オービフォールド

位相幾何学と幾何学という数学の分野では、オービフォールド（「軌道多様体」の略）は多様体の一般化です。大まかに言えば、オービフォールドは局所的にはユークリッド空間の有限群商である位相空間です。

オルビフォールドの定義はこれまでにも何度か与えられている。1950年代に佐竹一郎が保型形式の文脈でV-多様体という名前で定義した。^{[1] 1970}年代にウィリアム・サーストンが3次元多様体の幾何学の文脈で定義した際に、学生の投票によりオルビフォールドという名前を作った。1980年代にアンドレ・ヘフリガーがミハイル・グロモフのCAT(k)空間に関するプログラムの文脈でオルビヘドロンという名前で定義した。^[3]

歴史的に、オービフォールドは、正式に定義されるずっと前から、特異点を持つ曲面として最初に現れました。 ^{[4]最初の古典的な例の1つは、}モジュラー形式理論^[5]で、上半平面へのモジュラー群 の作用で現れました。商が2つのオービフォールドの尖点の加算によってコンパクト化された後、リーマン-ロッホの定理のバージョンが成り立ちます。3次元多様体理論では、ヘルベルト・ザイフェルトによって開始されたザイフェルトファイバー空間の理論は、2次元オービフォールドの観点から表現できます。^{[6]グロモフ以降の}幾何学的群論では、離散群はオービヘドラとその被覆空間の局所曲率特性の観点から研究されてきました。^[7]${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

弦理論では、「オービフォールド」という言葉は少し異なる意味を持ち、^[8]詳細は後述します。2次元共形場理論では、自己同型群の有限群の作用下にある頂点代数の不動点部分代数に付随する理論を指します。

基底空間の主な例は、有限等方性部分群を持つおそらく無限の微分同相群の適切に不連続な作用による多様体の商空間である。^[9]特に、これは有限群の任意の作用に当てはまる。したがって、境界を持つ多様体は、その二重の作用による商であるため、自然なオービフォールド構造を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

1 つの位相空間は、異なるオービフォールド構造を持つことができます。たとえば、回転に沿った 2 次元球面の商空間に関連付けられたオービフォールドO を考えます。これは2 次元球面に同相ですが、自然なオービフォールド構造は異なります。多様体のほとんどの特性はオービフォールドに採用することができ、これらの特性は通常、基礎となる空間の対応する特性とは異なります。上記の例では、Oのオービフォールド基本群はであり、そのオービフォールドオイラー特性は 1 です。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

多様体と同様に、オービフォールドは局所条件によって指定されます。ただし、の開部分集合上で局所的にモデル化されるのではなく、オービフォールドは有限群作用によって の開部分集合の商上で局所的にモデル化されます。オービフォールドの構造は、多様体である必要はない基礎となる商空間の構造だけでなく、等方性部分群の構造もエンコードします。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

次元オービフォールドは、基礎空間と呼ばれるハウスドルフ位相空間であり、有限交差で閉じた開集合の集合によって覆われている。各 に対して、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

• の開集合であり、有限群の忠実な線型作用に対して不変である。${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$
• から への連続写像で、の下で不変なものであり、との間の同相写像を定義する、オービフォールドチャートと呼ばれる。${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

次の特性が満たされる場合、 オービフォールド図のコレクションはオービフォールド アトラスと呼ばれます。

• 各包含に対して、入射的な群準同型が存在する。${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ ${\displaystyle f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$
• 各包含に対して、の開部分集合上への の-同変同相写像（接着写像と呼ばれる）が存在する。${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle \psi _{ij}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{j}}$
• 接着マップはチャートと互換性があります。${\displaystyle \varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}}$
• 接着写像は、群元との合成まで一意です。つまり、 から への他の可能な接着写像は、一意の に対して という形式を持ちます。${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle g\circ \psi _{ij}}$${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}$

多様体上のアトラスに関しては、 の 2 つのオービフォールド アトラスは、それらを一貫して組み合わせてより大きなオービフォールド アトラスを生成できる場合、同値です。したがって、オービフォールド構造はオービフォールド アトラスの同値クラスです。 ${\displaystyle X}$

オービフォールド構造は、同型性までオービフォールドの任意の点の等方性部分群を決定することに注意する。これは、任意のオービフォールドチャートの点の安定子として計算できる。U _i U j _U k_の場合、 Γ _kには一意の遷移元g _ijkが存在し、 ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

これらの遷移元素は

(Ad g _ijk )・f _ik = f _jk・f _ij

共環関係（結合性を保証する）

f _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm。

より一般的には、オービフォールドの開いた覆いにオービフォールド図が付加されて、いわゆるグループの複合体の組み合わせデータが存在します(以下を参照)。

多様体の場合と全く同じように、微分可能条件を接着写像に課すことで、微分可能なオービフォールドの定義を与えることができます。オービフォールドチャート上に不変リーマン計量があり、接着写像が等長写像である場合、それはリーマンオービフォールドになります。

群体は、オブジェクトの集合、矢印の集合、構造写像（ソース写像とターゲット写像、および矢印を合成したり反転したりできるその他の写像を含む）から構成されることを思い出してください。 とが両方とも滑らかな多様体で、すべての構造写像が滑らかで、ソース写像とターゲット写像が両方とも沈み込みである場合、それはリー群体と呼ばれます。 与えられた点、つまり集合におけるソースファイバーとターゲットファイバーの交点は、におけるの等方性群と呼ばれるリー群です。写像が適切な写像である場合、リー群体は適切なものと呼ばれ、ソース写像とターゲット写像の両方が局所微分同相写像である場合、リー群体はエタールと呼ばれます。 ${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle x\in G_{0}}$${\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$

オービフォールド群は、次の同等の定義のいずれかによって与えられます。

• 適切なエタール・リー群;
• 等方性が離散空間である真リー群。

真群の等方性群は自動的にコンパクトとなるので、離散性条件は等方性が実際には有限群でなければならないことを意味する。^[10]

