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数学 では、要素が1つの体とは、もしそのような体が存在するならば、要素が1つの有限体と同様の振る舞いをするはずのオブジェクトを表す示唆的な名前です。このオブジェクトはF 1と表記され、フランス語と英語の語呂合わせではF unとも表記されます。[ 1 ]「要素が1つの体」という名前と表記F 1は示唆的なものにすぎません。なぜなら、古典的な抽象代数には要素が1つの体は存在しないからです。代わりに、F 1 は、抽象代数の伝統的な構成要素である集合と演算を、より柔軟な他のオブジェクトに置き換える方法があるべきだという考えを表しています。F 1の多くの理論が提案されていますが、それらのどれが、あるいはどれかがF 1に望ましいすべての性質を与えるかどうかは明らかではありません。これらの理論にはまだ要素が1つの体は存在しませんが、特性が1である体のようなオブジェクトは存在します。
F 1の理論の多くは、抽象代数学を完全に置き換えるものです。ベクトル空間や多項式環といった数学的対象は、その抽象的な性質を模倣することで、これらの新しい理論に引き継ぐことができます。これにより、可換代数学と代数幾何学を新たな基礎の上に発展させることが可能になります。F 1の理論の決定的な特徴の一つは、これらの新しい基礎が、古典的な抽象代数学よりも多くの対象を許容し、そのうちの一つが標数 1 の体のように振る舞うことです。
F 1の数学を研究する可能性は、射影幾何学における対称性と単体複体の組み合わせ論との類似性に基づいて、 1956 年にジャック・ティッツによって初めて提案され、 1957 年にティッツによって発表された。F 1は非可換幾何学やリーマン予想の証明の可能性と関連付けられている。
1957年、ジャック・ティッツは代数群と抽象単体複体を関連付ける「建物の理論」を導入した。その前提の一つは非自明条件である。建物がn次元抽象単体複体であり、k < nならば、建物のすべてのk単体は少なくとも3つのn単体に含まれなければならない。これは、古典的な射影幾何学において直線が少なくとも3つの点を含まなければならないという条件に類似している。しかし、直線が2点しか含まないという点を除いて、射影幾何学のすべての条件を満たす退化幾何学が存在する。建物の理論における類似の対象はアパートと呼ばれる。アパートは建物の理論において非常に重要な役割を担っているため、ティッツは退化幾何学が古典的な幾何学と同等の地位を持つ射影幾何学の理論の存在を推測した。この幾何学は、特性1の体上で展開されるだろうと彼は述べた。[ 2 ]この類推を用いることで、 F 1の基本的な性質のいくつかを説明することはできたが、それを構築することはできなかった。
ティッツの最初の観察の後、1990 年代初頭までほとんど進展が見られなかった。1980 年代後半、アレクサンダー・スミルノフは一連の講演を行い、整数を 1 つの要素を持つ体上の曲線とみなすことでリーマン予想を証明できると推測した。1991 年までに、スミルノフは F 1 上の代数幾何学に向けていくつかのステップを踏み、F 1 の拡張を導入し、それらを使用して F 1 上の射影直線 P 1 を扱った。[ 3 ]代数的数はこのP 1への写像として扱われ、これらの写像に対するリーマン・フルヴィッツの公式の推測的な近似が提案された。これらの近似は、 abc 予想のような重要な問題の解を意味する。F 1の拡張は後にq = 1 nのF qと表記された。スミルノフはミハイル・カプラノフと共に、素標数における代数的および数論的構成が「標数１」においてどのように見えるかを探求し、1995年に未発表の著作として発表した。 [ 4 ] 1993年、ユーリ・マニンはゼータ関数に関する一連の講義を行い、F 1上の代数幾何学の理論を開発することを提案した。[ 5 ]彼は、 F 1上の多様体のゼータ関数は非常に単純な記述を持つだろうと示唆し、 F 1のK理論と球面のホモトピー群との間の関係を提案した。これにより、何人かの人がF 1幾何学の明示的な理論を構築しようと試みた。
F 1上の多様体の最初の発表された定義は、1999 年にChristophe Souléによって発表され、 [ 6 ]複素数上の代数と特定の環の圏からの関手を使用して構築されました。[ 6 ] 2000 年に Zhu は、1 と 1 の和がゼロではなく 1 である点を除いてF 1 はF 2と同じであると提案しました。 [ 7 ] Deitmar は、環の加法構造を忘れて乗法に注目することでF 1を見つけるべきだと提案しました。 [ 8 ] Toën と Vaquié は、Hakim の相対スキームの理論に基づいて、対称モノイド圏を使用してF 1を定義しました。[ 9 ]彼らの構成は、後に Vezzani によって Deitmar の構成と同等であることが示されました。[ 10 ] Nikolai Durov は、 F 1 を可換代数モナドとして構築しました。[ 11 ] Borger は、降下法を使用して有限体と整数からそれを構築しました。[ 12 ]
