オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送信する関数
数学 、より具体的には 位相幾何学 において 、 開写像とは、開 集合を開 集合 に写像する２つの 位相空間 間の 関数 である 。 [1] [2] [3]
つまり、関数は、 像 内の任意の開集合に対してが において開いている 場合、開いている。
同様に、 閉写像とは、閉集合 を 閉集合に 写像する関数である。 [3] [4]
写像は、開いている、閉じている、その両方である、またはどちらでもない場合がある。 [5] 特に、開写像は必ずしも閉じている必要はなく、その逆も同様である。 [6]
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
あなた
{\displaystyle U}
バツ 、
{\displaystyle X,}
ふ （ あなた ）
{\displaystyle f(U)}
はい 。
{\displaystyle Y.}
開写像 [7] と閉写像 [8] は必ずしも 連続で はない。 [4] さらに、一般の場合、連続性は開写像や閉写像とは独立しており、連続関数は、一方の性質を持つことも、両方を持つことも、どちらも持たないこともある。 [3] この事実は、距離空間に限定した場合でも変わりない。 [9] 開
写像と閉写像の定義はより自然に思えるが、連続写像に比べると開写像と閉写像の重要性ははるかに低い。定義により、関数が 連続となるのは、 のすべての開集合の 逆像 が で開いている場合である ( のすべての閉集合の逆像が で閉じている場合と同値 ) ことを思い出す。
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
はい
{\displaystyle Y}
バツ 。
{\displaystyle X.}
はい
{\displaystyle Y}
バツ
{\displaystyle X}
オープンマップの初期の研究は、 シミオン・ストイロウ と ゴードン・トーマス・ワイバーン によって開拓されました。 [10]
定義と特徴 が位相空間の部分集合である 場合、 および （それぞれ）が その空間におけるの 閉包 （それぞれ 内部 ） を表すものとする。 は 位相空間 間の関数とする 。 が 任意の集合である場合、 は の像と呼ばれる。
S
{\displaystyle S}
S ¯
{\displaystyle {\overline {S}}}
塩素 S
{\displaystyle \operatorname {Cl} S}
中級 S
{\displaystyle \operatorname {Int} S}
S
{\displaystyle S}
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
S
{\displaystyle S}
ふ （ S ） :=
{
ふ （ s ）
:
s ∈ S ∩ ドメイン ふ
}
{\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}
S
{\displaystyle S}
ふ 。
{\displaystyle f.}
競合する定義 「開写像 」には、競合しながらも密接に関連した 2 つの異なる定義が 広く使用されており、どちらの定義も「開集合を開集合に送る写像」と要約できます。次の用語は、2 つの定義を区別するために時々使用されます。
地図 は
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
「 強く開いた写像 」が 定義域の 開いた部分集合 であるときはいつでも、 はの 余域 の開いた部分集合で ある
あなた
{\displaystyle U}
バツ
{\displaystyle X}
ふ （ あなた ）
{\displaystyle f(U)}
ふ
{\displaystyle f}
はい 。
{\displaystyle Y.}
「 相対的に開いた写像 「が領域の開集合である ときはいつでも 、 はの 像 の開集合であり 、通常通り、この集合は の共領域 によってその上に誘導される 部分空間位相
あなた
{\displaystyle U}
バツ
{\displaystyle X}
ふ （ あなた ）
{\displaystyle f(U)}
ふ
{\displaystyle f}
私は ふ := ふ （ バツ ） 、
{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}
ふ
{\displaystyle f}
はい 。
{\displaystyle Y.}
すべての強く開いたマップは相対的に開いたマップです。ただし、これらの定義は一般に同等ではありません。
警告: 多くの著者は「オープン マップ」を「 比較的 オープンなマップ」と定義しています が (たとえば、The Encyclopedia of Mathematics)、「オープン マップ」を「 強く オープンなマップ」と定義している著者もいます。一般に、これらの定義は同等では ない ため、著者が使用している「オープン マップ」の定義を常に確認することをお勧めします。 射影 写像 が相対的に開いているのは、それが強開写像である場合に限ります。したがって、この重要な特殊なケースでは、定義は同等です。より一般的には、写像が相対的に開いているのは、 射影が 強開写像である
場合に限ります。
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
ふ : バツ → ふ （ バツ ）
{\displaystyle f:X\to f(X)}
は常に強開写像の 像 の開部分集合である ため、強開写像の像はその余域 の開部分集合でなければならない 。実際、相対開写像が強開写像となるのは、その像がその余域の開部分集合である場合に限る。まとめると、
バツ
{\displaystyle X}
バツ 、
