豊富なラインバンドル

数学において、代数幾何学の際立った特徴は、射影多様体上の一部の直線束が「正」であるのに対し、他の直線束は「負」（または両者の混合）であることです。最も重要な正性の概念は、豊富な直線束の概念ですが、関連する直線束のクラスはいくつかあります。大まかに言えば、直線束の正性特性は、多くの大域断面を持つことに関連しています。特定の多様体上の豊富な直線束を理解することは、射影空間へのさまざまなマッピング方法を理解することに相当します。直線束と因子（余次元-1 の部分多様体から構築）との対応を考慮すると、豊富な因子という同等の概念があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

より詳しく言うと、直線束は、射影空間への射影を与えるのに十分な断面を持つ場合、基点なしと呼ばれます。直線束の正のべき乗が基点なしである場合、直線束は半豊富です。半豊富とは、一種の「非負性」です。より強く言うと、完備多様体上の直線束は、射影空間への閉じた浸漬(または「埋め込み」)を与えるのに十分な断面を持つ場合、非常に豊富です。正のべき乗が非常に豊富である場合、直線束は豊富です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

射影多様体上の豊富な直線束は、内のすべての曲線で正の次数を持ちます。その逆は完全には真ではありませんが、その逆の修正版である、豊富さに関する Nakai–Moishezon 基準と Kleiman 基準があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

スキームの射影が与えられた場合、ベクトル束(またはより一般的には上のコヒーレント層)は への引き戻しを持ちます。ここで、射影は最初の座標への射影です (モジュールの層#演算 を参照)。ベクトル束の引き戻しは、同じランクのベクトル束です。特に、直線束の引き戻しは直線束です。(簡単に言うと、ある点におけるのファイバーは、におけるのファイバーです。) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle p\colon E\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$${\displaystyle f^{*}E}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f(x)\in Y}$

この記事で説明する概念は、射影空間への射影の場合のこの構成に関連している。

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

は、大域断面が変数 における次数 1 の斉次多項式(つまり線形関数)である射影空間上の直線束です。直線束は、の超平面に関連付けられた直線束としても記述できます( の切断の零点集合は超平面であるため)。たとえば が閉じた浸漬である場合、プルバックは の超平面切断 (と の超平面の交差) に関連付けられた上の直線束になります。 ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}O(1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

を、直線束 を持つ体(たとえば代数多様体)上のスキームとします。(直線束は可逆層とも呼ばれます。)を のグローバルセクションの-ベクトル空間の要素とします。各セクションのゼロ集合は の閉部分集合です。をの少なくとも 1 つがゼロではない点の開部分集合とします。すると、これらのセクションは射を定義します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

より詳しく言うと、の各点に対して、上の のファイバーは留数体上の 1 次元ベクトル空間です。このファイバーの基底を選択すると、 はすべてがゼロではない数の列になり、したがって射影空間内の点になります。基底の選択を変更すると、すべての数が同じ非ゼロの定数でスケーリングされるため、射影空間内の点は選択に依存しません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$${\displaystyle n+1}$

さらに、この射はへの制限が引き戻し と同型であるという性質を持つ。^[1]${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

スキーム上の直線束の基底軌跡は、 のすべての大域切断の零点集合の交点である。 直線束は、その基底軌跡が空である場合に基底点フリーと呼ばれる。つまり、のすべての点に対して、において零でない の大域切断が存在する。が体 上で適切である場合、大域切断のベクトル空間は有限次元を持ち、その次元は と呼ばれる。^[2]したがって、基底点フリーの直線束は、の基底を選択することによって与えられる上の射を決定する。選択を行わない場合、これは射として記述できる。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle h^{0}(X,L)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

からの超平面空間への射で、基底点のない直線束 に標準的に関連付けられます。この射は、引き戻しという性質を持ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

