レベル構造（代数幾何学）

代数幾何学において、空間X上のレベル構造とは、自己同型写像​​がレベル構造を保存することを要求することによって、 Xの自己同型群を縮小または消滅させる、 Xに付加された追加の構造のことである。レベル構造を付加することは、しばしばXの幾何学を固定化すると表現される。^{[ 1 ] [ 2 ]}

応用においては、レベル構造はモジュライ空間の構築に用いられます。モジュライ空間はしばしば商空間として構築されます。自己同型写像​​の存在は商空間の形成を困難にするため、レベル構造を導入することでこの困難を克服することができます。

レベル構造には単一の定義はありません。むしろ、空間Xに応じてレベル構造の概念が導入されます。古典的なものは楕円曲線上のレベル構造です( #例: アーベルスキームを参照)。形式群に付随するレベル構造として、 Drinfeld レベル構造と呼ばれるものがあり、 ( Drinfeld 1974 )で導入されました。^{[ 3 ]}

古典的には、楕円曲線上のレベル構造は${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$は、多様体の定義格子を含む格子によって与えられる。楕円曲線のモジュライ理論から、そのようなすべての格子は格子として記述できる。${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$のために$\displaystyle \tau \in \mathfrak {h}}$上半平面において。次に、によって生成される格子は${\displaystyle 1/n,\tau /n}$すべての${\displaystyle n}$楕円曲線上のねじれ点は、${\displaystyle E[n]}$実際、このような格子は、${\displaystyle \Gamma (n)\subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$アクション${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、 どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (n)&={\text{ker}}({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} /n))\\&=\left\{M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):M\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ (mod n)}}\right\}\end{aligned}}}$

したがって、それはポイントを与えます${\displaystyle \Gamma (n)\backslash {\mathfrak {h}}}$^{[ 4 ]}楕円曲線のレベルN構造のモジュライ空間と呼ばれる${\displaystyle Y(n)}$これはモジュラー曲線です。実際、このモジュライ空間にはもう少し多くの情報が含まれています。ワイルペアリング

${\displaystyle e_{n}\left({\frac {1}{n}},{\frac {\tau }{n}}\right)=e^{2\pi i/n}}$

ポイントを与える${\displaystyle n}$1の-乗根、したがって${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$。

させて${\displaystyle X\to S}$幾何学的ファイバーの次元がgであるアーベル計画とする。

n を、Sの各sの剰余体と素な正の整数とする。n ≥ 2 の場合、レベルn構造はセクションの集合である。$\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{2g}}$^{[ 5 ]}​

1. 各幾何学的点について${\displaystyle s:S\to X}$、$\displaystyle \sigma _{i}(s)$n位の点群の基底を形成する${\displaystyle {\overline {X}}_{s}}$、
2. $${\displaystyle m_{n}\circ \sigma _{i}}$$はアイデンティティセクションであり、${\displaystyle m_{n}}$nによる乗算です。

参照:モジュラー曲線#例、楕円曲線のモジュライスタック。

• シーゲルモジュールフォーム
• 厳密性（数学）
• 局所的な剛性

• Drinfeld, V. (1974). "楕円モジュール". Math USSR Sbornik . 23 (4): 561– 592. Bibcode : 1974SbMat..23..561D . doi : 10.1070/sm1974v023n04abeh001731 .
• カッツ、ニコラス・M.、マズール、バリー（1985）。楕円曲線の算術モジュライ。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08352-5。
• ハリス、マイケル；テイラー、リチャード（2001）。いくつかの単純な志村多様体の幾何学とコホモロジー。数学研究年報。第 151巻。プリンストン大学出版局。ISBN 978-1-4008-3720-5。
• David, マムフォード;フォガティ、J.カーワン、F. (1994)。幾何学的不変理論。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [数学および関連分野の結果 (2)]。 Vol.  34 (第 3 版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 .​ 

• J. ルーリー著、『主束に関する覚書』
• J. ルーリー著、『楕円曲線上のレベル構造』