アラン・コンヌとカテリーナ・コンサニは、乗法モノイドの圏と環の圏を「接着」して新しい圏を作り出すことで、スーレとデイトマールの概念を発展させた。次に、F 1 -スキームを特定の種類の表現可能なファンクターとして定義する[ 13 ]これを利用して、彼らはF1モチーフや体拡張などのいくつかの数論的構成の概念を提供しF12上にシュヴァレー群をマティルデ・マルコリとともにF1非可換幾と関連付けた。 [ 14 ]また、計算複雑性理論のユニークゲーム予想との関連性も示唆されている。 [ 15 ]
オリバー・ロルシャイトは、他の研究者らとともに、半環とモノイドの両方を同時に一般化した「ブループリント」と呼ばれるオブジェクトを導入することで、F 1上のシュヴァレー群を記述するというティッツの当初の目的を最近達成した。 [ 16 ] [ 17 ]これらは、いわゆる「ブルースキーム」を定義するために使用され、そのうちの1つが Spec F 1である。[ 18 ]ロルシャイトの考え方は、 F 1上の群に関する他の考え方とはやや異なり、F 1スキーム自体は、その基本拡張である通常のスキームのワイル群ではない。ロルシャイトはまず、ブルースキームの圏の完全な部分圏であるティッツ圏を定義し、ティッツ圏からSetへの関手である「ワイル拡張」を定義する。代数群のティッツ-ワイルモデルは、Tits カテゴリーの射である群演算を持つ青色のスキームGであり、その基底拡張はそしてそのワイル拡張は、
F 1 -幾何学は、半環 (特に、トロピカル半環) が、モノイドAの要素の有限形式和のモノイド半環N [ A ] の商として生じるという事実を介して、トロピカル幾何学と結び付けられています。モノイドA自体がF 1 -代数です。このつながりは、ロルシャイトによる設計図の使用によって明確化されています。[ 19 ]ジャンシラクーザ兄弟はトロピカル スキーム理論を構築しており、そのトロピカル スキームの圏は、トエン-ヴァキエF 1 -スキームの圏と同等です。[ 20 ]この圏は、ブルー スキームの圏に忠実に、しかし完全には埋め込まれず、ドゥロフ スキームの圏の完全な部分圏です。
F 1の動機の一つは代数的整数論に由来する。アンドレ・ヴェイユによる有限体上の曲線に関するリーマン予想の証明は、有限体k上の曲線Cから始まる。この曲線 C には、 kの体拡大である関数体Fが備わっている。このような関数体それぞれからハッセ・ヴェイユのゼータ関数ζ Fが得られ、有限体に関するリーマン予想によってζ Fの零点が決定される。ヴェイユの証明では、 Cの様々な幾何学的性質を用いてζ Fを研究する。
有理数体Qはリーマン ゼータ関数と同様の方法で関連付けられていますが、Qは多様体の関数体ではありません。代わりに、QはスキームSpec Zの関数体です。これは一次元スキーム（代数曲線とも呼ばれます）であるため、この曲線が乗っている何らかの「基底体」が存在し、Q はその基底体の拡大体となります（ Cがk上の曲線であり、Fがkの拡大体であるのと同様です）。F 1 -幾何学の期待は、適切な対象F 1 がこの基底体の役割を果たし、ワイルの証明をkの代わりにF 1を用いて模倣することでリーマン予想の証明が可能になることです。
1つの要素を持つ体上の幾何学は、複素幾何学の手法を用いてディオファントス方程式を研究するアラケロフ幾何学にも影響を受けている。この理論では、有限体と複素数との複雑な比較が行われる。ここで、F 1の存在は技術的な理由から有用である。
F 1 は体にはなり得ません。なぜなら、定義上、すべての体は加法単位元0 と乗法単位元 1 という 2 つの異なる要素を含まなければならないからです。この制約を取り除いたとしても (例えば、加法単位元と乗法単位元を同じ要素とした場合)、要素が 1 個の環は零環でなければならず、これは有限体のような振る舞いをしません。例えば、零環上のすべての加群は同型です (そのような加群の唯一の要素は零元であるため)。しかし、F 1の重要な動機の 1 つは、集合を「 F 1 -ベクトル空間」として記述することです。もし有限集合が零環上の加群であれば、すべての有限集合は同じサイズになりますが、実際はそうではありません。さらに、自明な環のスペクトルは空ですが、体のスペクトルは 1 つの点を持ちます。
集合上の様々な構造は射影空間上の構造と類似しており、同じ方法で計算できる。
有限体F q上の( n − 1)次元射影空間P ( F n q ) = P n −1 ( F q )の要素数はqの整数である[ 24 ]q = 1 とすると[ n ] q = nとなります。
q-整数をqのべき乗の和に展開することは、射影空間のシューベルトセル分解に対応する。
n個の要素を持つ集合にはn !個の順列があり、F n qには[ n ]! q個の最大フラグが存在する。はq階乗 です。実際、フラグがフィルタリングされたベクトル空間であるように、集合の順列はフィルタリングされた集合とみなすことができます。たとえば、集合{0, 1 , 2} の順序 (0, 1, 2)は、フィルタリング{0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2}に対応します。
二項係数n個の要素からなる集合のm個の要素からなる部分集合 の数とq個の二項係数を示します。F q上のn次元ベクトル空間のm次元部分空間 の数を示します。
