ネーター位相空間

数学において、エミー・ネーターにちなんで名付けられたネーター位相空間は、閉集合が下降連鎖条件を満たす位相空間です。同様に、開集合は閉集合の補集合であるため、上昇連鎖条件を満たすと言えます。位相空間のネーター特性は、強いコンパクト性条件、つまりそのような空間のすべての開集合がコンパクトであることと見なすこともできます。実際、これはすべての部分集合がコンパクトであるという一見より強い主張と同等です。

位相空間は、閉集合に対する下降連鎖条件を満たす場合、ネーター空間と呼ばれます。つまり、任意の列に対して${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots }$

の閉部分集合のうち 、${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots .}$

• 位相空間がネーター空間であるための必要十分条件は、のすべての部分空間がコンパクト（すなわち遺伝的にコンパクト）であること、および のすべての開部分集合がコンパクトであることである。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ネーター空間のすべての部分空間はネーターです。
• ネーター空間の連続像はネーター的である。^[2]
• 位相空間のネーター部分空間の有限和はネーターである。^[3]
• あらゆるハウスドルフ・ネーター空間は離散位相を持つ有限空間です。

証明: X のすべての部分集合はハウスドルフ空間内でコンパクトであるため、閉じています。したがって、X は離散位相を持ち、コンパクトであるため、有限である必要があります。

• あらゆるノイマン空間Xには有限個の既約成分が存在する。^[4] 既約成分が であれば、 となり、どの成分も他の成分の和集合に含まれない。${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$${\displaystyle X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$${\displaystyle X_{i}}$

ネーター位相空間の例の多くは代数幾何学に由来しており、ザリスキ位相では既約集合は任意の閉じた真部分集合の次元がより小さいという直感的な性質を持つ。次元は有限回しか「下へジャンプ」できず、代数集合は既約集合の有限和集合で構成されるため、ザリスキ閉集合の下降連鎖は最終的には定数になる必要がある。

これをもっと代数的に見ると、代数集合を定義する関連するイデアルは、昇順連鎖条件を満たさなければならない。これは、代数幾何学の環が古典的な意味ではネーター環であるためである。したがって、この例のクラスは名前の説明にもなる。

R が可換なネーター環である場合、 Rの素スペクトルSpec( R ) はネーター位相空間です。より一般的には、ネータースキームはネーター位相空間です。逆は成り立ちません。なぜなら、素イデアルを 1 つだけ持つ非ネーター環が存在するため、 Spec( R ) はちょうど 1 つの点から構成され、したがってネーター空間となるからです。

ザリスキ位相の下にある空間 （体上のアフィン-空間）は、ネーター位相空間の一例である。の部分集合の イデアルの性質により、 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

はザリスキ閉集合の降順連鎖であるので、

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

は、イデアルの上昇連鎖である 。は ネーター環な ので、${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .}$

はすべてのYに対してYの閉包なので、すべてのYに対してである 。したがって ${\displaystyle V(I(Y))}$${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$${\displaystyle i.}$

${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$必要に応じて。

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Noetherian 位相空間の資料が組み込まれています。