直接制限

数学において、直接極限とは、特定の方法で組み合わせられた多数の（通常はより小さな）対象から、（通常は大きな）対象を構成する方法です。これらの対象は、群、環、ベクトル空間、または一般に任意の圏の対象である可能性があります。それらの組み合わせ方は、それらの小さな対象間の準同型写像（群準同型写像、環準同型写像、または一般に圏における射）の体系によって指定されます。対象の直接極限は、${\displaystyle A_{i}}$、 どこ${\displaystyle i}$ある有向集合の範囲${\displaystyle I}$は、で表されます。${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$この表記法では準同型写像の系は省略されますが、極限値は準同型写像の系に依存します。

直接極限は、圏論における余極限の概念の特殊な場合である。直接極限は逆極限と双対であり、逆極限は圏論における極限の特殊な場合である。

まず、群や加群などの代数構造の定義を示し、次に、あらゆる圏で使用できる一般的な定義を示します。

任意のカテゴリーにおける直接的な制限

直接限界は任意のカテゴリで定義できる$\displaystyle {\mathcal {C}}}$普遍的な性質によって。${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$オブジェクトと射の直接システムである$\displaystyle {\mathcal {C}}}$（上記で定義したとおり）。ターゲットはペアです。${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$どこ${\displaystyle X\,}$はオブジェクトです$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$それぞれに対する射である${\displaystyle i\in I}$そのため${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$いつでも ${\displaystyle i\leq j}$直接系の直接極限${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$普遍的に忌避される標的${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$そういう意味で${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$はターゲットであり、各ターゲットに対して${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$一意の射が存在する${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$そのため${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$各iについて。次の図

すると、i、jすべてに対して可換になります。

直接極限はしばしば次のように表される

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

直接システムで${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$そして正準射$\displaystyle \phi _{i}}$（より正確には、正規注入）$\displaystyle \iota _{i}}$理解されている。

代数的対象とは異なり、任意の圏におけるすべての直接系が直接極限を持つとは限らない。しかし、直接極限が存在する場合、その直接極限は強い意味で一意である。すなわち、別の直接極限X ′ が与えられたとき、標準射と可換な一意の同型写像X ′ → Xが存在する。

• 部分集合の集合${\displaystyle M_{i}}$集合の${\displaystyle M}$包含関係によって部分的に順序付けできる。コレクションが有向である場合、その直接の極限は和集合である。$\displaystyle \bigcup M_{i}}$。
• 同様に、有限生成部分群の集合${\displaystyle H_{i}}$特定のグループの${\displaystyle G}$包含関係によって部分的に順序付けできる。有限生成部分群の有限集合${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$有限生成部分群に含まれる${\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }$なので、インデックス集合は確かに有向である。包含射によって${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$直接極限は単純に（同型）${\displaystyle G}$環、加群、代数などについても同様の結果が成り立つ。添え字集合が有向である限り、有限生成の要件は緩和できることに注意してください。
• CW複体の弱トポロジーは、直接極限として定義される。
• させて${\displaystyle I}$最大要素を持つ任意の有向集合とする${\displaystyle m}$直接的な限界${\displaystyle X}$対応する直接システムの同型性は${\displaystyle X_{m}}$そして正準射${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$これは同型写像である。
• Kを体とする。正の整数nに対して、Kの要素を持つ可逆なn x n行列からなる一般線形群GL( n;K ) を考える。GL( n;K ) → GL( n +1; K ) という群準同型写像が存在し、これは右下隅に 1 を、最後の行と列のその他の部分に 0 を配置することで行列を拡大する。この系の直接極限はKの一般線形群であり、GL( K ) と表記される。GL( K )の要素は、無限単位行列と有限個の要素のみが異なる無限可逆行列と考えることができる。群 GL( K ) は代数的 K 理論において極めて重要である。
• pを素数とする。因子群から構成される直接系を考える。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$そして準同型写像${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$乗算によって誘発される${\displaystyle p}$このシステムの直接極限は、あるべき乗のオーダーのすべての1の根から構成される。${\displaystyle p}$プリューファー・グループと呼ばれている。${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$。
• 対称多項式の環から、(自明ではない)単射環準同型が存在する。${\displaystyle n}$対称多項式の環への変数${\displaystyle n+1}$変数。この直接系の直接極限を形成すると、対称関数の環が得られます。
• 位相空間X上のC値層をFとする。X内の点xを固定する。xの開近傍は、包含関係 ( U ≤ VはU がVを含む場合に限る)で順序付けられた有向集合を形成する。対応する直接系は ( F ( U ), r _{U , V} ) であり、 rは制限写像である。この系の直接極限は、xにおけるFの茎と呼ばれ、F _xと表記される。xの各近傍Uに対して、標準射F ( U ) → F _{x は}、 U上のFの切断sに、茎F _xの要素s _xを対応させ、これをxにおけるsの芽と呼ぶ。
• 位相空間の圏における直接極限は、最終的な位相を基礎となる集合論的な直接極限に置くことによって与えられる。
• 帰納的スキームとは、スキームの帰納的極限のことである。

直接極限は逆極限と関連付けられています

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

重要な性質として、加群の圏における直接極限を取ることは完全関手である。これは、任意の短完全列の有向系に対して、${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$シーケンス${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$直接的な限界値も正確である。

カテゴリー内の直接システムに注目します${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ファンクターによる別の記述も可能である。任意の有向集合${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$小さなカテゴリーとみなすことができる${\displaystyle {\mathcal {I}}}$その対象は要素である${\displaystyle I}$そして射が存在する ${\displaystyle i\rightarrow j}$かつその場合に限り${\displaystyle i\leq j}$直接システム${\displaystyle I}$共変関手と同じである${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$この関手の余極限は、元の直接系の直接極限と同じである。

直接極限と密接に関連する概念として、フィルター付き余極限がある。ここでは、共変関手から始める。${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$フィルタリングされたカテゴリから${\displaystyle {\mathcal {J}}}$あるカテゴリーへ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして、この関手の余極限を形成する。圏が全ての有向極限を持つのは、全てのフィルター付き余極限を持つ場合と同値であり、そのような圏上で定義された関手が全ての有向極限と可換であるのは、全てのフィルター付き余極限と可換である場合と同値であることが示せる。^{[ 1 ]}

任意のカテゴリが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {C}}}$直接システムが存在する可能性がある${\displaystyle {\mathcal {C}}}$直接的な制限がない${\displaystyle {\mathcal {C}}}$（例えば、有限集合の圏や有限生成アーベル群の圏を考えてみてください。）この場合、常に埋め込むことができます。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$カテゴリーに分類する${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$すべての直接的な限界が存在する。 ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$は、​ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$。

直接極限の圏論的双対は逆極限と呼ばれる。前述のように、逆極限は特定の関手の極限と見なすことができ、余フィルター付き圏上の極限と密接に関連している。

文献では、上述の直接極限の概念に対して、「有向極限」、「直接帰納極限」、「有向余極限」、「直接余極限」、「帰納極限」といった用語が用いられている。しかしながら、「帰納極限」という用語は曖昧であり、一部の著者はこれを余極限の一般的な概念に用いている。

• グループの直接的な制限

• ブルバキ、ニコラ（1968）、『数学の基礎。集合論』、フランス語からの翻訳、パリ：ヘルマン、MR 0237342 
• Mac Lane、Saunders (1998)、『働く数学者のためのカテゴリー』、大学院数学テキスト、第5巻 （第2 版）、Springer-Verlag