対角線射（代数幾何学）

代数幾何学において、スキームの射が与えられた場合${\displaystyle p:X\to S}$対角射

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

これは、ファイバー積の普遍性によって決定される射である。${\displaystyle X\times _{S}X}$pとpを恒等式に適用したもの${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$そしてアイデンティティ$1X$。

これはグラフ準同型の特殊なケースです。準同型が与えられた場合${\displaystyle f:X\to Y}$S上でのそのグラフ準同型は${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$誘発される${\displaystyle f}$そしてアイデンティティ$1X$対角埋め込みは、$1X$。

定義により、XはS上の分離スキームである(${\displaystyle p:X\to S}$対角射が閉じた埋め込みである場合、分離射となる。また、射${\displaystyle p:X\to S}$有限表示の局所的な射が非分岐射で あるのは、対角埋め込みが開埋め込みである場合に限る。

例として、代数的に閉じた体k上の代数多様体を考え、${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$構造マップ。次に、X をそのk 個の有理点の集合と同一視し、${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$そして${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$次のように与えられます${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$そこから対角射という名前がついた。

分離射は射である${\displaystyle f}$繊維製品​${\displaystyle f}$自身に沿って${\displaystyle f}$対角線は閉じた部分スキームである。言い換えれば、対角射は閉じた埋め込みである。

その結果、計画${\displaystyle X}$対角線が分離されるとき${\displaystyle X}$スキーム製品の中で${\displaystyle X}$それ自体は閉じた埋め込みである。相対的な観点を強調すると、一意射が分離されるスキームを同等に定義することができる。${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$分離されている。

位相空間Yがハウスドルフであるのは、対角埋め込みが次の条件を満たす場合のみであることに注意してください。

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

は閉じている。代数幾何学では、ハウスドルフ空間であるスキームは必然的に空または零次元であるため、上記の定式化が用いられる。位相幾何学的文脈と代数幾何学的文脈の違いは、（スキームの圏における）ファイバー積の位相構造に由来する。${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$これは位相空間の積とは異なる。

任意のアフィンスキームSpec Aは分離されている。なぜなら、対角線は環の全射写像に対応するからである（したがって、スキームの閉じた埋め込みである）。

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$。

させて${\displaystyle S}$これは、原点を除く恒等写像を通る2つのアフィン直線を同一視することによって得られるスキームである（接着スキーム#例を参照）。これは分離されていない。^{[ 1 ]}実際、対角射の像は${\displaystyle S\to S\times S}$画像には2つの原点があり、その閉包には4つの原点が含まれる。

代数サイクルの交差積を定義する古典的な方法${\displaystyle A,B}$滑らかな多様体X上では、それらのデカルト積を対角線と交差（制限）することによって、正確には、

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

どこ$\displaystyle \delta ^{*}}$対角埋め込みに沿った引き戻し${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$。

• 準分離射
• 通常の埋め込み
• 対角射

• ハートショーン、ロビン（1977）、『代数幾何学』、大学院数学テキスト、第 52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90244-9MR 0463157​