である場合にのみトーラスになります。

トーラスは、この体上で対角化可能な場合にのみ、体上で分割されます。

が体上の半単純代数群である場合、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle F}$

• そのランク（または絶対ランク）は、 における最大トーラス部分群のランクです（すべての最大トーラスは 上で共役であるため、ランクは明確に定義されます）。${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle F}$
• その-ランク（-分割ランクと呼ばれることもある）は、 が 上で分割されるトーラス部分群の最大ランクです。${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

明らかに、階数は -階数以上です。等式が成り立つ場合（つまり、が 上で分割される最大トーラスが存在する場合）に限り、グループは分割されていると呼ばれます。グループに分割トーラスが含まれていない場合（つまり、-階数がゼロの場合）、 グループは異方性と呼ばれます。${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

複素体上の半単純リー代数の古典的理論では、カルタン部分代数はルート系とディンキン図による分類において基本的な役割を果たす。この分類は複素体上の連結代数群の分類と同等であり、カルタン部分代数はこれらの最大トーラスに対応する。実際、この分類は、分割最大トーラスが存在するという仮定（代数的に閉じた体上では自動的に満たされる）の下で、任意の基底体の場合にも引き継がれる。分割仮定がなければ、事態ははるかに複雑になり、より詳細な理論を開発する必要があるが、それは依然としてトーラスの随伴作用の研究に部分的に基づいている。

が半単純代数群内の最大トーラスである場合、代数閉包上でベクトル空間 内のルート系 が発生します。一方、 が最大 -分割トーラスである場合、 の-リー代数への作用により別のルート系 が発生します。制限写像は写像を誘導し、Tits 指数は、この写像の特性と のガロア群のへの作用の特性をエンコードする方法です。Tits 指数は、 に関連付けられた「絶対」ディンキン図の「相対」バージョンです。明らかに、有限個の Tits 指数のみが特定のディンキン図に対応できます。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle {}_{F}\Phi }$${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$${\displaystyle {\overline {F}}/F}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

分割トーラスに関連付けられた別の不変量は異方性核です。これは、の中心化の導来部分群として得られる半単純代数群です(後者は簡約群にすぎません)。名前が示すように、これは異方性群であり、その絶対型は によって一意に決定されます。 ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle {}_{F}\Phi }$

分類への第一歩は次の定理である^[3]

2 つの半単純- 代数群は、同じ Tits 指数と同型異方性核を持つ場合にのみ同型です。${\displaystyle F}$

これにより、分類問題は異方性群と、与えられたディンキン図に対してどのTits指数が起こり得るかを決定する問題に帰着します。後者の問題はTits (1966)で解決されています。前者はのガロアコホモロジー群に関連しています。より正確には、各Tits指数には上の一意の準分割群が関連付けられています。この場合、同じ指数を持つすべての -群はこの準分割群の内部形式であり、それらは随伴群に係数を持つ のガロアコホモロジーによって分類されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

が半単純リー群である場合、その実数階数は上で定義された -階数（実数点の群が に同型である任意の -代数群に対して）であり、言い換えると、埋め込み が存在するような最大値です。たとえば、 の実数階数は に等しく、 の実数階数は に等しくなります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$${\displaystyle \min(p,q)}$

が に関連付けられた対称空間であり、 が最大分割トーラスである場合、の唯一の軌道が存在し、 は 内の完全に測地的な平坦部分空間です。 これは実際に最大平坦部分空間であり、すべての最大のそのような部分はこのように分割トーラスの軌道として得られます。 したがって、 内の平坦部分空間の最大次元として、実ランクの幾何学的定義があります。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T\subset G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

リー群が有理体上の代数群の実数点として得られる場合、 の-階数も幾何学的な意味を持つ。これを得るには、に関連付けられた算術群（おおよそ の整数点の群）と商空間 （リーマンオービフォールドであり、したがって計量空間）を導入する必要がある。すると、の任意の漸近錐は、 の-階数に等しい次元のトップ次元単体を持つ有限単体複体に同相になる。特に、がコンパクトであるための必要十分条件は が異方性である場合である。^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

これにより、半単純リー群内の任意の格子の - ランクを、その漸近錐の次元として 定義できることに注意してください。${\displaystyle \mathbf {Q} }$

が の最大分割トーラス上の半単純群である場合、に関連付けられたBruhat-Tits ビルのアパートメントに対応します。特に、 の次元はの -ランクに等しくなります。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