逆に、スキームから上の射影空間への任意の射影に対して、引き戻し直線束は基底点フリーです。実際、は 上で基底点フリーです。これは、内のすべての点に対してを含まない超平面が存在するためです。したがって、内のすべての点に対して、上でがゼロでない切断が存在し、 の引き戻しはが でゼロでないの大域切断です。つまり、基底点フリー直線束とは、射影空間への何らかの射影によって の引き戻しとして表現できるものとまったく同じです。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

k上の適切な曲線C上の直線束Lの次数は、 Lの任意の非零有理切断sの因子 ( s ) の次数として定義されます。この因子の係数は、 s がゼロになる点で正になり、 s が極を持つ点で負になります。したがって、曲線C上の任意の直線束L は次数が非負になります (有理切断とは対照的に、LのC上の切断には極がないため)。 ^[3]特に、曲線上のすべての基点のない直線束は次数が非負になります。結果として、体上の任意の適切なスキームX上の基点のない直線束L はnefであり、これはL がXのすべての (既約) 曲線上で非負の次数を持つことを意味します。^[4]${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

より一般的には、スキームX上の-加群の層Fが大域的に生成されるとは、大域的切断の集合Iが存在し、それに対応する射 ${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

層の集合は射影的である。^[5]線束は基点フリーである場合に限り、大域的に生成される。

例えば、アフィンスキーム上のすべての準コヒーレント層は大域的に生成される。^[6]同様に、複素幾何学では、カルタンの定理Aは、スタイン多様体上のすべてのコヒーレント層が大域的に生成されることを述べている。

体上の適切なスキーム上の線束L が半豊富であるとは、テンソル冪が基点フリーとなるような正の整数rが存在する場合である。半豊富線束は nef である（基点フリー線束の対応する事実により）。^[7] ${\displaystyle L^{\otimes r}}$

体上の適切なスキーム上の直線束は、それが基底点フリーであり、関連する 射が${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

は閉じた浸漬である。ここで。同様に、 を上のある次元の射影空間に、が直線束の への制限となるような方法で埋め込むことができる場合、 は非常に豊富である。^{[8]後者の定義は、任意の}可換環上の適切なスキーム上の直線束の非常に豊富さを定義するために使用される。^[9]${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle X}$

「非常に十分な」という名前は、1961年にアレクサンダー・グロタンディークによって導入されました。 ^[10]線型因子システムの文脈では、以前にもさまざまな名前が使用されていました。

関連射を持つ体上の適切なスキーム上の非常に豊富な直線束に対して、内の曲線上のの次数は、内の曲線としての の次数である。したがって、内の任意の曲線上では正の次数を持つ（射影空間のすべての部分多様体は正の次数を持つため）。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(C)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$

十分な直線束は適切なスキームで最もよく使用されますが、より広い一般性で定義できます。

X をスキームとし、 をX上の可逆層とします。各 に対して、 をxでのみサポートされている被縮減サブスキームのイデアル層とします。 に対して、 を定義します 。同様に、 がxでの留数体( xでサポートされているスカイスクレイパー層として考えられます) を表す場合、 は テンソル積における sの像です 。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$$${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$${\displaystyle \kappa (x)}$$${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

を修正します。任意のsに対して、制限はsの制限によって自明化された自由 - モジュールであり、s による乗算射は同型であることを意味します。集合は常に開集合であり、包含射はアフィン射です。これにもかかわらず、はアフィン スキームである必要はありません。たとえば、 の場合、はそれ自体で開集合であり、それ自体に対してアフィンですが、一般にはアフィンではありません。 ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle X_{s}\to X}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X_{s}=X}$

X が準コンパクトであると仮定する。すると、任意の に対して、と が存在して、がアフィンスキームである場合、 は十分である。[12] たとえば、自明な直線束が十分であるためには、Xが^準アフィンである場合に限ります。^[13]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle x\in X_{s}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

一般に、すべての がアフィンであるということは真ではありません。たとえば、ある点Oに対して が成り立ち、 が をXに制限する場合、と は同じ大域断面を持ち、 の断面の非消失軌跡がアフィンとなるのは、 の対応する断面がO を含む場合のみです。 ${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

