倉西構造

数学、特に位相幾何学において、倉西構造はスキーム構造の滑らかな類似物である。位相空間に倉西構造が備わっている場合、局所的には滑らかな写像の零点集合、またはそのような零点集合の有限群による商と同一視できる。倉西構造は、日本の数学者深谷健二と小野薫がシンプレクティック幾何学におけるグロモフ・ウィッテン不変量とフレアーホモロジーの研究で導入し、倉西正武にちなんで名付けられた。^[1]${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}}$

をコンパクトな距離化可能な位相空間とする。を点とする。（次元）の倉西近傍は5組である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$

どこ

• ${\displaystyle U_{p}}$滑らかなオルビフォールドです。
• ${\displaystyle E_{p}\to U_{p}}$滑らかなオービフォールドベクトル束である。
• ${\displaystyle S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}}$滑らかなセクションです。
• ${\displaystyle F_{p}}$は のオープンな近隣です。${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}$は同相写像である。

彼らはそれを満たす必要があります。 ${\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}$

と がそれぞれ倉西近傍である場合、から への座標変更は三重 ${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$${\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}$${\displaystyle K_{q}}$${\displaystyle K_{p}}$

${\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),}$

どこ

• ${\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}$開いたサブオービフォールドです。
• ${\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}$オービフォールド埋め込みです。
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}$は、 をカバーするオービフォールドベクトルバンドル埋め込みです。${\displaystyle \phi _{pq}}$

さらに、これらのデータは次の互換性条件を満たしている必要があります。

• ${\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}$。

次元の倉西構造はコレクションである ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}$

どこ

• ${\displaystyle K_{p}}$は、次元の倉西地区です。${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle T_{pq}}$は からへの座標変更です。${\displaystyle K_{q}}$${\displaystyle K_{p}}$

さらに、座標変換は共循環条件を満たす必要がある。つまり、のときはいつでも、 ${\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}$

${\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}$

両側が定義されている領域全体にわたって。

グロモフ・ウィッテン理論では、擬正則曲線のモジュライ空間上の積分を定義する必要がある。^[2]このモジュライ空間は、種数とマークされた点を持つ節点リーマン面からシンプレクティック多様体への写像の集合であり、各成分はコーシー・リーマン方程式を満たす。${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}$。

モジュライ空間が滑らかでコンパクトな有向多様体またはオービフォールドである場合、積分（または基本クラス）を定義できます。シンプレクティック多様体が半正 であるとき、概複素構造が一般に摂動されるのであれば、これは確かに当てはまります（モジュライ空間の余次元 2 境界を除く） 。しかし、が半正 でない場合（たとえば、負の第 1 チャーン類を持つ滑らかな射影多様体）、モジュライ空間には、 の第 1チャーン類との交差が負である正則球面の多重被覆が 1 つの成分である構成が含まれることがあります。このような構成ではモジュライ空間が非常に特異になるため、通常の方法では基本クラスを定義できません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u\colon S^{2}\to X}$${\displaystyle X}$

倉西構造の概念は、モジュライ空間を横方向に切り取ったときに基本サイクルと同じ役割を果たす仮想基本サイクルを定義する方法であった。これは、グロモフ-ウィッテン不変量とフレアーホモロジーを定義する際に深谷と小野によって最初に使用され、深谷、呉勇根、太田宏、小野がラグランジアン交差フレアー理論を研究する際にさらに発展した。^[3]

• 深谷 健二; テヘラニ モハマド F. (2019)。「倉西構造によるグロモフ-ウィッテン理論」。ジョン W. モーガン(編)。シンプレクティック トポロジーの仮想基本サイクル。数学サーベイおよびモノグラフ。第237巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。pp. 111–252。arXiv : 1701.07821。ISBN 978-1-4704-5014-4MR  2045629 。