オービフォールド群は、上記の定義におけるオービフォールドアトラスと同じ役割を果たします。実際、ハウスドルフ位相空間上のオービフォールド構造は、同相写像 を伴うオービフォールド群の森田同値類として定義されます。ここで、 はリー群の軌道空間です(つまり、とがある場合に を同値関係で割った商)。この定義は、オービフォールドが特定の種類の微分可能スタックであることを示しています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle |M/G|\simeq X}$${\displaystyle |M/G|}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle s(g)=x}$${\displaystyle t(g)=y}$

空間 上のオービフォールドアトラスが与えられた場合、の開集合間のすべての微分同相写像によって構成される擬群を構築でき、このとき遷移関数 が保存される。その結果、その元の胚の空間はオービフォールド群である。さらに、オービフォールドアトラスの定義により、各有限群はに忠実に作用するため、群は自動的に有効、つまり、写像はすべての に対して単射である。2 つの異なるオービフォールドアトラスから同じオービフォールド構造が生じるのは、それらの関連するオービフォールド群が Morita 同値である場合に限る。したがって、最初の定義によるオービフォールド構造 (古典的なオービフォールドとも呼ばれる) は、2 番目の定義による特別な種類のオービフォールド構造である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle G_{X}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle G_{X}}$${\displaystyle g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1})}$${\displaystyle x\in X}$

逆に、オービフォールド群が与えられたとき、その軌道空間上には標準的なオービフォールドアトラスが存在し、それに関連する有効オービフォールド群は と森田同値である。森田同値群の軌道空間は同相であるため、2番目の定義によるオービフォールド構造は、有効な場合には最初の定義によるオービフォールド構造を簡約する。^[11]${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle G}$

したがって、オービフォールド アトラスの概念はより単純で、文献でより一般的に使用されていますが、オービフォールド グルーポイドの概念は、非有効オービフォールドとオービフォールド間のマップについて議論するときに特に役立ちます。たとえば、オービフォールド間のマップは、グルーポイド間の準同型によって記述できます。これは、基礎となる位相空間間の基礎となる連続マップよりも多くの情報を伝えます。

• 境界のない任意の多様体は自明にオービフォールドであり、各群 Γ _​​iは自明な群である。同様に、これは単位群の森田同値類に対応する。
• N が境界を持つコンパクト多様体である場合、その二重 M は、 Nのコピーとその鏡像を共通の境界に沿って接着することによって形成されます。共通境界を固定する多様体Mに対するZ _{2の自然な}反射作用があります。商空間はNと同一視できるため、N は 自然なオービフォールド構造を持ちます。
• M が離散群 Γ のココンパクトで適切な等長作用を持つリーマンn多様体である場合、軌道空間X = M /Γ は自然なオービフォールド構造を持ちます。つまり、 X内の各xに対して、 M内の代表的なmと、安定化因子 Γ _mの下で不変なmの開近傍V _{m を}取ります。これは、 mにおける指数写像の下でT _m MのΓ _m部分集合と同値です。有限個の近傍がX を覆い、その有限の交差点のそれぞれは、空でない場合、 Γ 変換g _m · V _mと対応する群g _m Γ g _m ⁻¹の交差点によって覆われます。このようにして生じるオービフォールドは、可展開または良好と呼ばれます。
• アンリ・ポアンカレの古典的な定理は、ポアンカレ計量に対する双曲面の測地線三角形の辺の反射によって生成される双曲反射群としてフックス群を構成する。三角形が正の整数n _iに対して角度π / n _iを持つ場合、三角形は基本領域であり、自然に 2 次元オービフォールドになる。対応する群は双曲三角形群の例である。ポアンカレは、クラインの群に対するこの結果の 3 次元バージョンも与えた。この場合、クラインの群 Γ は双曲反射によって生成され、オービフォールドはH ³ / Γ である。
• M が閉じた 2 次元多様体である場合、有限個の互いに素な閉じた円板をMから削除し、円板のコピーD / Γ _iを貼り合わせることで、 M i 上に新しいオービフォールド構造を定義できます。ここで、Dは閉じた単位円板で、Γ _{i は}回転の有限巡回群です。これは、ポアンカレの構築を一般化したものです。

オービフォールド基本群を定義する方法はいくつかあります。より洗練されたアプローチでは、オービフォールド被覆空間または群の分類空間を使用します。最も単純なアプローチ (Haefliger によって採用され、Thurston にも知られていました) は、基本群の標準的な定義で使用されるループの通常の概念を拡張します。

オービフォールドパスは、オービフォールドチャートへのパスセグメントの明示的な区分リフトと、重複するチャート内のパスを識別する明示的なグループ要素を備えた、基礎空間内のパスです。基礎パスがループである場合、オービフォールドループと呼ばれます。2つのオービフォールドパスは、オービフォールドチャート内のグループ要素による乗算を通じて関連付けられている場合に識別されます。オービフォールド基本群は、オービフォールドループのホモトピー類によって形成される群です。

オービフォールドが単連結多様体Mの離散群 Γ の適切な剛体作用による商として生じる場合、オービフォールド基本群は Γ と同一視できます。一般に、これはΓ のπ ₁ Mによる拡張です。

オービフォールドは、群作用による商として生じる場合、展開可能または良好であると言われ、そうでない場合は不良であると言われます。普遍被覆オービフォールドは、位相空間の普遍被覆空間の構築との直接の類推によって、つまりオービフォールドの点と、それらを基点に結合するオービフォールドパスのホモトピー類からなるペアの空間として、オービフォールドに対して構築できます。この空間は当然オービフォールドです。

収縮可能な開集合上のオービフォールド図がグループ Γ に対応する場合、オービフォールド基本グループへの Γ の 自然な局所準同型が存在することに注意してください。

実際、次の条件は同等です。

• オルビフォールドは展開可能です。
• 普遍被覆オービフォールド上のオービフォールド構造は自明です。
• 局所準同型はすべて、収縮可能な開集合による被覆に対して単射である。

オービフォールドは微分学の一般的な枠組みで定義することができ^{[12] 、}佐竹一郎の元の定義^[1 ]と同等であることが証明されている^{[13 ]。}

定義:オービフォールドは、各点で何らかの に局所的に微分同相な微分空間です。ここで は整数で、 は点ごとに変化する可能性のある有限線型群です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$