定義ではのべき乗を許容する必要があります。実際、任意のNに対して、 がである任意の に対して非アフィンである可能性があります。実際、Z が、、内の点の有限集合であると仮定します。 の切断の消失点の位置は、次数Nの平面曲線です。Z を一般位置にある十分に大きな点の集合とすると、次数Nの平面曲線 (したがって、より低い次数) にはZのすべての点が含まれないことを保証できます。特に、それらの消失点の位置はすべて非アフィンです。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\leq N}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

を定義します。が構造射を表すものとします。次数付き環Sの-代数準同型と自己準同型の間には自然な同型性があります。 Sの恒等自己準同型は、準同型 に対応します。関数 を適用すると、 と表記されるXの開部分スキームから への射が生成されます。 ${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\displaystyle G(\varepsilon )}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

十分な可逆層の基本的な特徴付けは、Xが準コンパクト準分離スキームであり、X上の可逆層である場合、次の主張は同値である、と述べている: ^[14]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$十分です。
2. 開集合 （ただし、および）は、 Xの位相の基底を形成します。${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\geq 0}$
3. アフィンであるという性質を持つ開集合(ここで、 ) は、 Xの位相の基底を形成します。${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$そして、その射は支配的なオープン浸漬です。${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$そして、その射は、Xの基礎となる位相空間とその像との同相写像である。${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. X上のすべての準連接層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. X上のすべての準コヒーレントなイデアル層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. X上のすべての準コヒーレントなイデアル層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. X上の有限型のあらゆる準コヒーレント層に対して、に対して となるような整数が存在し、はその大域セクションによって生成されます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. X上の有限型の任意の準コヒーレント層に対して、の商に同型となるような整数およびが存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. X上の有限型のイデアルの任意の準コヒーレント層に対して、の商に同型となるような整数およびが存在する。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

X がアフィンスキーム上の分離型かつ有限型である場合、可逆層が十分であるためには、テンソル冪が非常に十分であるような正の整数rが存在する必要がある。 ^{[15] [16]}特に、R上の適切なスキームが十分な直線束を持つためには、それがR上に射影的である必要がある。この特徴付けは、十分性の定義としてよく用いられる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

この記事の残りの部分では、体上の適切なスキーム上の豊富さに焦点を当てます。これが最も重要なケースだからです。体上の適切なスキームX上の豊富な直線束は、非常に豊富な直線束に対する対応するステートメントにより、 X内のすべての曲線で正の次数を持ちます。

体k上の適切なスキームX上のカルティエ因子 D は、対応する直線束O ( D ) が十分である場合に十分であると言われる。 (たとえば、Xがk上で滑らかである場合、カルティエ因子は、整数係数を持つXの閉じた余次元 1 の部分多様体の有限線形結合と同一視できる。)

「非常に豊富」という概念を「豊富」に弱めると、多種多様な特徴付けが可能な柔軟な概念が生まれる。第一に、豊富線束の高次冪を任意のコヒーレント層とテンソル化すると、多くのグローバルセクションを持つ層が得られる。より正確には、体上（またはより一般的にはネーター環上）の適切なスキームX上の線束Lが豊富であるためには、 X上のすべてのコヒーレント層Fに対して、すべての に対して層がグローバルに生成されるような整数sが存在する必要がある。ここでs はFに依存する場合がある。^{[17] [18]}${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$${\displaystyle r\geq s}$

豊かさのもう一つの特徴づけは、カルタン・セール・グロタンディークの定理として知られ、連接層コホモロジーによるもの である。すなわち、体上（またはより一般的にはネーター環上）の適切なスキームX上の直線束L が豊かであるための必要十分条件は、 X上のすべての連接層Fに対して、

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

すべてとすべてに対して。^{[19] [18]}特に、豊富な直線束の高次冪は正の次数でコホモロジーを消滅させる。この含意はセール消失定理と呼ばれ、ジャン＝ピエール・セールが1955年の論文Faisceaux algébriques cohérentsで証明した。 ${\displaystyle i>0}$${\displaystyle r\geq s}$