デイトマーによるモノイドスキームの構成[ 25 ]は、 「 F1-幾何学のまさに核心」[ 16 ]と呼ばれており、他のほとんどのF1-幾何学理論にはモノイドスキームの記述が含まれています。これは、 1950年代と1960年代に開発されたスキーム理論を模倣し、可換環をモノイドに置き換えるものです。この結果、環の加法構造は「忘れられ」、乗法構造だけが残ります。このため、これは「非加法幾何学」と呼ばれることもあります。
乗法モノイドとは、モノイドAの単位元 1 とは異なる吸収元0を含むモノイド A であり、モノイドAのすべてのaに対して0 a = 0が成り立つ。1 つの要素を持つ体は、乗法モノイドの圏の始元である、2 つの要素を持つ体の乗法モノイドであるF 1 = {0, 1}と定義される。モノイドAのモノイド イデアルとは、乗法的に閉じており、0 を含み、IA = { ra : r ∈ I , a ∈ A } = Iとなる部分集合Iである。このようなイデアルは、A ∖ Iが乗法的に閉じており、1 を含む場合に素である。
モノイドAとBに対して、モノイド準同型とは、次の条件を満たす関数f : A → Bである。
モノイドAのスペクトル(Spec Aと表記)は、 Aの素イデアルの集合である。モノイドのスペクトルは、基本開集合を定義することによって、ザリスキー位相を与えることができる。Aの 各hについて。モノイド空間は、構造層と呼ばれる乗法モノイドの層を伴う位相空間です。アフィンモノイドスキームは、モノイドのスペクトルと同型なモノイド空間であり、モノイドスキームは、アフィンモノイドスキームによる開被覆を持つモノイドの層です。
モノイドスキームは、モノイドAをZ加群(すなわち環) Z [ A ] / ⟨ 0 A ⟩に写す基底拡張ファンクター– ⊗ F 1 Zによって環論的スキームに変換でき、モノイド準同型 f : A → Bは、Z加群準同型として線形である環準同型f Z : A ⊗ F 1 Z → B ⊗ F 1 Zに拡張されます。アフィンモノイドスキームの基底拡張は、次の式で定義されます。 これはひいては、一般的なモノイドスキームの基底拡張を定義する。
この構成により、 F 1 -幾何学の望ましい特性の多くが実現されます。Spec F 1は単一の点から構成されるため、従来の幾何学における体のスペクトルと同様の振る舞いをし、アフィンモノイドスキームの圏は乗法モノイドの圏と双対であり、アフィンスキームと可換環の双対性を反映しています。さらに、この理論は、前の節で述べたF 1に期待される組み合わせ論的特性を満たします。例えば、モノイドスキームとしての次元nのF 1上の射影空間は、建物として記述した場合、次元nのF q上の射影空間のアパートと同一です。
しかし、モノイド スキームはF 1 -幾何学の理論に期待されるすべての性質を満たすわけではありません。モノイド スキームの類似物を持つ多様体はトーリック多様体のみです。[ 26 ]より正確には、X が有限型の平坦で分離した連結スキームであるモノイド スキームである場合、 Xの基底拡張はトーリック多様体です。Connes –Consani のモデル[ 27 ]など、F 1 -幾何学の他の概念は、このモデルに基づいてトーリックではないF 1 -多様体を記述します。
1 つの要素を持つ体の体拡張を、単位根の群、あるいはより細かく (幾何学的構造で)単位根の群スキームとして定義することができる。これは、位数nの巡回群と非自然的に同型であり、同型性は原始単位根の選択に依存する: [ 28 ]したがって、 F 1 n上の次元d のベクトル空間は、基点とともに、単位根が自由に作用する次数dnの有限集合である。
この観点からすると、有限体F qは、任意の nがq − 1の因数である場合(例えばn = q − 1またはn = 1)に対して、次元d = ( q − 1)/ nのF 1 n上の代数です。これは、有限体F qの単元群( q − 1 個の非零元) が位数q − 1の巡回群であり、位数q − 1を割り切る任意の巡回群が(べき乗によって) 自由に作用し、体の零元が基点であるという事実に対応します。
同様に、実数RはF 1 2上の無限次元の代数であり、実数は ±1 を含みますが、他の 1 の根は含みません。また、複素数Cは、すべてのnに対してF 1 n上の無限次元の代数であり、複素数はすべての 1 の根を持ちます。
この観点からすると、1の根を持つ場にのみ依存する現象はすべてF 1から来ていると考えることができる。例えば、離散フーリエ変換（複素数値）や、それに関連する数論的変換（Z / n Z値）などである。
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcdfe528656c87f2d7d63204785224d9f58564c4)
![{\displaystyle [n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209cbe888bf20752e96efc9ece66eb14476049cb)
![{\displaystyle {\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[nm]!_{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f96c322ba3dbbe55d7444e314d248df29e8461f)