{\displaystyle X,}
ふ （ バツ ） = 私は ふ
{\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
はい 。
{\displaystyle Y.}
マップが強開となるのは、マップが相対的に開であり、その像がその共域の開部分集合である場合のみです。 この特徴付けを使用すると、「オープン マップ」の 2 つの定義のいずれかに関連する結果を、他の定義に関連する状況に適用することが簡単になることがよくあります。
上記の説明は、「オープン」という単語を「クローズド」という単語に置き換えれば、クローズド マップにも適用されます。
地図を開く 地図 は
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
地図を開く か、 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、
マップは強くオープンになります。
定義: の領域の開集合をその共域の開集合に写す。つまり、 の任意 の開集合に対して 、 は の開集合である。
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
あなた
{\displaystyle U}
バツ
{\displaystyle X}
ふ （ あなた ）
{\displaystyle f(U)}
はい 。
{\displaystyle Y.}
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f:X\to Y}
は比較的開いた写像であり、その像は その共域の開いた部分集合である
私は ふ := ふ （ バツ ）
{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}
はい 。
{\displaystyle Y.}
のあらゆる 近傍 （どんなに 小さくても） に対して、 は の近傍です 。この条件で、「近傍」という単語の最初のインスタンスまたは両方のインスタンスを「開いた近傍」に置き換えることができますが、結果は依然として同等の条件になります。
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
いいえ
{\displaystyle N}
x
{\displaystyle x}
ふ （ いいえ ）
{\displaystyle f(N)}
ふ （ x ）
{\displaystyle f(x)}
の すべての開近傍 に対して 、 は の近傍です 。
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
いいえ
{\displaystyle N}
x
{\displaystyle x}
ふ （ いいえ ）
{\displaystyle f(N)}
ふ （ x ）
{\displaystyle f(x)}
の あらゆる開近傍 に対して 、 は の開近傍です 。
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
いいえ
{\displaystyle N}
x
{\displaystyle x}
ふ （ いいえ ）
{\displaystyle f(N)}
ふ （ x ）
{\displaystyle f(x)}
ふ
（
中級
バツ
あ
）
⊆
中級
はい
（ ふ （ あ ） ）
{\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}
の すべての部分集合に対して 、 は 集合の 位相的な内部を 表します。
あ
{\displaystyle A}
バツ 、
{\displaystyle X,}
中級
{\displaystyle \operatorname {Int} }
がの 閉部分集合 である ときは いつでも、集合は の閉部分集合である。
Ｃ
{\displaystyle C}
バツ
{\displaystyle X}
{
ええ ∈ はい
:
ふ
− 1
（ ええ ） ⊆ Ｃ
}
{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}
Y
.
{\displaystyle Y.}
これはすべての部分集合に当てはまる 恒等式 の結果である。
f
(
X
∖
R
)
=
Y
∖
{
y
∈
Y
:
f
−
1
(
y
)
⊆
R
}
,
{\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}
R
⊆
X
.
{\displaystyle R\subseteq X.}
が の 根拠 である 場合 、このリストに次の内容を追加できます。
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
は、基本開集合をその共域内の開集合に写像します（つまり、任意の基本開集合に対して は の 開集合の部分集合です ）。
B
∈
B
,
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}
f
(
B
)
{\displaystyle f(B)}
Y
{\displaystyle Y}
閉じたマップ 地図 は
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
相対的に閉じた写像 が 領域の 閉部分集合 である ときはいつでも は の 像 の閉部分集合であり 、通常通り、この集合は の 余領域 によってその上に誘導される 部分空間位相
C
{\displaystyle C}
X
{\displaystyle X}
f
(
C
)
{\displaystyle f(C)}
f
{\displaystyle f}
Im
f
:=
f
(
X
)
,
{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}
f
{\displaystyle f}
Y
.