この定義にはいくつかの注意が必要です。

• この定義は、微分学における多様体の定義を模倣したもので、微分学上の多様体とは、各点で に局所的に微分同相な微分空間です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• オービフォールドは、まず微分空間、つまり微分学を備えた集合として考えられます。次に、微分学が各点で有限線型群との商に局所的に微分同相であるかどうかがテストされます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$${\displaystyle G}$
• この定義はヘフリガー・オービフォールドと同等である^[14]。^[15]
• {Orbifolds} は、微分学のカテゴリ {Diffeology} のサブカテゴリであり、そのオブジェクトは微分空間と射写像の滑らかな写像です。Orbifolds 間の滑らかな写像とは、それらの微分学に対して滑らかな写像です。これは、Satake の定義の文脈で、彼の次の発言を解決します: ^[16]「このように定義された -写像の概念は、異なる定義族の選択で定義された2 つの -写像の合成が常に-写像であるとは限らないという点で不便です。${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }}$」確かに、Orbifolds 間の滑らかな写像の中には、同変写像として局所的に持ち上げられないものがあります。^[17]

微分空間としてのオービフォールドの基本群は、上で定義された基本群と同じではないことに注意してください。最後の基本群は、構造群^[18]とその等方性群に関連しています。

幾何群論への応用では、ヘフリガーによるもう少し一般的なオービフォールドの概念があると便利な場合が多い。オービスペースは位相空間に対して、オービフォールドが多様体に対してであるのと同じである。オービスペースはオービフォールドの概念の位相的な一般化である。これは、オービフォールドチャートのモデルを、有限群の剛体作用を持つ局所コンパクト空間、つまり自明な等方性を持つ点が稠密である空間に置き換えることによって定義される。(この条件は忠実な線型作用によって自動的に満たされる。なぜなら、任意の非自明な群要素によって固定された点は適切な線型部分空間を形成するからである。) また、接着マップが距離を保存するオービスペースチャート上の不変計量によって与えられる、オービスペース上の計量空間構造を考慮することも有用である。この場合、各オービスペースチャートは通常、任意の2点を接続する一意の測地線を持つ長さ空間であることが要求される。

X を、チャートが測地線長空間であるような計量空間構造を備えた軌道空間とする。これまでの軌道フォールドの定義と結果を一般化して、展開可能性の類似した基準を持つ軌道空間基本群と普遍被覆軌道空間の定義を与えることができる。軌道空間チャート上の距離関数は、普遍被覆軌道空間内の軌道空間パスの長さを定義するために使用できる。各チャートの距離関数が非正曲線である場合、バーコフ曲線の短縮の議論を使用して、固定された端点を持つ任意の軌道空間パスが一意の測地線に同型であることを証明できる。これを軌道空間チャートの定数パスに適用すると、各局所準同型は単射であるため、次のようになる。

• 正に曲がっていないすべての軌道空間は展開可能である（つまり、良好である）。

すべてのオービフォールドには、グループの複合体によって与えられる追加の組み合わせ構造が関連付けられています。

抽象単体複体Y上の群（Y、f、g）の複体は次のように与えられる。

• Yの各単体 σ に対する有限群 Γ _σ
• 単射準同型f _στ  : Γ _τ Γ _σ常に σ τ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \subset }$
• すべての包含 ρ σ τ に対して、 (Ad g _ρστ )・f _ρτ = f _ρσ・f _στとなるようなΓ _ρの群要素g _ρστ (ここで、Ad は​​共役による随伴作用を示します)${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \subset }$

群の要素は、さらに共環条件を満たす必要がある。

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

単体のすべての連鎖に対して( Y の次元が 2 以下の 場合、この条件は空になります。)${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$

Γ _σの要素h _{στ を}任意に選択すると、定義する群の 等価な複素数が得られる。

• f' _στ = (Ad h _στ )・f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ ) · g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

群の複合体は、どこでもg _ρστ = 1であるときは常に単純であると呼ばれます。

• 簡単な帰納的議論により、単体上の群のすべての複合体は、どこでもg _ρστ = 1となる群の複合体と同等であることが示されます。

Yの重心細分化に進む方が便利で概念的にも魅力的である場合がよくあります。この細分化の頂点はYの単体に対応しており、各頂点にはグループが接続されています。重心細分化の辺は自然に方向付けられており (単体の包含に対応)、各有向辺はグループの包含を与えます。各三角形には、正確に 1 つの頂点のグループに属する遷移要素が接続されています。四面体がある場合は、遷移要素の共環関係が与えられます。したがって、グループの複合体には、重心細分化の 3 スケルトンのみが含まれ、単純である場合は 2 スケルトンのみが含まれ

X がオービフォールド（またはオービスペース）である場合、オービフォールドチャートf _i : V _i U _iの中から開集合による被覆を選択する。被覆の神経によって与えられる抽象単体複体をYとする。その頂点は被覆の集合であり、そのn単体は空でない交差U _α = U _{i 1} ··· U _{i n}に対応する。このような単体ごとに、関連するグループ Γ _αがあり、準同型f _ijは準同型f _στになる。交差点に対応する すべての 3 重 ρ σ τ に対して、${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \subset }$

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

チャートφ _i  : V _i U _i、φ _ij  : V _ij U _i U _j、 φ _ijk  : V _ijk U i _U j _U k_と、接着マップ ψ : V _ij V _i、 ψ' : V _ijk V _ij、 ψ" : V _ijk V _iがあります。 ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Γ _iには、 g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′となる唯一の遷移元g _ρστが存在する。オービフォールドの遷移元が満たす関係は、群の複合体に必要な関係を意味する。このようにして、群の複合体は、オービフォールド（またはオービスペース）チャートによって開被覆の神経に標準的に関連付けることができる。非可換層理論とゲルブの言語では、この場合の群の複合体は、被覆U _iに関連付けられた群の層として生じる。データg _ρστは、非可換層コホモロジーにおける 2 共サイクルであり、データh _{στ は}2 共境界摂動を与える。

