作曲シリーズ

抽象代数学では、合成級数は、グループやモジュールなどの代数構造を単純な部分に分解する方法を提供します。モジュールのコンテキストで合成級数を考慮する必要があるのは、多くの自然発生的なモジュールが半単純ではなく、したがって単純なモジュールの直和に分解できないという事実から生じます。モジュールMの合成級数は、サブモジュールによるMの有限増加フィルタリングであり、連続する商は単純であり、 Mをその単純な構成要素に直和分解する代わりとして機能します。

合成級数は存在しないこともあり、存在する場合でも一意である必要はありません。ただし、一般名ジョルダン・ヘルダー定理として知られる一連の結果は、合成級数が存在する場合は常に、単純片の同型類（ただし、おそらく、問題となっている合成級数における位置は不明）とその重複度が一意に決定されると主張しています。したがって、合成級数は有限群やアルティン加群の不変量を定義するために使用できます。

関連しているが異なる概念として主級数があります。合成級数は最大非正規級数ですが、主級数は最大正規級数です。

群Gに正規部分群 Nがある場合、因子群G / Nが形成され、 Gの構造の研究のいくつかの側面は、 「より小さな」群G/NおよびN を研究することによって分解される可能性があります。G にGおよび自明群とは異なる正規部分群がない場合、 Gは単純群です。 そうでない場合、 G を単純な「部分」に縮小できるかどうか、また、縮小できる場合、これを行う方法に固有の特徴があるかどうか という疑問が自然に生じます。

より正式には、群Gの合成級数は有限長の 非正規級数である。

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

厳密な包含関係を持ち、各H _{i は}H _{i +1}の最大固有正規部分群となる。同様に、合成級数は、各因子群H _{i +1} / H _iが単純となるような非正規級数である。因子群は合成因子と呼ばれる。

非正規級数は、最大長の場合に限り、合成級数となります。つまり、合成級数に「挿入」できる追加のサブグループは存在しません。級数の長さnは合成長と呼ばれます。

群Gに合成級数が存在する場合、 Gの任意の非正規級数は、その級数に最大限まで部分群を挿入することによって、非公式に合成級数に精製できます。すべての有限群には合成級数がありますが、すべての無限群にあるわけではありません。たとえば、には合成級数がありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

群には複数の合成系列が存在する場合がある。しかし、ジョルダン・ヘルダー定理（カミーユ・ジョルダンとオットー・ヘルダーにちなんで名付けられた）は、与えられた群の任意の 2 つの合成系列は同値であると述べている。つまり、それらは、順列と同型を除いて、 同じ合成長と同じ合成因子を持つ。この定理は、シュライアーの改良定理を使用して証明できる。ジョルダン・ヘルダー定理は、超限上昇合成系列にも当てはまるが、超限下降合成系列には当てはまらない（バークホフ 1934）。バウムスラッグ（2006）は、1 つの非正規系列の項を他の系列の項と交差させることにより、ジョルダン・ヘルダー定理の簡単な証明を与えている。

n次巡回群の場合、合成級数はnの順序付き素因数分解に対応し、実際に算術の基本定理の証明をもたらします。

例えば、巡回群には3つの異なる構成系列としてと がある。それぞれの場合で得られる構成因子の列はと${\displaystyle C_{12}}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},}$${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}.}$

加群の合成級数の定義は、加群でない加法群を無視し、加群のみに注目する。環RとR加群Mが与えられたとき、 Mの合成級数は、加群の級数である 。

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

ここで、すべての包含は厳密であり、J _{k は}各kに対してJ _{k +1}の最大サブモジュールです。グループに関しては、M が合成系列を持つ場合、 Mのサブモジュールの任意の有限の厳密増加系列は合成系列に精緻化され、Mの任意の 2 つの合成系列は同値です。その場合、（単純な）商モジュールJ _{k +1} / J _kは Mの合成因子として知られ、ジョーダン–ヘルダーの定理が成り立ち、合成因子としての単純なRモジュールの各同型タイプの出現回数は、合成系列の選択に依存しないことが保証されます。

よく知られているように、モジュールが有限合成系列を持つのは、それがアルティン加群かつノイザン加群である場合のみである^[1]。R がアルティン環である場合、すべての有限生成R加群はアルティンかつノイザンであり、したがって有限合成系列を持つ。特に、任意の体Kに対して、 K上の有限次元代数に対する任意の有限次元モジュールには、同値性を除いて一意な合成系列がある。

作用素の集合を持つ群は、群に対する群作用と環作用を一般化する。群と加群の両方に対する統一的なアプローチは、(Bourbaki 1974、Ch. 1) または (Isaacs 1994、Ch. 10) のように従うことができ、説明の一部を簡略化できる。群G は、集合 Ω の元 (作用素) によって作用されると考えられる。注目は、Ω の元の作用に対して不変な部分群 (Ω 部分群と呼ばれる) に完全に限定される。したがって、Ω 合成級数は Ω 部分群のみを使用する必要があり、Ω 合成因子は Ω 単純であればよい。上記の標準的な結果、たとえば Jordan–Hölder 定理は、ほぼ同じ証明によって確立される。

回復される特殊なケースには、Ω = Gの場合があり、G はそれ自身に作用します。この重要な例は、Gの要素が共役によって作用し、演算子の集合が内部自己同型で構成される場合です。この作用による合成級数は、まさに主級数です。モジュール構造は、Ω が環であり、いくつかの追加の公理が満たされる Ω 作用のケースです。

アーベル圏におけるオブジェクトAの合成系列は、部分オブジェクトの列である。

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

それぞれの商オブジェクト X _i  / X _{i  + 1は}単純である（0 ≤ i < n）。Aが合成数列を持つ場合、整数 n はAのみに依存し、 Aの長さと呼ばれる。^[2]

• クローン・ローズ理論、半群の類似物
• シュライアーの細分化定理、任意の2つの非正規級数は等価な合成級数細分化を持つ
• ザッセンハウスの補題、シュライアーの改良定理を証明するために使われる

• バーコフ、ギャレット（1934）、「超限部分群シリーズ」、アメリカ数学会報、40（12）：847–850、doi：10.1090 / S0002-9904-1934-05982-2
• バウムスラッグ、ベンジャミン（2006）「ジョーダン＝ヘルダー＝シュライアーの定理を証明する簡単な方法」アメリカ数学月刊誌、113（10）：933–935、doi：10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974)、「Algebra」、Hermann、パリ、Addison-Wesley Publishing Co.、マサチューセッツ州リーディング。
• アイザックス、I. マーティン (1994)、代数学: 大学院コース、ブルックス/コール、ISBN 978-0-534-19002-6
• 柏原正樹、シャピラ、ピエール（2006）、カテゴリーと層