{\displaystyle Y.}
地図 は
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
閉じた地図 または 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、
強く閉じたマップになります。
定義: の閉集合をその共域の閉集合に写す。つまり、 の任意の閉集合は の閉集合である。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
C
{\displaystyle C}
X
,
{\displaystyle X,}
f
(
C
)
{\displaystyle f(C)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
は比較的閉じた写像であり、その像は その余域の閉じた部分集合である
Im
f
:=
f
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
f
(
A
)
¯
⊆
f
(
A
¯
)
{\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}
すべてのサブセットについて
A
⊆
X
.
{\displaystyle A\subseteq X.}
f
(
C
)
¯
⊆
f
(
C
)
{\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}
すべての閉集合に対して
C
⊆
X
.
{\displaystyle C\subseteq X.}
f
(
C
)
¯
=
f
(
C
)
{\displaystyle {\overline {f(C)}}=f(C)}
すべての閉集合に対して
C
⊆
X
.
{\displaystyle C\subseteq X.}
がの開集合である ときは いつでも、集合はの 開集合である。
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
{
y
∈
Y
:
f
−
1
(
y
)
⊆
U
}
{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}
Y
.
{\displaystyle Y.}
が のネット で あり 、 が における点である 場合、 は の 集合に 収束する。
x
∙
{\displaystyle x_{\bullet }}
X
{\displaystyle X}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
(
x
∙
)
→
y
{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}
Y
,
{\displaystyle Y,}
x
∙
{\displaystyle x_{\bullet }}
X
{\displaystyle X}
f
−
1
(
y
)
.
{\displaystyle f^{-1}(y).}
収束とは、の 任意の開集合が、 十分に大きいインデックスすべてに対して を含むこと を意味する。
x
∙
→
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}
X
{\displaystyle X}
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle f^{-1}(y)}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
j
.
{\displaystyle j.}
射影 写像 は、相対的に閉じている場合に限り 、強閉写像となります。したがって、この重要な特殊なケースでは、2 つの定義は同等です。定義により、写像が相対的に閉じている場合に限り、 射影写像 は強閉写像となります。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
:
X
→
Im
f
{\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}
開集合の「 連続写像 」の定義（「開集合のすべての原像は開いている」という文）で、「開いている」という単語の両方が「閉じている」に置き換えられると、結果の文（「閉集合のすべての原像は閉じている」）は連続性と 同等 になります。「開写像」の定義（「開集合のすべての像は開いている」）では、結果の文（「閉集合のすべての像は閉じている」）は「閉写像」の定義であり、一般に開性と同等では ない ため、これは起こりません。閉じていない開写像も存在し、開いていない閉写像も存在します。開写像/閉写像と連続写像のこの違いは、最終的には、一般に任意 の集合に対してのみ 保証されるのに対し、原像に対しては 常に等号が成立するという事実によるものです。
S
,
{\displaystyle S,}
f
(
X
∖
S
)
⊇
f
(
X
)
∖
f
(
S
)
{\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}
f
−
1
(
Y
∖
S
)
=
f
−
1
(
Y
)
∖
f
−
1
(
S
)
{\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}
例 によって定義される 関数は 、連続、閉、相対的に開いているが、（強く）開いているわけではない。これは、 が の定義域内の を含ま ない任意の 開 区間である 場合、 となり 、 この開区間は と の両方の開部分集合であるからである 。しかし、が を含む 内の任意 の開区間である 場合、は の共域 の開部分集合ではなく 、 の開部分集合 である 。内のすべての開区間の集合は 上の ユークリッド位相 の 基底 であるため、これは が 相対的に開いているが、（強く）開いているわけではないこと
を示す。
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
U
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle U=(a,b)}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
0
{\displaystyle 0}
f
(
U
)
=
(
min
{
a
2
,
b
2
}
,
max
{
a
2
,
b
2
}
)
,
{\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Im
f
:=
f
(
R
)
=
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}
U
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle U=(a,b)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
0
{\displaystyle 0}
f
(
U
)
=
[
0
,
max
{
a
2
,
b
2
}
)
,
{\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Im
f
=
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
が離散位相を 持つ 場合 （つまり、すべての部分集合が開いており閉じている場合）、すべての関数は 開いており閉じています（ただし、連続している必要はありません）。たとえば、 から への 床関数は開いており閉じていますが、連続していません。この例は、開いたマップまたは閉じたマップの下の 連結空間 のイメージが 連結である必要がないことを示しています。
