代数的閉包

数学、特に抽象代数学において、体Kの代数的閉包は、代数的に閉じているKの代数的拡大です。これは数学における 多くの閉包の 1 つです。

ゾルンの補題^{[1] [2] [3]}またはより弱い超フィルタ補題^{[4] [5]}を用いると、すべての体には代数的閉包があり、体Kの代数的閉包はKのすべての要素を固定する同型を除いて一意である ことが示せます。この本質的な一意性のため、 Kの代数的閉包ではなくKの代数的閉包と呼ばれることがよくあります。

体Kの代数的閉包は、 Kの最大の代数的拡大と考えることができます。これを理解するために、L がKの任意の代数的拡大である場合、Lの代数的閉包はKの代数的閉包でもあり、したがってL はKの代数的閉包内に含まれることに注意してください。 Kの代数的閉包は、 K を含む最小の代数的閉体でもあります。これは、M がK を含む任意の代数的閉体である場合、 K上で代数的であるMの要素がKの代数的閉包を形成するためです。

体Kの代数的閉包は、 Kが無限大の場合にはKと同じ濃度を持ち、Kが有限の場合には可算無限大となる。^[3]

• 代数学の基本定理は、実数体の代数閉包が複素数体であることを述べています。
• 有理数体の代数閉包は代数的数体である。
• 複素数内には、代数的数の体を厳密に含む可算な代数的閉体が多く存在します。これらは、有理数の超越拡大の代数的閉体であり、たとえばQ (π) の代数的閉体です。
• 素数冪位数qの有限体に対して、代数閉包は、正の整数nごとに位数q ⁿの体のコピーを含む可算無限体である（そして、実際にはこれらのコピーの和集合である）。^[6]

をK [ x ]のすべての単項既約多項式の集合とします。各 に対して、となる新しい変数を導入します。Rをすべてのおよびすべてのに対して によって生成されるK上の多項式環とします。次のように記述します 。${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$${\displaystyle d={\rm {度}}(f_{\lambda })}$${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle i\leq {\rm {度}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

で成り立つ。I を によって生成されるRのイデアルとする。IはRより厳密に小さい ので、ゾルンの補題はIを含むRの最大イデアルM が存在することを意味する。体K ₁ = R / Mは、 Kに係数を持つすべての多項式がの積として分解し、したがってすべての根がK ₁にあるという性質を持つ。同様に、K ₁の拡大K ₂を構成することもできる。これらすべての拡大の和集合はKの代数閉包である。なぜなら、この新しい体に係数を持つすべての多項式は、十分に大きいn を持つあるK _nに係数を持ち、その根はK _{n +1}にあり、したがって和集合自体にあるからである。 ${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$${\displaystyle f_{\lambda}}$${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$

同様に、 K [ x ]の任意の部分集合Sに対して、 K上のSの分割体が存在することも示せます。

Kの代数的閉包K ^algには、 Kのすべての（代数的）可分拡大をK ^alg内に含めるKの唯一の可分拡大K ^{sep が}含まれます。この部分拡大はKの可分閉包と呼ばれます。可分拡大の可分拡大は再び可分であるため、次数 > 1 のK ^sepの有限の可分拡大は存在しません。別の言い方をすると、K は可分閉代数拡大体に含まれるということです。これは（同型を除いて）唯一のものです。^[7]

可分閉包は、 Kが完全体である場合に限り、完全な代数閉包です。たとえば、K が特性 pの体であり、X がK上で超越的である場合、は非可分な代数体拡大です。 ${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

一般に、Kの絶対ガロア群はK上のK ^sepのガロア群である。^[8]

• 代数的に閉じた体
• 代数拡張
• ピュイズー拡張
• フィールドを完了

• カプランスキー、アーヴィング(1972)。『体と環』シカゴ数学講義（第 2 版）。シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-42451-0.ZBL1001.16500  。​
• McCarthy, Paul J. (1991).体の代数的拡張(第 2 版の訂正再版). ニューヨーク: Dover Publications. Zbl  0768.12001.