• 正の次元を持つ射影多様体X上の自明な直線束は基底点フリーだが十分ではない。より一般的には、射影多様体Xから体上のある射影空間への任意の射影fに対して、引き戻し直線束は常に基底点フリーであるが、Lが十分となるのは射影fが有限である場合（つまり、fのすべてのファイバーが次元0であるか空である場合）であり、その場合のみである。^[20]${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• 整数dに対して、直線束O ( d )の切断空間は、変数x、yにおける次数dの斉次多項式の複素ベクトル空間です。特に、この空間はd < 0 に対して 0 です。 に対して、 O ( d )によって与えられる射影空間への射影は、${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

による

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

これは の閉じた浸漬であり、における次数dの有理正規曲線のイメージです。したがって、の場合に限り、 O ( d ) は基点フリーであり、 の場合に限り、非常に豊富です。したがって、の場合に限り、 O ( d ) が豊富であることがわかります。${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$${\displaystyle d\geq 0}$${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle d\geq 1}$

• 「十分」と「非常に十分」が異なる例として、X をC上の種数1の滑らかな射影曲線(楕円曲線)とし、p をXの複素点とします。O ( p ) をX上の次数 1 の付随直線束とします。すると、 O ( p )の大域切断の複素ベクトル空間は次元 1 を持ち、 pで消える切断によって張られます。^{[21]したがって、} O ( p )の基底軌跡はpに等しくなります。一方、O (2 p ) は基底点がなく、O ( dp ) は に対して非常に十分です(における次数dの楕円曲線としてのXの埋め込みを与えます)。したがって、O ( p ) は十分ですが、非常に十分ではありません。また、O (2 p )は十分で基底点がありませんが、非常に十分ではありません。射影空間への付随射は分岐二重被覆です。${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• 高種数の曲線上では、すべての大域断面がゼロとなる十分な直線束Lが存在します。(しかし、定義により、 Lの高倍数は多くの断面を持ちます。) たとえば、X をC上の滑らかな平面四次曲線 ( において次数 4 )とし、pとq をXの異なる複素点とします。すると、直線束は十分ですが を持ちます。^[22]${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle L=O(2p-q)}$${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

射影多様体X上の与えられた直線束が十分であるかどうかを判断するには、次の数値基準(交差数に関して) が最も役立つことがよくあります。これは、X上のカルティエ因子Dが十分であるとき、つまり関連する直線束O ( D ) が十分であるときを尋ねることと同等です。交差数は、直線束O ( D ) のCに制限された次数として定義できます。逆に、射影多様体上の直線束Lの場合、最初のチャーン類は、関連するカルティエ因子 (線型同値性まで定義)、つまりLの任意の非ゼロ有理セクションの因子を意味します。 ${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

代数的に閉体k上の滑らかな射影曲線X上で、線束Lが非常に豊富であるための必要十分条件は、 X内のすべてのk -有理点x、yに対してである。^[23] g をXの種数とする。リーマン・ロッホの定理により、次数が少なくとも 2 g + 1である線束はすべて この条件を満たし、したがって非常に豊富である。結果として、曲線上の線束が豊富であるための必要十分条件は、次数が正であるときである。^[24] ${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

例えば、曲線Xの標準バンドルは 次数 2 g  − 2 であるため、 の場合に限り、標準バンドルは豊富である。標準バンドルが豊富となる曲線は重要なクラスを形成する。例えば、複素数上では、これらは負の曲率の計量を持つ曲線である。標準バンドルが非常に豊富となるのは、 の場合に限り、曲線は超楕円 ではない。^[25]${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g\geq 2}$

ナカイ・モイシェゾン基準（中井義一 (1963) とボリス・モイシェゾン(1964) にちなんで名付けられた）は、体上の適切なスキームX上の直線束Lが十分であるための必要十分条件は、 Xのすべての（既約）閉部分多様体Yに対して（Y は点は許されない）である、と述べている。^[26]因子に関して言えば、カルティエ因子Dが十分であるための必要十分条件は、 Xのすべての（非ゼロ次元）部分多様体Yに対してである。曲線Xに対して、これは因子が十分であるための必要十分条件が正の次数である、と言っている。曲面Xに対して、この基準は因子Dが十分であるための必要十分条件が、その自己交差数が正であり、 X上のすべての曲線C がを持つ、と言っている。 ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle D\cdot C>0}$

