ザリスキ接空間

代数幾何学において、ザリスキ接空間は、代数多様体V上の点Pにおける接空間を定義する構成である(より一般的には)。これは、微分積分を使用せず、抽象代数に直接基づいており、最も具体的なケースでは、線形方程式のシステムの理論のみに基づいています。

例えば、Cが多項式方程式で定義された 平面曲線であるとする。

（X ,Y）= 0

Pを原点(0,0)と する。1以上の高次の項を消去すると、次のような「線形化」された方程式が得られる。

（X,Y）= 0

ここで、a + b > 1の場合、すべての項X ^a Y ^{b は}破棄されます。

2 つのケースがあります。Lは0 の場合もあれば、直線の方程式の場合もあります。最初のケースでは、 (0,0) におけるCへの (ザリスキ) 接空間は平面全体であり、2 次元アフィン空間として考えられます。2 番目のケースでは、接空間はその直線であり、アフィン空間として考えられます。( P をC上の一般点としてとると、原点の問題が生じます。P がベクトル空間であると直接主張するよりも、「アフィン空間」と言ってから、Pが自然な原点であることを指摘する方が適切です。)

実数体上では、 Fの1 次偏導関数によってLが得られることは容易にわかります。 Pでこれらが両方とも 0 のとき、特異点(二重点、尖点、またはもっと複雑なもの)があります。一般的な定義では、Cの特異点は接空間が 2 次元の場合です。

局所環Rの極大イデアルを持つ余接空間は次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

ここで^{2 は}イデアルの積で与えられる。これは剰余体k:= R/上のベクトル空間である。その双対（ kベクトル空間として）はRの接空間と呼ばれる。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

この定義は、上記の例を高次元に一般化したものです。アフィン代数多様体VとVの点vが与えられているとします。理論的には、 ^{2 を}削除することは、あるアフィン空間内でV を定義する方程式から非線形項を削除することに対応し、したがって接空間を定義する線形方程式のシステムを与えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

点PにおけるスキームX の接空間と余接空間は の (余) 接空間です。Specの関数性により、自然な商写像はX =Spec( R )、P がYの点=Spec( R/I ) である場合の準同型写像を誘導します。これはに埋め込むために使用されます。^{[2]体の射は単射であるため、} gによって誘導される留数体の全射は同型です。すると、余接空間の射kがgによって誘導され、次のように与えられます 。${\displaystyle T_{P}(X)}$${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$${\displaystyle T_{P}(Y)}$${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {カー} (k).}$

これは全射なので、転置は 単射です。 ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$

(多様体の接線空間と余接空間も同様の方法で定義されることが多い。)

V がイデアルIによって定義されるn次元ベクトル空間の部分多様体である場合、R = F _n / Iとなる。ここでF _{n は}このベクトル空間上の滑らかな/解析的な/正則な関数の環である。xにおけるザリスキ接空間は

m _n / ( I+m _n ² ) 、

ここで、m _{n は}xで消滅するF _n内の関数からなる最大イデアルです。

上記の平面の例では、I = ( F ( X,Y ))、I+m ² = ( L ( X,Y )) +m ²です。

Rがネーター局所環である場合、接空間の次元は少なくともRの次元である。

${\displaystyle \dim {{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geq \dim {R}}}$

等式が成り立つ場合、 R は正則と呼ばれます。より幾何学的な用語では、R が点vにおける多様体Vの局所環である場合、 vは正則点とも呼ばれます。そうでない場合は、特異点と呼ばれます。

接空間はK [ t ] / ( t ² )、つまりKの双対数による解釈があります。スキームの用語では、Spec K [ t ] / ( t ² )からK上のスキームXへの射は、有理点x ∈ X(k)とxにおける接空間の要素の選択に対応します。^{[3]したがって、}接ベクトルについても言及されます。関数への接空間も参照してください。

一般に、ザリスキ接空間の次元は非常に大きくなることがあります。たとえば、が 上の連続的に微分可能な実数値関数の環であるとします。を、原点におけるそのような関数の芽の環と定義します。すると、R は局所環となり、その最大イデアルm は原点で消えるすべての芽から構成されます。 の関数はザリスキ余接空間 で線形独立なベクトルを定義するため、 の次元は連続体の濃度である 以上のものとなります。したがって、ザリスキ接空間の次元は 以上のものとなります。一方、 n多様体のある点における滑らかな関数の芽の環は、n次元のザリスキ余接空間を持ちます。^[a]${\displaystyle C^{1}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle x^{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \in (1,2)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{*}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

• 接線円錐
• ジェット（数学）

• ザリスキ接空間。VI ダニロフ (創始者)、『数学百科事典』。