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
位相空間の 積 があるときはいつでも、 自然な射影は 開いている [12] [13] (連続でもある)。 ファイバー束 と 被覆写像 の射影は積の局所的に自然な射影なので、これらも開いている写像である。ただし、射影は閉じている必要はない。たとえば、最初の成分への射影を考えてみる と、集合は では閉じている が では 閉じていない。
ただし、コンパクト空間の場合、 射影は 閉じている。これは本質的に チューブの補題 である。
X
=
∏
X
i
,
{\textstyle X=\prod X_{i},}
p
i
:
X
→
X
i
{\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}
p
1
:
R
2
→
R
{\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
A
=
{
(
x
,
1
/
x
)
:
x
≠
0
}
{\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}
R
2
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}
p
1
(
A
)
=
R
∖
{
0
}
{\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
Y
,
{\displaystyle Y,}
X
×
Y
→
X
{\displaystyle X\times Y\to X}
単位円 上のすべての点に対して、 正の - 軸の 角度を 、その点と原点を結ぶ光線に関連付けることができます 。単位円から半開 区間 [0,2π) へのこの関数は、全単射、開、閉ですが、連続ではありません。これは、開写像または閉写像の下の コンパクト空間 の像がコンパクトである必要がないことを示しています。また、これを単位円から実数への関数として考えると、開でも閉でもないことに注意してください。 共役領域を 指定することが重要です。
x
{\displaystyle x}
十分な条件 すべての 同相 写像は、開いており、閉じており、連続しています。実際、 全単射 連続写像は、開いている 場合のみ 同相写像であり、または、それと同等に、閉じている場合のみ同相写像です。
2 つの（強く）開いた写像の合成 は 開いた写像であり、2 つの（強く）閉じた写像の合成は閉じた写像である。 [14] [15] しかし、2 つの相対的に開いた写像の合成は相対的に開いている必要はなく、同様に、2 つの相対的に閉じた写像の合成は相対的に閉じている必要はない。 が強く開いていて（それぞれ、強く閉じている）、 が相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）場合、 は相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\to Z}
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
を写像とする。 任意の部分集合 が相対的に開いた（それぞれ、相対的に閉じた、強く開いた、強く閉じた、連続した、 射影的な ）写像である場合 、同じことが
-飽和 部分集合
への制限にも当てはまる。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
T
⊆
Y
,
{\displaystyle T\subseteq Y,}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
|
f
−
1
(
T
)
:
f
−
1
(
T
)
→
T
{\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
T
)
.
{\displaystyle f^{-1}(T).}
2つの開写像のカテゴリカル和は開写像であり、2つの閉写像のカテゴリカル和は閉写像である。 [15] 2つの開写像の
カテゴリカル 積 は開写像であるが、2つの閉写像のカテゴリカル積は必ずしも閉じている必要はない。 [14] [15]
全単射写像は、それが閉じているときのみ開写像である。全単射連続写像の逆は、全単射開/閉写像である（逆もまた同様）。全射開写像は必ずしも閉写像とは限らず、同様に、全射閉写像は必ずしも開写像とは限らない。 多様体 上のすべての 座標チャート やすべての 被覆写像 を含むすべての 局所同相写像 は開写像である。
閉写像補題の変形は、局所コンパクト ハウスドルフ空間間の連続関数 が適切であれば、その関数も閉じていることを述べています。
複素解析 において 、同じ名前の 開写像定理は、 複素平面 の 連結した 開部分集合上で定義された すべての非定数正則 関数は 開写像であることを述べています。
領域不変性 定理は、2 次元 位相多様体 間の連続かつ局所的に入射する関数は 開関数でなければならないことを述べています。
n
{\displaystyle n}
関数解析 において 、 開写像定理は、 バナッハ空間 間の すべての射影連続 線型作用素は 開写像であると述べます。この定理は、 バナッハ空間だけでなく
位相ベクトル空間にも一般化されています。
射影写像は ほぼ開写像 と呼ばれる
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
任意 の に対して 、
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
x
∈
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x\in f^{-1}(y)}
x
{\displaystyle x}
の開点 は 、定義によりの すべての開近傍に対して の近傍が の近傍であることを意味します ( 近傍 が 開 近傍 である必要はないことに注意してください ) 。 すべての全射開写像はほぼ開写像ですが、一般にその逆は必ずしも真ではありません。全射がほぼ開写像である場合 の位相 にまったく依存し ない 条件 ) を満たすときに開写像になります。
f
,
{\displaystyle f,}
U
{\displaystyle U}
x
,
{\displaystyle x,}
f
(
U
)
{\displaystyle f(U)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
U
)
{\displaystyle f(U)}
f
:
(
X
,
τ
)
→
(
Y
,
σ
)
{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
Y
{\displaystyle Y}
σ
{\displaystyle \sigma }
が の 同じ 繊維 （つまり）に属する ときは、 の 任意 の 近傍に対して の 近傍が存在し、
m
,
n
∈
X
{\displaystyle m,n\in X}
f
{\displaystyle f}
f
(
m
)
=
f
(
n
)
{\displaystyle f(m)=f(n)}
U
∈
τ
{\displaystyle U\in \tau }
m
,
{\displaystyle m,}
V
∈
τ
{\displaystyle V\in \tau }
n
{\displaystyle n}
F
(
V
)
⊆
F
(
U
)
.