群の複合体のエッジパス群は、単体複合体のエッジパス群の自然な一般化として定義できます。 Yの重心分割において、iからjへの エッジに対応する生成元e _ijを取り、 i jとすると、 ψ _ij  : Γ _i Γ _{j の}射影が存在します。 Γ をe _ijと Γ _kによって生成される群とし、関係式は次 のようになります。 ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

e _ij ⁻¹ · g · e _ij = ψ _ij ( g )

g がΓ _iであり 、

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

もしi j kならば。 ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

固定された頂点i ₀に対して、辺経路群Γ( i ₀ )は、すべての積によって生成されるΓの部分群として定義される。

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ···· · g _n · e _{i n i 0}

ここで、i ₀、i ₁、...、i _n、i ₀ はエッジパス、g _{k はΓ i k}にあり、i jの場合はe _ji = e _ij ⁻¹です。 ${\displaystyle \rightarrow }$

離散群Γの有限商を持つ単体複体Xへの単体固有作用は、次の同値条件のいずれかを満たす場合、正則であると言われる。 ^[9]

• X は有限部分複体を基本領域として許容する。
• 商Y = X /Γは自然な単体構造を持つ。
• 頂点の軌道表現上の商単体構造は整合している。
• ( v ₀ , ..., v _k ) と ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) が単体である場合、 Γ 内の任意のgに対してg · v _i = g _i · v _{i が}成立します。

この場合、基本領域と商Y = X / Γ は、基本領域の単体の安定子によって与えられる単体複体として自然に識別できます。グループYの複体は、このようにして生じる場合、展開可能であると言われます。

• _{群の複合体は、Γ σ}のエッジパス群への準同型が単射である場合にのみ展開可能です。
• 群の複合体が展開可能であるのは、各単体 σ に対して 、 Γ _σから固定された離散群 Γ への入射準同型 θ _{σが存在し、 θ τ} · f _στ = θ _σが成り立つ場合に限られます。この場合、単体複合体X は標準的に定義されます。つまり、 k単体 (σ, xΓ _σ )を持ちます。ここで、 σ はYのk単体であり、x はΓ / Γ _{σ上を走ります。一貫性は、群の複合体を}単体に制限することが、自明なコサイクルg _ρστを持つものと同等であるという事実を使用して確認できます。

Xの重心分割X 'に対する Γ の作用は、常に次の条件を満たしますが、これは正則性よりも弱い条件です。

• σとg ·σが単体τの部分単体であるときは、それらは等しい、すなわちσ = g ·σである。

実際、X ' の単体はXの単体の連鎖に対応しており、単体のサブ連鎖によって与えられるサブ単体は、サブ連鎖内の単体のサイズによって一意に決定される。作用がこの条件を満たす場合、g は必然的に σ のすべての頂点を固定する。直接的な帰納的議論から、そのような作用は重心分割で正則になることが示される。特に、

• 2番目の重心分割X "に対する作用は正則である。
• Γ は、 X "の基本領域の重心細分化のエッジパスと頂点安定子を使用して定義されたエッジパス グループに自然に同型です。

実際には、 3 番目の重心細分に進む必要はありません。Haefliger がカテゴリ理論の言語を使用して観察しているように、この場合、 X "の基本領域の 3 スケルトンには、三角形の遷移要素を含む、Γ に同型のエッジパス グループを定義するために必要なすべてのデータがすでに含まれています。

2次元では、これは特に簡単に記述できます。X " の基本領域は、グループYの複合体の重心分割Y 'と同じ構造を持ちます。つまり、

• 有限2次元単体複体Z ;
• すべてのエッジi jの方向。${\displaystyle \rightarrow }$
• i jとj k が辺である場合、i k は辺であり、 ( i , j , k ) は三角形です。${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$
• 頂点に付加された有限群、辺に付加された包含物、三角形に互換性を記述する遷移要素。

次に、エッジパス グループを定義できます。同様の構造が重心サブディビジョンZ ' によって継承され、そのエッジパス グループはZのエッジパス グループと同型です。

可算離散群が単体的複体に対して正規の 単体的 固有作用を及ぼす場合、その商は群の複体だけでなく、オービスペースの構造も与えることができる。これにより、より一般的には、オービフォールドの単体的類似体である「オービヘドロン」の定義につながる。

X を重心分割X 'を持つ有限単体複体とします。輪二面体構造は次の要素で構成されます。

• X 'の各頂点iに対して、有限群 Γ _iの剛体単体作用を備えた単体複体L _i ' が存在する。
• L _i 'のX '内のiのリンクL _iへの単体写像 φ _i 。商L _i ' / Γ _iをL _iと同一視する。

_{Γ i}のL _i 'への作用は、 L _i '上の単体円錐C _iへの単体作用 ( iとL _i 'の単体結合) に拡張され、円錐の中心iが固定されます。 φ _i写像は、 C _iのiの星St( i )への単体写像に拡張され 、中心がi上に移動します。したがって、 φ _{i は}、 C i のiの星のC _i内の商であるC _i / Γ _{i を}St( i )と同一視し、 iに軌道図を与えます。

• X 'の各有向辺i jに対して、 Γ _iからΓ _jへの入射準同型f _{ij が}成立する。${\displaystyle \rightarrow }$
• 各有向辺i jに対して、 C _iからC _jへのΓ _i同変単体接着写像ψ _ij。${\displaystyle \rightarrow }$
• 接着マップはチャートと互換性があります。つまり、 φ _j ·ψ _ij = φ _iです。
• 接着写像は群元との合成まで一意である。すなわち、V _iからV _jへの他の可能な接着写像は、 Γ _j内の一意のgに対してg ·ψ _{ij という}形式をとる。

i j kならば、 Γ _kには遷移元g _{ijk が}一つだけ存在し、 ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

