完全な交差リング

可換代数において、完全交差環は、完全交差である多様体の座標環に似た可換環である。非公式には、それらは大まかに言えば、「可能な限り最小の」数の関係を使用して定義できる 局所環と考えることができる。

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

局所完全交差環は、正規局所環を正規列によって生成されるイデアルで割ったものが完備化となるノイザン 局所環である。完備化を取ることは、すべての局所環が正規局所環の商であるとは限らないという事実によって生じる、技術的な小さな複雑さである。代数幾何学に現れるほとんどの局所環をカバーする、正規局所環の商である環については、定義で完備化を取る必要はない。

環を正則な局所環に埋め込むことに依存しない別の本質的な定義がある。R が最大イデアルmを持つネーター局所環である場合、 m / m ²の次元はRの埋め込み次元emb dim ( R )と呼ばれる。 m / m ²の生成元の極小システムに関するKoszul 複体のホモロジーとして次数付き代数H ( R ) を定義する。同型性を除き、これはRにのみ依存し、 mの生成元の選択には依存しない。 H ₁ ( R )の次元はε ₁で表され、 Rの第 1 偏差と呼ばれる。これはRが正則である場合にのみゼロになる。ネーター局所環は、その埋め込み次元が次元と第 1 偏差の和である場合に 完全交差環と呼ばれる。

emb dim( R ) = dim( R ) + ε ₁ ( R )。

次のように、定義として使用できる局所完全交差環の再帰的特徴付けもあります。R が完全ノイザン局所環であるとします。Rの次元が 0 より大きく、x が最大イデアルの零因子でない元である場合、 R が完全交差環となるのは、 R /( x ) が完全交差環である場合のみです。(最大イデアルがすべて零因子で構成されている場合、Rは完全交差環ではありません。) R の次元が 0 である場合、Wiebe (1969) は、最大イデアルのフィッティング イデアルがゼロでない 場合のみ、R が完全交差環であることを示しました。

正則な局所環は完全な交差環ですが、その逆は成り立ちません。つまり、環は正則ではない 0 次元の完全な交差環です。 ${\displaystyle k[x]/(x^{2})}$

完全交差環ではない局所完全交差環の例は で、ベクトル空間として に同型なので長さは 3 である。^[1]${\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}}$

完全交差局所環はゴレンシュタイン環であるが、その逆は成り立たない。環は0次元ゴレンシュタイン環であるが、完全交差環ではない。 -ベクトル空間として、この環は ${\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}}$、ここで、および${\displaystyle R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z}$${\displaystyle R_{2}=k\cdot z^{2}}$

これは、最上位の次数が次元であり、ポアンカレ性質を満たすので、ゴレンスタイン環であることを示しています。イデアルは -正則ではないので、局所完全交差環ではありません。たとえば、は におけるの零因子です。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R/(x^{2},y^{2})}$