クライマンの基準(1966)を述べると、 X を体上の射影スキームとする。を数値同値性を除く1-サイクル ( X内の曲線の実線型結合) の実ベクトル空間とする。つまり、2 つの 1-サイクルAとBが で等しいことと、すべての直線束がA上とB上で同じ次数を持つことが同値である。ネロン・セヴェリの定理により、実ベクトル空間は有限次元を持つ。クライマンの基準では、 X上の直線束L が十分であることと、Lが 内の曲線錐 NE( X ) の閉包のすべての非ゼロ元C上で正の次数を持つことが同値であると述べている。(これは、 L がすべての曲線上で正の次数を持つと言うことよりも少し強い。) 同様に、直線束が十分であることと、その双対ベクトル空間における類がネフ錐の内部にあることが同値である。^[27]${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

クライマンの基準は、体上の適切な（射影的ではない）スキームXに対しては一般には当てはまらないが、 Xが滑らかであるか、より一般的にはQ-階乗である場合には成立する。^[28]

射影多様体上の直線束は、すべての曲線上で正の次数を持つとき、厳密にnefであると呼ばれます（Nagata、1959）。そしてDavid Mumfordは、滑らかな射影面上に、厳密にnefであるが十分ではない直線束を構成しました。これは、条件がNakai–Moishezon基準で省略できないこと、およびKleimanの基準でNE( X )ではなくNE( X )の閉包を使用する必要があることを示しています。^[29]曲面上のすべてのnef直線束はを持ち、NagataとMumfordの例はを持ちます。 ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

CSセシャドリは、代数的に閉じた体上の適切なスキーム上の線束Lが十分であるためには、 X内のすべての（既約）曲線Cに対してdeg( L | _C ) ≥ ε m ( C )を満たす正の実数εが存在することが必要であることを示した。ここでm ( C )はCの点における重複度の最大値である。^[30]

豊かさのいくつかの特徴付けは、より一般的には、体k上の真正代数空間上の直線束に対して成り立つ。特に、ナカイ-モイシェゾンの基準はその一般性において有効である。^{[31]カルタン-セール-グロタンディークの基準は、ネーター環}R上の真正代数空間に対してさらに一般的に成り立つ。^{[32] （} R上の真正代数空間に豊かさ直線束がある場合、それは実際にはR上の射影スキームである。）クライマンの基準は、体上の真正代数空間Xに対しては、たとえXが滑らかであっても成立しない。^[33]

体上の射影スキームX上で、クライマンの基準は、十分性が、実数の位相に基づく位相を持つにおけるR因子 (カルティエ因子のR線型結合)のクラスに対するオープン条件であることを意味します。( R因子は、十分なカルティエ因子の正の線型結合として表すことができる場合、十分であると定義されます。^[34] ) 基本的な特別な場合は、十分な因子Hと任意の因子Eに対して、絶対値がbより小さいすべての実数 a に対して十分であるような正の実数bが存在することです。整数係数 (または直線束) を持つ因子に関して、これはnH + E が十分に大きいすべての正の整数nに対して十分であることを意味します。 ${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle H+aE}$

豊富さは、代数族において多様体または直線束が変化する場合に、まったく異なる意味で開条件でもある。すなわち、 をスキームの適切な射とし、L をX上の直線束とする。すると、 Lがファイバー上で豊富であるようなYの点yの集合は開である（ザリスキ位相において）。より強く言うと、L が1 つのファイバー上で豊富であれば、 yのアフィン開近傍Uが存在し、L がU上で豊富である。^[35]${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

クライマンは、豊かさの定義と数値的基準の中間段階として、豊かさの以下の特徴付けも証明した。すなわち、体上の適切なスキームX上の直線束Lに対して、以下は同値である：^[36]