これらの遷移元素は

(Ad g _ijk )・f _ik = f _jk・f _ij

共環関係も同様である

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm。

• 重心分割X ' の頂点i がX内の単体に対応するため、輪二面体の群論的データはX上の群の複合体を与えます。
• X上の群のすべての複合体は、X上の本質的に一意のオービヘドロン構造に関連付けられています。この重要な事実は、 Xの単体 σ に対応するX 'の頂点iのスターとリンクが自然に分解されることに注目することで従います。スターは、 σ の重心サブディビジョン σ' と σ の結合によって与えられる抽象的な単体複合体に同型であり、リンクは、Xの σ のリンクと σ' の σ の重心のリンクの結合に同型です。群の複合体をXの σ のリンクに制限すると、すべてのグループ Γ _{τ はΓ σ}への入射準同型を伴います。 X 'のiのリンクは、 Γ _{σ が}作用する単体複合体によって標準的に覆われているため、これはX上のオービヘドロン構造を定義します。
• 輪面体基本群は（トートロジー的に）関連する群の複合体のエッジパス群にすぎません。
• すべての軌道面体は当然軌道空間でもあります。実際、単体複合体の幾何学的実現では、星の内部を使用して軌道空間チャートを定義することができます。
• 軌道面体基本群は、関連する軌道空間の軌道空間基本群と自然に同一視できます。これは、軌道空間チャートにある軌道空間パスのセグメントに単体近似定理を適用することで得られます。これは、多面体の基本群がそのエッジパス群と同一視できるという古典的な証明の単純な変形です。
• 軌道面体に関連付けられた軌道空間は、正規の計量構造を持ち、これはユークリッド空間における標準的な幾何学的実現における長さ計量から局所的に派生したもので、頂点は正規直交基底にマッピングされます。また、単体を双曲空間で実現することによって得られる長さ計量を含む他の計量構造も使用され、単体は共通の境界に沿って等長的に識別されます。
• 軌道面体に関連付けられた軌道空間が非正に曲がっているのは、各軌道面体チャートのリンクの内周が6以上である場合、つまりリンク内の任意の閉回路の長さが少なくとも 6 である場合のみです。この条件は、アダマール空間の理論からよく知られており、基になる群の複合体のみに依存します。
• 普遍被覆オービヘドロンが非正に曲がっている場合、基本群は無限であり、等方性群の同型コピーによって生成されます。これは、オービスペースの対応する結果から得られます。

歴史的に、幾何群論におけるオービフォールドの最も重要な応用の 1 つは、群の三角形への応用である。これは、セールのツリーに関する講義で議論された 1 次元の「群の区間」を一般化した最も単純な 2 次元の例であり、そこでは融合自由積がツリーへの作用の観点から研究されている。このような群の三角形は、SL ₃ ( Q _p )に対するアフィン Bruhat–Tits 構築において、離散群が三角形に単純に推移的に作用するときはいつでも生じる。1979 年にMumford は、射影空間に同型ではないが同じベッティ数を持つ代数曲面を生成するステップとして、 p = 2の最初の例(下記参照)を発見した。群の三角形は Gersten と Stallings によって詳細に検討されたが、上記の群の複体のより一般的なケースは Haefliger によって独立に開発された。非正曲率の距離空間の観点から有限に提示された群を解析する基礎となる幾何学的方法は、グロモフによるものです。この文脈では、群の三角形は、三角形上で推移的な群の正規作用を持つ非正曲面の 2 次元単体複体に対応します。

群の三角形は、頂点A、B、Cを持つ三角形で構成される群の単純な複合体です。

• 各頂点におけるΓ _A、Γ _B、Γ _C
• 各辺についてΓ _BC、Γ _CA、Γ _AB
• 三角形自体の場合はΓ _{ABC です。}

_{Γ ABC}から他のすべての群への、また辺群 Γ _XYから Γ _Xと Γ _Yへの入射準同型写像が存在します。Γ _{ABC を}頂点群に写像する 3 つの方法はすべて一致します。(多くの場合、Γ _{ABC は}自明な群です。) 対応する軌道空間上のユークリッド計量構造は、軌道面体チャート内の各頂点のリンクの内周が少なくとも 6 である場合に限り、非正に曲がっています。

各頂点のこの内周は常に偶数であり、スタリングスが観察したように、頂点Aでは、辺群 Γ _ABと Γ _{ACの Γ ABC}上の融合自由積 のΓ _Aへの自然準同型の核の最小のワードの長さとして記述できます。

${\displaystyle \Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.}$

ユークリッド計量構造を用いた結果は最適ではない。頂点A、B、Cにおける角度 α、 β 、 γは、 Stallings によって 2π を内周で割ったものとして定義された。ユークリッドの場合、 α、 β 、 γ ≤ π/3 である。しかし、 α + β + γ ≤ π だけが要求される場合、ポアンカレ計量（または等式が成立する場合はユークリッド平面）を使用して、三角形を双曲面上の対応する測地線三角形と同一視することができる。双曲幾何学からの古典的な結果では、双曲中線は、よく知られているユークリッドの場合と同様に、双曲重心で交差する^[19]。このモデルからの重心細分と計量は、対応する軌道空間上に非正に曲がった計量構造をもたらす。したがって、 α+β+γ≤π の場合、

• 群の三角形の軌道空間は展開可能である。
• 対応するエッジパス群は、群の三角形の余極限としても記述でき、無限である。
• 頂点群から辺パス群への準同型写像は注入である。

α = を(1 − 8) ^1/2のQ ₂における二項展開で与え、K = Q ( α ) Q ₂とおく。 ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$${\displaystyle \subset }$

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ξ + ξ ² + ξ ⁴

μ = λ / λ *。

E = Q ( ζ ) を、基底が 1、ζ、ζ ^2であるK上の 3 次元ベクトル空間とします。E上のK線型演算子を次のように定義します。

• σ は、 K上のEのガロア群の生成元であり、 σ(ζ) = ζ ²で与えられる 3 次元である。
• τは、7次の元であるE上のζの乗算演算子である。
• ρ は、 ρ ( ζ ) = 1、ρ ( ζ ² ) = ζ 、およびρ (1) = μ · ζ ²によって与えられる演算子であるため、ρ ^{3 は}μによるスカラー倍になります 。

