代数の層

代数幾何学において、環空間X上の代数層の層は、 X上の可換環層の層であり、また-加群の層でもある。それが加群としてそうである場合、それは準整合的である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Xがスキームである場合、環と同様に、準連接代数の層のグローバル Specを取ることができます。これにより、 X上の準連接 (の層) -代数のカテゴリから、 X上でアフィンなスキームのカテゴリ(以下で定義) への反変関数が得られます。さらに、これは同値です。準逆は、アフィン射を^[1]に送ることで与えられます。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.}$

スキームの射は 、がアフィンであるような開いたアフィン被覆 を持つ場合、アフィンと呼ばれます。 ^[2]たとえば、有限射はアフィンです。アフィン射は準コンパクトかつ分離的です。特に、アフィン射に沿った準連立層の直接像は準連立です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$

アフィン射の基底変換はアフィンである。^[3]

をスキームと局所環空間の間のアフィン写像、および写像 とします。このとき、集合間の自然な写像は次のようになります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g:E\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})}$

は全単射である。^[4]

• を代数多様体Xの正規化とします。このとき、fは有限なので、は準整合的であり、 となります。${\displaystyle f:{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}}$
• をスキームX上の有限ランクの局所自由層とします。このとき、 は準整合-代数であり、はX上の関連するベクトル束です（ の全空間と呼ばれます）。${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (E^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X}$${\displaystyle E}$
• より一般的には、F がX上の連接層であれば、 が存在します。これは通常、 Fのアーベル包と呼ばれます。円錐 (代数幾何学)#例を参照してください。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X}$

環空間Sが与えられたとき、環空間射と - 加群からなる対のカテゴリが存在します。すると、直接像の形成により、各対を対に送る、 - 代数AとA -加群Mからなる対のカテゴリへの反変関手が決定されます。 ${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)}$

ここで、 S がスキームであると仮定し、 がスキーム間のアフィン射と上の準連接層であるようなペアからなるサブカテゴリであるとします。すると、上記の関数は、 と-代数Aと準連接-モジュールからなるペアのカテゴリとの間の同値性を決定します。^[5]${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}}$${\displaystyle (f:X\to S,M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}}$${\displaystyle (A,M)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

上記の同値性は、（他のものの中でも）次の構築を行うために使用できます。前と同様に、スキームSが与えられた場合、A を準コヒーレント-代数とし、そのグローバル Spec: を取ります。すると、各準コヒーレントA -モジュールMに対して、 Mに関連付けられた層と呼ばれる対応する準コヒーレント-モジュールが存在します。言い換えると、 は準コヒーレント-モジュールのカテゴリと準コヒーレント -モジュール間の同値性を決定します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle A}$

• 準アフィン射
• アフィン性に関するセールの定理

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1971)。幾何学的計算の要素: I. スキーマの言語。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (フランス語)。 Vol. 166（第2版）。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-05113-8。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism