有理曲面

数学の一分野である代数幾何学において、有理曲面は射影平面と双有理的に同値な曲面、言い換えれば次元 2 の有理多様体です。有理曲面は、エンリケス-コダイラの複素曲面の分類における 10 種類ほどの曲面クラスの中で最も単純であり、最初に研究された曲面です。

あらゆる非特異有理曲面は、極小有理曲面を繰り返し拡大することで得られます。極小有理曲面とは、射影平面と、r = 0 またはr ≥ 2 のヒルツェブルッフ曲面Σ _rです。

不変量:多種族はすべて 0 であり、基本群は自明です。

ホッジダイヤモンド：

ここで、nは射影平面の場合は 0、ヒルツェブルッフ面の場合は 1 、その他の有理面の場合は 1 より大きくなります。

ピカール群は奇ユニモジュラー格子I _{1, n}である。ただし、ヒルツェブルッフ面Σ _{2 m}の場合は偶ユニモジュラー格子 II _1,1である。

Guido Castelnuovo は、 qとP ₂ (不規則性と 2 番目の多種性)が両方ともゼロになるような任意の複素曲面は有理曲面であることを証明しました。これは、Enriques–Kodaira 分類で有理曲面を識別するために使用されます。Zariski (1958) は、Castelnuovo の定理が正の特性を持つ体でも成り立つことを証明しました。

カステルヌオーヴォの定理は、任意の単有理複素曲面が有理曲面であることも意味します。複素曲面が単有理である場合、その不規則性と多種性は有理曲面の不規則性と多種性によって制限され、したがってすべて 0 になるため、曲面は有理曲面になります。次元が 3 以上の単有理複素多様体のほとんどは有理ではありません。特性p > 0 で、Zariski (1958) は有理ではない 単有理曲面 ( Zariski 曲面) の例を見つけました。

かつては、qとP _{1 が両方ともゼロになるような複素曲面が有理曲面であるかどうかは不明であったが、}フェデリゴ・エンリケスによって反例 (エンリケス曲面) が発見された。

• ボルディガ面: 一般位置の 10 点を通る四次関数によって定義されるP ⁴への射影平面の 6 次埋め込み 。
• シャトレの表面
• コブル表面
• 3次曲面特異でない3次曲面は、6 点で拡大された射影平面と同型であり、ファノ曲面です。名前の付いた例としては、フェルマーの3次曲面、ケーリーの3次曲面、クレプシュの対角曲面などがあります。
• デル ペッツォ面(ファノ面)
• エンネパー表面
• ヒルツェブルッフ面Σ _n
• P ¹ × P ¹ 2 本の射影直線の積はヒルツェブルッフ面 Σ ₀です。これは 2 つの異なるルーリングを持つ唯一の面です。
• 射影平面
• セグレ面2 つの二次曲面の交差で、5 点で拡大された射影平面と同型です。
• シュタイナー面P ⁴内の特異点を持つ面であり、射影平面に対して双有理的である。
• ホワイト サーフェスは、ボルディガ サーフェスの一般化です。
• ヴェロネーゼ面射影平面をP ⁵に埋め込むもの。

• 代数曲面のリスト

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ボーヴィル、アルノー (1996)、「複素代数面」、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-49510-3、MR  1406314
• ザリスキ、オスカー(1958)、「代数面のカステルヌオーヴォの合理性基準 p _a = P _{2 = 0 について」、}イリノイ数学ジャーナル、2 : 303–315、ISSN  0019-2082、MR  0099990

• Le Superficie Algebriche: (最小限の)複雑な代数的滑らかな表面の地理を視覚的に研究するためのツール