ρ、σ、τ の要素はGL ₃ ( K )の離散部分群を生成し、これはSL ₃ ( Q ₂ )に対応するアフィン Bruhat–Tits 建物に適切に作用します。この群は建物内のすべての頂点、辺、三角形に 推移的に作用します。

σ ₁ = σ、σ ₂ = ρσρ ⁻¹、σ ₃ = ρ ² σρ ⁻²。

それから

• σ ₁、σ ₂、σ _3はSL ₃ ( K )のサブグループ Γ を生成します。
• Γ はσとτによって生成される最小の部分群であり、 ρによる共役に対して不変です。
• Γ は建物内の三角形に対して単純に推移的に作用します。
• 三角形 Δ が存在し、その辺の安定群はσ _iによって生成される 3 次部分群である。
• Δ の頂点の安定化要素は、頂点で交わる辺を安定化する 2 つの 3 次要素によって生成される 21 次フロベニウス群です。
• Δ の安定子は自明です。

要素σとτ は頂点の安定子を生成する。この頂点のリンクはSL ₃ ( F ₂ )の球面構築と同一視でき、安定子は、点を固定する 3 倍対称 σ と 7 点すべての巡回置換 τ によって生成され、στ = τ ² σを満たすファノ平面の共線群と同一視できる。F ₈ * をファノ平面と同一視すると、σ はF ₈のフロベニウス自己同型σ ( x ) = x ^{22の制限とすることができ、τ は}素体F ₂にない任意の要素による乗算、つまりF ₈の巡回乗法群の位数 7 の生成元とすることができる。このフロベニウス群は、ファノ平面の 21 個の旗、つまりマークされた点を持つ線に対して単純に推移的に作用する。したがって、 E上の σ と τ の式は、 F ₈上の式を「持ち上げる」ことになります。

_{マムフォードはまた、 Γ 1} = < ρ , σ , τ , − I >の部分群を通過することによって、建物の頂点に対する単純推移的な作用を得る。 Γ ₁群は、Q ( α )値エルミート形式 を保存する。

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

Q (ζ)上のU ₃ (f) GL ₃ ( S )と同一視できる。ただしS = Z [ α , ⁠${\displaystyle \cap }$ 1/2⁠ ]。S /(α) = F 7 なので、群Γ 1から_GL 3 ( F 7 ) への準同型が存在する_。この_作用は、_F 7 3_の²次元部分空間を不変に残し 、したがって、 Γ ₁からSL ₂ ( F ₇ )、つまり位数 16·3·7 の群への準同型Ψを生じさせる。一方、頂点の安定群は位数 21 の部分群であり、Ψ はこの部分群に単射である。したがって、合同部分群Γ _0がSL ₂ ( F ₇ )の2-シロー部分群のΨによる逆像として定義される場合、頂点に対する Γ ₀の作用は単純に推移的である必要がある。

上記の例のバリエーションによって、三角形や 2 次元のグループの複合体の他の例を構築できます。

Cartwright らは、頂点上で単純に推移的な建物への作用を検討しています。このような各作用は、有限射影平面の旗複体内の点xと直線x *との間の一対一 (または修正双対性) と、巡回置換に対して不変で、x が z * 上にあり、 y が x * 上にあり、 z が y * 上にあり、任意の 2 つの点が 3 番目の点を一意に決定するような点 ( x 、y、 z ) の向き付けられた三角形のコレクションを生成します。生成されたグループには、点でラベル付けされた生成元xと、各三角形に対する関係 xyz = 1 があります。一般的に、この構成は古典的なアフィン建物への作用には対応しません。

より一般的には、Ballmann と Brin によって示されているように、同様の代数データは、各頂点のリンクの内周が少なくとも 6 である場合に、非正曲面 2 次元単体複体の頂点上で単純に推移的であるすべてのアクションをエンコードします。このデータは以下で構成されます。

• 生成集合Sには逆集合は含まれるが、単位集合は含まれない。
• 関係の集合g h k = 1、巡回置換に対して不変。

Sの要素g は、固定された頂点vのリンク内の頂点g · vにラベルを付けます。関係はそのリンクの辺 ( g ⁻¹ · v、h · v ) に対応します。頂点Sと辺 ( g、h )を持つグラフ( Sのg ⁻¹ hの場合) は、内周が少なくとも 6 である必要があります。元の単体複合体は、群の複合体と 2 番目の重心分割を使用して再構築できます。

非正に曲がった 2 次元群の複合体のさらなる例は、向きのある辺に単純推移的で各三角形に 3 倍対称性を誘導する作用に基づいて、スウィアトコフスキーによって構築されました。この場合も、群の複合体は、第 2 の重心細分に対する通常の作用から得られます。最も単純な例は、以前にボールマンによって発見されたもので、対応するケイリー グラフの内周が少なくとも 6 になるように、単位元を含まない対称生成元セットSを持つ有限群Hから始まります。関連する群は、Hと、 Sの各gに対して (τg) ³ = 1となる反転 τによって生成されます。

実際、 Γ がこのように作用し、辺 ( v , w ) を固定すると、 vとw を入れ替える反転 τ が存在する。 vのリンクは、H = Γ _vの対称部分集合 S 内の頂点g · wで構成され、リンクが連結されている場合はH を生成する。三角形に関する仮定は、

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

g はSに属す。したがって、 σ = τ gかつu = g ⁻¹ · wならば、

σ( v ) = w、σ( w ) = u、σ( u ) = w。

三角形 ( v、w、u ) 上の単純な推移性により、σ ³ = 1となります。

2 番目の重心細分化により、重心細分化された三角形の単体またはペアが長辺に沿って結合されたグループの複合体が得られます。これらのペアは、S内の逆元を識別することによって得られる商空間S /~ によってインデックス付けされます。単体または「結合された」三角形は、1 つの共通の「スパイン」に沿って結合されます。単体のすべての安定子は、安定子Hと <τ> を持つスパイン端の 2 つの頂点と、適切な σ によって生成される安定子を持つ大きな三角形の残りの頂点を除いて自明です。各大きな三角形の小さな三角形のうち 3 つには、遷移要素が含まれます。