{\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}
写像が連続である場合、写像が開いているためには上記の条件も必要です。つまり、が 連続射影である場合、それがほぼ開いており、上記の条件を満たす場合にのみ、それは開いている写像です。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
プロパティ
連続したオープンマップまたはクローズドマップ が連続写像であり、それが開写像 か 閉写像である場合 、次のようになります。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
が全射で あればそれは 商写像 であり、 遺伝的商写像 でもある。
f
{\displaystyle f}
すべての部分集合に対して 制約が 商写像である場合、 その射影写像は 遺伝的に商写像であると 呼ばれます。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
T
⊆
Y
,
{\displaystyle T\subseteq Y,}
f
|
f
−
1
(
T
)
:
f
−
1
(
T
)
→
T
{\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}
が注入 で ある場合、それは 位相的な埋め込み です 。
f
{\displaystyle f}
が 全単射 であれば 同相写像 である 。
f
{\displaystyle f}
最初の 2 つのケースでは、開いているか閉じているかは、 それに続く結論を導くための 十分な条件 にすぎません。3 番目のケースでは、これも
必要条件です。
連続マップを開く が連続（強）開写像である 場合 、 次のようになります。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
S
⊆
Y
,
{\displaystyle S\subseteq Y,}
f
−
1
(
Bd
Y
S
)
=
Bd
X
(
f
−
1
(
S
)
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}
ここで は 集合の 境界 を表します。
Bd
{\displaystyle \operatorname {Bd} }
f
−
1
(
S
¯
)
=
f
−
1
(
S
)
¯
{\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}
ここで、 集合の 閉包を 表します。
S
¯
{\displaystyle {\overline {S}}}
が 集合の
内部 を表す 場合、
この集合は 必然的に 正則閉集合 （ ）となる。 [注 1] 特に、 が 正則閉集合である場合、 も正則開集合 である 場合、 も 正則開集合 となる。
A
¯
=
Int
X
A
¯
,
{\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}
Int
{\displaystyle \operatorname {Int} }
Int
Y
f
(
A
)
¯
=
f
(
A
)
¯
=
f
(
Int
X
A
)
¯
=
f
(
Int
X
A
¯
)
¯
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}
f
(
A
)
¯
{\displaystyle {\overline {f(A)}}}
Y
{\displaystyle Y}
A
{\displaystyle A}
f
(
A
)
¯
.
{\displaystyle {\overline {f(A)}}.}
A
{\displaystyle A}
Y
∖
f
(
X
∖
A
)
¯
.
{\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}
連続開写像 も射影的であれば 、およびはの 正則開（正則閉） [注 1] 部分集合であり 、また、はの 正則開（正則閉）部分集合である場合に限ります。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
Int
X
f
−
1
(
S
)
=
f
−
1
(
Int
Y
S
)
{\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}
S
{\displaystyle S}
Y
{\displaystyle Y}
f
−
1
(
S
)
{\displaystyle f^{-1}(S)}
X
.
{\displaystyle X.}
ネット が に 収束 し 、連続開写像が射影的である 場合 、任意の に対して、 （何らかの 有向集合 によってインデックス付けされた） に ネットが存在し 、 において で あり の サブネット である。 さらに、インデックス集合は の積順序 を持つ と みなすことができ 、 は によって方向付けられたの任意 の 近傍基数 である [注 2]
y
∙
=
(
y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}
Y
{\displaystyle Y}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
∈
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x\in f^{-1}(y)}
x
∙
=
(
x
a
)
a
∈
A
{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
x
∙
→
x
{\displaystyle x_{\bullet }\to x}
X
{\displaystyle X}
f
(
x
∙
)
:=
(
f
(
x
a
)
)
a
∈
A
{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}
y
∙
.
{\displaystyle y_{\bullet }.}
A
{\displaystyle A}
A
:=
I
×
N
x
{\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
x
{\displaystyle x}
⊇
.
{\displaystyle \,\supseteq .\,}
参照 ほぼオープンなマップ - オープンなマップと同様の条件を満たすマップ。 閉グラフ – 積空間で閉じたマップのグラフ Pages displaying short descriptions of redirect targets 閉じた線形演算子 局所同相写像 – 各点の近くで可逆な数学関数 準開写像 – 空でない開集合を、その共域に空でない内部を持つ集合に写像する関数 商写像（位相） - 位相空間の構築 Pages displaying short descriptions of redirect targets 完全写像 – 連続した閉じた射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である 適切な写像 – すべてのコンパクトな原像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像 配列カバーマップ
注記
^ ab 部分集合 は
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
正則閉集合 または、 と同値で、 の場合、 となる。 ここ で、 は における 位相境界 （ の 内部 、 閉包 ） を表す。 この集合は と呼ばれる。
Int
S
¯
=
S
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}
Bd
(
Int
S
)
=
Bd
S
,
{\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}
Bd
S
{\displaystyle \operatorname {Bd} S}
Int
S
,
{\displaystyle \operatorname {Int} S,}
S
¯
{\displaystyle {\overline {S}}}
S
{\displaystyle S}
X
.
{\displaystyle X.}
S
{\displaystyle S}
の閉部分集合 の内部（ に含まれる ） は 常に の正規開部分集合である の開部分集合の 閉包（ に含まれる ） は常に の正規閉部分集合である
Int
(
S
¯
)
=
S
{\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}
Bd
(
S
¯
)
=
Bd
S
.
{\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
^ 明示的には、任意の に対して となるような任意の を選び 、 を任意とします。この割り当てにより、 が の 共終部分集合と なる ような 順序射 が定義され 、したがって は の ウィラードサブネット となります。
a
:=
(
i
,
U
)
∈
A
:=
I
×
N
x
,
{\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}
h
a
∈
I
{\displaystyle h_{a}\in I}
i
≤
h
a
and
y
h
a
∈
f
(
U
)
{\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}
x
a
∈
U
∩
f
−
1
(
y
h
a
)
{\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}
a
↦
h
a
{\displaystyle a\mapsto h_{a}}
h
:
A
→
I
{\displaystyle h:A\to I}
h
(
A
)
{\displaystyle h(A)}
I
;
{\displaystyle I;}
f
(
x
∙
)
{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}
y
∙
.