基底スキーム Sが与えられたとき、 S上の代数的トーラスは、S上の乗法群スキームG _m / Sのコピーの有限積にfpqc 局所同型であるS上の群スキームとして定義される。言い換えれば、忠実に平坦な写像X  →  Sが存在し、 Xの任意の点には準コンパクトな開近傍Uがあり、その像はSの開アフィン部分スキームであり、 Uへの基底変換によってGL 1のコピーの有限積_、U = G _m / Uが得られる。^{[説明が必要]} 特に重要なケースの 1 つは、S が体Kのスペクトルである場合で、この場合はS上のトーラスが代数群となり、その有限分離可能拡大Lへの拡大はG _m / Lのコピーの有限積となる。一般に、この積の重複度 (つまり、スキームの次元) はトーラスの階数と呼ばれ、 S上の局所定数関数である。

体上のトーラスに対して定義されたほとんどの概念は、このより一般的な設定に適用されます。

代数トーラスの一般的な例として、射影スキームのアフィン円錐 を考えることが挙げられます。次に、原点を除去すると、誘導射影マップによって上の代数トーラスの構造が得られます。 ${\displaystyle {\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$$${\displaystyle \pi :({\text{Aff}}(X)-\{0\})\to X}$$${\displaystyle X}$

一般的な基底スキームSでは、重みと共重みはS上の自由アーベル群の fpqc 層として定義されます。これらは、 fpqc 位相に関する基底の基本群の表現を提供します。トーラスがエタール位相などのより弱い位相に関して局所的に自明化可能である場合、群の層は同じ位相に下がり、これらの表現はそれぞれの商群を介して因数分解されます。特に、エタール層は準等自明なトーラスを生成し、S が局所的にネーターかつ正規 (より一般的には、幾何学的に単分岐) である場合、トーラスは等自明です。部分的な逆として、グロタンディークの定理は、有限型の任意のトーラスは準等自明である、つまりエタール全射によって分割されると主張します。

S上の階数n のトーラスT が与えられたとき、ツイスト形式とはS上のトーラスであり、これに対してSの fpqc 被覆が存在し、その基底拡大が同型である、すなわち同じ階数のトーラスである。分割トーラスのツイスト形式の同型類は、係数群が定数層を形成する非可換平坦コホモロジー によってパラメータ化される。特に、体K上の分割トーラスTのツイスト形式は、係数に対する自明なガロア作用を持つガロアコホモロジー尖端集合の元によってパラメータ化される。1 次元の場合、係数は位数 2 の群を形成し、G _{mのツイスト形式の同型類は}Kの分離可能な二次拡大と自然一対一である 。 ${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$${\displaystyle H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$

重み格子を取ることはカテゴリの同値なので、トーラスの短完全列は対応する重み格子の短完全列に対応する。特に、トーラスの拡大は Ext ¹層によって分類される。これらは当然平坦コホモロジー群と同型である。体上では、拡大は対応するガロアコホモロジー群の元によってパラメータ化される。 ${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$

玉川数に関する研究で、小野 孝太郎は、選択された体kの有限可分拡大上のトーラスの関数不変量の一種を導入しました。このような不変量は、 K がkの有限可分拡大上を走るとき、K上のトーラスの同型類上の正の実数値関数f _Kの集合であり、次の 3 つの性質を満たします。

1. 乗法性: K上の2 つのトーラスT ₁とT ₂が与えられたとき、f _K ( T ₁ × T ₂ ) = f _K ( T ₁ ) f _K ( T ₂ )
2. 制限: 有限の可分拡張L / Kの場合、Lトーラス上で評価されたf _{L は、スカラーの}Kへの制限に基づいて評価されたf _Kに等しくなります。
3. 射影的自明性: T がK上のトーラスであり、その重み格子が射影ガロア加群である場合、f _K ( T ) = 1 となります。

T. Ono は、数体上のトーラスの玉川数がそのような不変量であることを示した。さらに、彼はそれが 2 つのコホモロジー不変量、すなわち群の順序( T上のG _mトーラスを分類しないのに、Tのピカール群と誤って呼ばれることがある) とTate–Shafarevich 群の順序の商であることを示した。 ${\displaystyle H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})}$

上で示した不変量の概念は、関数がより一般的な環の値を取る任意の基底スキーム上のトーラスに自然に一般化されます。拡大群の順序は一般的な不変量ですが、上記の他の 2 つの不変量に​​は、1 次元領域の分数体とその完備化の領域以外では興味深い類似物がないようです。

• トーリック幾何学
• トーラス
• トーラスベースの暗号化
• ホップ代数

• A. グロタンディーク、SGA 3 Exp. VIII–X
• 小野 剛志「玉川数について」
• T. Ono,代数的トーラスの玉川数についてAnnals of Mathematics 78 (1) 1963.
• ティッツ、ジャック (1966)。「代数的半単純群の分類」。ボレル、アルマンド、モストウ、ジョージ D. (編)。代数群と不連続群。純粋数学シンポジウムの議事録。第 9 巻。アメリカ数学会。pp. 33–62。
• ウィッテ・モリス、デイブ（2015）。算術群入門。演繹出版社。p.492。ISBN 978-0-9865716-0-2。