Sの元がすべて反転である場合、三角形を 2 倍にする必要はない。Hを反転aと7 の 元bによって生成される 14 の位数の二面体群 D ₇とすると、

ab = b ⁻¹ a、

すると、H は3 つの反転a、ab 、およびab ⁵によって生成されます。各頂点のリンクは対応する Cayley グラフによって与えられるため、2 部 Heawood グラフとまったく同じになります。つまり、 SL ₃ ( Q ₂ ) のアフィン構築とまったく同じです。このリンク構造は、対応する単体複体が必然的にユークリッド構築であることを意味します。ただし、現時点では、これらのタイプのアクションのいずれかが実際に古典的なアフィン構築で実現できるかどうかは不明のようです。Mumford のグループ Γ ₁ (スカラーを法とする) は、エッジ上では単純推移的であり、有向エッジ上では推移的ではありません。

2 次元オービフォールドには、次の 3 種類の特異点があります。

• 境界点
• n次回転の巡回群で割ったR ²の原点などの、n 次楕円点または回転点。
• n次コーナーリフレクタ: R ²の原点を2 n次二面体群で割ったもの。

コンパクトな2次元オービフォールドは、 次のように表される オイラー特性を持つ。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})}$、

ここで、は基礎となる位相多様体のオイラー特性、 はコーナーリフレクタの次数、 は楕円点の次数です。 ${\displaystyle \chi (X_{0})}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

2 次元のコンパクト連結オービフォールドは、オイラー特性が 0 未満の場合は双曲型構造を持ち、0 の場合はユークリッド型構造を持ち、オイラー特性が正の場合は不良構造または楕円型構造を持ちます (オービフォールドは、被覆空間として多様体を持たない場合、不良と呼ばれます)。言い換えると、その普遍被覆空間は、双曲型、ユークリッド型、または球状構造を持ちます。

双曲型ではないコンパクトな 2 次元連結オービフォールドを以下の表に示します。 17 個の放物型オービフォールドは、平面を 17 個の壁紙群で割った商です。

3 次元多様体は、閉じていて、既約であり、非圧縮面を含まない場合、 小さいと言われます。

オービフォールド定理。Mを小さな 3 次元多様体と します。φ をMの非自明な周期的方向保存微分同相写像とします。すると、M はφ 不変の双曲型またはザイフェルトファイバー構造を許容します。

この定理は、1981年に証明なしに発表されたサーストンのオービフォールド定理の特殊なケースであり、3次元多様体に対する彼の幾何学化予想の一部を形成しています。特に、Xがコンパクトで連結で向き付け可能で既約で空でない特異点を持つアトーロイド3次元オービフォールドである場合、Mは幾何学的構造（オービフォールドの意味で）を持つことを意味します。定理の完全な証明は、2005年にボイルー、リーブ、ポルティによって発表されました。^[20]

弦理論では、「オービフォールド」という言葉は少し新しい意味を持ちます。数学者にとって、オービフォールドは多様体の概念の一般化であり、近傍がR ^{n を}有限群で割った商、つまりR ⁿ / Γに微分同相である点の存在を許します。物理学では、オービフォールドの概念は通常、軌道空間M / Gとして全体的に記述できるオブジェクトを表します。ここで、 Mは多様体 (または理論)、Gはその等長写像 (または対称性) のグループです (必ずしもすべての等長写像である必要はありません)。弦理論では、これらの対称性は幾何学的な解釈を持つ必要はありません。

オービフォールド上で定義された量子場理論は、 Gの不動点の近くで特異になります。しかし、弦理論では、閉じた弦 ヒルベルト空間の新しい部分、つまり、閉じた弦上で定義された場がGからの作用まで周期的であるねじれセクターを追加する必要があります。したがって、オービフォールディングは、 Gの要素が恒等元と同一視されている古い弦理論から新しい弦理論を導出する、弦理論の一般的な手順です。このような手順では、状態がG の下で不変でなければならないため状態の数が減りますが、余分なねじれセクターのために状態の数も増えます。結果は通常、完全に滑らかな新しい弦理論になります。

オービフォールド上を伝播するD ブレーンは、低エネルギーでは、箙図で定義されるゲージ理論によって記述されます。これらのD ブレーンに付随する開いた弦にはねじれたセクターがないため、開いた弦の状態の数はオービフォールド化手順によって削減されます。

より具体的には、オービフォールド群G が時空等長写像の離散部分群である場合、それが不動点を持たないと、結果は通常コンパクトで滑らかな空間になります。ねじれたセクターは、コンパクト次元の周りに巻かれた閉じた弦で構成され、これは巻き付け状態と呼ばれます。

オービフォールド群 G が時空等長写像の離散部分群であり、不動点を持つ場合、これらは通常円錐特異点を持つ。これは、 R ⁿ / Z _{k が}Z _kの不動点にそのような特異点を持つためである。弦理論では、重力特異点は通常、時空内の軌跡点に位置する余分な自由度の兆候である。オービフォールドの場合、これらの自由度はねじれ状態であり、これは不動点に「固定」された弦である。これらのねじれ状態に関連する場が非ゼロの真空期待値を獲得すると、特異点は変形される、つまり計量が変更され、この点とその周囲で規則的になる。結果として生じる幾何学の例は、江口–ハンソン時空である。

固定点近傍の D ブレーンの観点から見ると、これらの D ブレーンに付随する開いた弦の有効理論は超対称場理論であり、その真空空間には特異点があり、そこには追加の質量のない自由度が存在する。閉じた弦のツイストセクターに関連するフィールドは、開いた弦と結合して、超対称場理論のラグランジアンに対して Fayet-Iliopoulos 項を追加するため、そのようなフィールドが非ゼロの真空期待値を獲得すると、Fayet-Iliopoulos 項は非ゼロになり、それによって理論が変形 (変更) され、特異点は存在しなくなる [1]、[2]。