{\displaystyle y_{\bullet }.}
引用
^ マンクレス、ジェームズ R. ( 2000)。 トポロジー (第 2 版)。 プレンティス ホール 。ISBN 0-13-181629-2 。 ^ ab メンデルソン、バート (1990) [1975]。 トポロジー入門 （第3版）。ドーバー。p. 89。ISBN 0-486-66352-3 定理 5.3 では、関数が 連続であるためには、各開集合の 逆 像が開集合である場合に限られると述べられていることを覚えておくことが重要です。 この連続性の特徴付けは、関数が持つ場合と持たない場合がある別の特性、つまり各開集合の像が開集合であるという特性 (このような関数は 開写像 と呼ばれます) と混同しないでください。
f
{\displaystyle f}
^ abc Lee, John M. (2003). 滑らかな多様体入門 . 数学の大学院テキスト. 第218巻. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486 写像 （連続または非連続）は 、任意の閉部分集合に対して が開いている場合 、 開写像 と呼ばれ、任意の閉部分集合に対して が閉じている場合、 閉写像 と呼ばれます。 連続写像は、平面の部分集合を含む簡単な例を調べるとわかるように、開いている場合、閉じている場合、その両方である場合、またはどちらでもない場合があります。
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
U
⊆
X
,
{\displaystyle U\subseteq X,}
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
Y
,
{\displaystyle Y,}
K
⊆
U
,
{\displaystyle K\subseteq U,}
F
(
K
)
{\displaystyle F(K)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
^ ab Ludu, Andrei (2012年1月15日). 輪郭と閉曲面上の非線形波とソリトン . Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940 開写像は 、 開 集合を開集合に写す 2 つの位相空間間の関数です。同様に、 閉写像は 閉集合を閉集合に写す関数です。開写像または閉写像は必ずしも連続しているわけではありません。 ^ Sohrab, Houshang H. (2003). 基礎実解析. Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112 これで、関数が閉じていなくても開いている場合や、開いていなくても閉じている場合があることを示す例の準備ができました。また、関数は開いていると同時に閉じている場合や、開いても閉じてもいない場合もあります 。 (引用した文は距離空間の文脈で述べられていますが、位相空間は距離空間の一般化として生じるため、この文はそこでも当てはまります。) ^ Naber, Gregory L. (2012). ユークリッド空間における位相的手法 。Dover Books on Mathematics（復刻版）。Courier Corporation。p. 18。ISBN 9780486153445 演習 1-19。 射影写像 π 1 : X 1 × ··· × X k → X i は開写像ですが、必ずしも閉写像である必要はないことを示します。ヒント: R 2 のへの射影 は閉じていません。同様に、任意の定数写像は閉じているため、閉写像は必ずしも開いている必要はありません。ただし、1 対 1 かつ全写像の場合、「開いている」と「閉じている」の概念は同等です。
π
i
:
X
i
×
⋯
×
X
k
→
X
i
{\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
^ メンデルソン、バート (1990) [1975]. トポロジー入門 (第3版). ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3 関数が、 集合 の各開集合に対して の開集合であり ながら 連続で は ない という性質を持つ 状況は数多くあります。
f
:
(
X
,
τ
)
→
(
Y
,
τ
′
)
{\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
Y
,
{\displaystyle Y,}
f
{\displaystyle f}
^ ブース、ヨハン（2000）。要約可能性における古典的および現代的な方法。オックスフォード大学出版局。p. 332。ISBN 0-19-850165-X ここで、 最後のステートメントが一般に真であるかどうか、つまり、閉じたマップが連続であるかどうかという疑問が生じます。次の例が証明するように、これは一般には当てはまりません。 ^ Kubrusly, Carlos S. (2011). 演算子理論の要素 . Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982 一般に、距離空間 から距離空間への 写像は、 「連続」、「開」、「閉」の属性の任意の組み合わせを持つことができます（つまり、これらは独立した概念です） 。
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
^ ハート、KP;永田、J.ヴォーン、JE、編。 (2004)。 一般トポロジの百科事典 。エルゼビア。 p. 86.ISBN 0-444-50355-2 開いた（内部）地図の研究はS.ストイロウ の論文[13,14]から始まったようです 。 明らかに、地図の開放性は GTホワイバーン [19,20]によって最初に広範囲に研究されました。 ^ ウィラード、スティーブン（1970）。 一般位相幾何学 。アディソン・ウェズレー 。ISBN 0486131785 。 ^ Lee, John M. (2012). 滑らかな多様体入門. 数学の大学院テキスト. 第218巻（第2版）. p. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5 演習 A.32. が 位相空間である とします。各射影が 開写像であることを示してください。
X
1
,
…
,
X
k
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}
π
i
:
X
1
×
⋯
×
X
k
→
X
i
{\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}
^ ab バウエス、ハンス＝ヨアヒム;キンテロ、アントニオ (2001)。 無限ホモトピー理論 。 K - 数学のモノグラフ。 Vol. 6.p. 53.ISBN 9780792369820 開いたマップ の合成は開いており、閉じたマップの合成は閉じています。また、開いたマップの積は開いています。対照的に、閉じたマップの積は必ずしも閉じているわけではありません。 ^ abc James, IM (1984). 一般位相幾何学とホモトピー理論 . Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836 . ...開いた写像の合成は開いており、閉じた写像の合成は閉じていることを思い出してください。また、開いた写像の和は開いており、閉じた写像の和は閉じています。ただし、開いた写像の積は開いていますが、閉じた写像の積は必ずしも閉じているわけではありません。
参考文献 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. 