• Lで十分です。
• 正の次元のすべての（既約な）部分多様体に対して、正の整数rと、 Yのある点でゼロではないが消える切断が存在します。${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• 正の次元を持つあらゆる（既約な）部分多様体に対して、 Y上のLのべき乗の正則オイラー特性は無限大になります。${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$として。${\displaystyle r\to \infty }$

ロビン・ハーツホーンは、体上の射影スキームX上のベクトル束 Fが十分であるとは、 F内の超平面空間上の線束が十分であると定義した。^[37]${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

豊富な直線束のいくつかの性質は、豊富なベクトル束にも拡張される。例えば、ベクトル束Fが豊富であるための必要十分条件は、Fの高対称冪がすべての に対して連接層のコホモロジーを破ることである。^[38]また、豊富なベクトル束のチャーン類は、 に対して、Xのすべてのr次元部分多様体上で正の次数を持つ。^[39]${\displaystyle H^{i}}$${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

豊かさを弱める有用な方法として、特に双有理幾何学で用いられるのが、大きな直線束の概念である。体上のn次元の射影多様体X上の直線束Lは、正の実数aと、すべてのj > 0に対してとなる正の整数が存在するとき、大きな直線束であると言われる。これは、 Lの冪切断空間の最大可能成長率であり、 X上のすべての直線束Lに対して、すべてのj > 0に対してとなる正の数bが存在するという意味である。^[40]${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$${\displaystyle j\geq j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

大きな直線束の特徴付けは他にもいくつかある。まず、直線束が大きい場合と、その像への有理写像の切断によって与えられるXから rがその像に有理写像となるような正の整数rが存在する場合とでその限りである。 ^[41]また、直線束Lが大きい場合と、その正のテンソル冪が豊か直線束Aと有効直線束Bのテンソル積である場合とでその限りである（ となる）。^[42]最後に、直線束が大きい場合と、その における類が有効因子の錐の内部にある場合とでその限りである。 ^[43]${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$${\displaystyle L^{\otimes r}}$${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

大きいことは、十分性の双有理不変類似物として見ることができる。例えば、 が同じ次元の滑らかな射影多様体間の支配的な有理写像である場合、Y上の大きい直線束の引き戻しはX上で大きい。（一見すると、引き戻しはfが射であるXの開部分集合上の直線束にすぎないが、これはX全体の上の直線束に一意に拡張される。）十分な直線束の場合、有限射による十分な直線束の引き戻しが十分であるとしか言えない。^[20]${\displaystyle f\colon X\to Y}$

例: X を複素数上の点における射影平面の拡大とする。Hを上の直線のXへの引き戻しとし、E をの拡大の例外曲線とする。すると、X上ではH + E の約数は大きいが十分ではない (あるいは nef でもない) 。なぜなら、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

この負性は、 H + E (または任意の正の倍数)の基底軌跡に曲線E が含まれることも意味します。実際、この基底軌跡はEに等しくなります。

スキームの準コンパクト射が与えられたとき、 X上の可逆層Lがfに対して十分であるかf-十分であるとは、次の同値な条件が満たされるとき言われる： ^{[44] [45]}${\displaystyle f:X\to S}$

1. 各開アフィン部分集合 に対して、 Lを に制限することは十分である(通常の意味で)。${\displaystyle U\subset S}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. f は準分離しており、付加写像によって誘導される開いた浸漬が存在する: ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$。

3. 条件2.「open」なし。

条件 2 は、(大まかに言えば) X が(適切なスキームだけでなく) を持つ射影スキームにオープンにコンパクト化できることを表します。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

• 射影空間の代数幾何学
• ファノ多様体: 標準バンドルが反十分である多様体
• 松坂の大定理
• 除数スキーム: 十分な線束族を許容するスキーム

• 正則ベクトル束
• 小平埋め込み定理: コンパクトな複素多様体上では、豊かさと正値が一致する。
• 小平消失定理
• レフシェッツ超平面定理: 複素射影多様体Xの豊富な因子は、Xと位相的に相似である。