超弦理論^{[21] [22]}では、弦は自然に10次元空間を伝播するのに対し、観測される宇宙の時空の次元は4であるため、現実的な現象論的モデル の構築には次元削減が必要である。理論に対する形式的な制約は、それでもなお、余分な「隠れた」変数が存在するコンパクト化空間に制限を課す。超対称性を持つ現実的な4次元モデルを探す場合、補助的なコンパクト化空間は6次元のカラビ・ヤウ多様体でなければならない。^[23]

カラビ・ヤウ多様体の可能な数は膨大（数万）であるため、現在の理論物理学の文献では、この不可解な選択を説明するために「ランドスケープ」という用語が使用されています。カラビ・ヤウ多様体の一般的な研究は数学的に複雑であり、長い間、例を明示的に構築することは困難でした。そのため、オービフォールドは、超対称性によって課される制約を自動的に満たすため、非常に有用であることが証明されています。オービフォールドは、特異点のためにカラビ・ヤウ多様体の退化した例を提供しますが、^[24]これは理論物理学の観点からはまったく受け入れられます。このようなオービフォールドは「超対称」と呼ばれ、一般的なカラビ・ヤウ多様体よりも技術的に研究しやすいです。特異でないカラビ・ヤウ多様体の連続した族を、特異な超対称オービフォールドに関連付けることは、非常によく可能です。4 次元では、これは複素K3 面を使用して説明できます。

• すべての K3 面には、通常の 2 次元球面と位相的に同等な 2 次元のサイクルが 16 個存在します。これらの球面をゼロに近づけると、K3 面には 16 個の特異点が生じます。この極限は、K3 面のモジュライ空間の境界上の点を表し、トーラスを反転対称性で割って得られるオービフォールドに対応します。${\displaystyle T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,}$

弦理論におけるカラビ・ヤウ多様体と弦理論の異なるモデル（タイプIIAとIIB）間の双対性の研究は、 1988年にミラー対称性のアイデアにつながりました。オービフォールドの役割は、ほぼ同じ頃にディクソン、ハーヴェイ、ヴァファ、ウィッテンによって初めて指摘されました。^[25]

オービフォールドは、その多様性と数学や物理学における様々な応用を超えて、少なくとも1985年にはゲリーノ・マッツォラ^{[26] [27]の研究で}音楽理論に応用され、その後ドミトリ・ティモツコと共同研究者によって応用された。^{[28] [29] [30] [31]}ティモツコの論文の1つは、サイエンス誌に掲載された最初の音楽理論論文であった。^{[32] [33] [34]}マッツォラとティモツコは、それぞれのウェブサイトで閲覧可能な一連の論評で彼らの理論に関する議論に参加した。^{[35] [36]}

Tymoczko は、必ずしも区別されないn個の音符で構成される音楽のコードを、オービフォールド内の点としてモデル化します。オービフォールドとは、円内の順序付けられていないn個の点 (必ずしも区別されない)の空間であり、n -トーラス(円上の順序付けられたn個の点の空間) を対称群(順序付けられた集合から順序付けられていない集合への移行に対応) で割った商として実現されます。 ${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

音楽的には、次のように説明されます。

• 楽音は基本音の周波数（ピッチ）に依存するため、正の実数R ⁺によってパラメータ化されます。
• 1 オクターブ異なる (周波数が 2 倍になる) 楽音は同じ音とみなされます。これは、周波数の 2 を底とする対数(実数) を取り、それを整数で割る (オクターブがいくつか異なることに相当) と、円 ( ) が得られることに相当します。${\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}$${\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }$
• 和音は順序に関係なく複数の音に対応します。つまり、t個の音符 (順序あり) は円上のt個の順序付き点、または同等にtトーラス上の単一の点に対応し、順序を省略すると、オービフォールドを生成することによって商を取ることに対応します。${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$${\displaystyle S_{t},}$

2音階の場合、閉じたメビウスの帯が得られます。3音階の場合、上面と下面の三角形が120°のねじれで識別される三角柱として記述できるオービフォールドが得られます（⁠1/3⁠ねじれ） – 同様に、断面が正三角形で、ねじれのある 3 次元の立体トーラスです。

結果として得られるオービフォールドは、繰り返されるトーン（正確には、 tの整数分割）によって自然に階層化されます。開集合は異なるトーン（分割）で構成されますが、すべてのトーンが同じである 1 次元の特異集合（分割）（位相的には円）と、さまざまな中間分割があります。また、等間隔の点からなる開集合の中心を通る注目すべき円もあります。トライアドの場合、プリズムの 3 つの側面は、2 つのトーンが同じで 3 つ目のトーンが異なること（分割）に対応し、プリズムの 3 つの辺は 1 次元の特異集合に対応します。上面と底面は開集合の一部であり、オービフォールドが切断されているために表示されるだけです。ねじれのある三角形のトーラスとして見ると、これらのアーティファクトは消えます。 ${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$${\displaystyle t=t}$${\displaystyle 3=2+1}$

ティモツコは、中心に近いコード（音が均等またはほぼ均等に間隔を空けている）が伝統的な西洋和音の多くを基礎づけており、このようにコードを視覚化することで分析が容易になると主張している。中心には 4 つのコード（平均律では均等間隔– 音の間隔は 4/4/4）があり、これは増三和音（音楽セットと考えられる）C♯FA、DF♯A♯、D♯GB、EG♯C に対応し（その後、循環する：FAC♯ = C♯FA）、12 のメジャーコードと 12 のマイナーコードは中心に隣接しているが中心上にはない点であり、ほぼ均等に間隔を空けているが、完全に均等ではない。メジャーコードは 4/3/5（または同等の 5/4/3）間隔に対応し、マイナーコードは 3/4/5 間隔に対応している。キーの変更は、オービフォールド内のこれらのポイント間の移動に対応し、近くのポイント間の移動によってよりスムーズな変更が実現されます。

• 枝分かれした被覆
• オービフォールドのオイラー特性
• 幾何商
• 川崎のリーマン・ロッホ公式
• オービフォールド記法
• オリエンティフォールド
• モジュラーフォームのリング
• スタック（数学）