ボレル亜群

代数群の理論において、代数群Gのボレル部分群とは、極大ザリスキ閉連結可解代数部分群のことである。例えば、一般線形群GL _n ( n x n可逆行列) において、可逆上三角行列の部分群はボレル部分群である。

代数的に閉じた体上で実現される群の場合、ボレル部分群の共役類は1つだけ存在する。

ボレル部分群は、ジャック・ティッツの（B、N）ペアを持つ群の理論において、単純（より一般的には簡約）代数群の構造を理解するための2つの重要な要素の1つです。ここで、群Bはボレル部分群であり、NはBに含まれる最大トーラスの正規化群です。

この概念は、代数群論の発展において主導的な役割を果たしたアルマン・ボレルによって提唱された。

ボレル部分群Bと周囲の群Gの間の部分群は放物型部分群と呼ばれます。放物型部分群Pは、代数的部分群の中でも、 G / P が完全多様体であるという条件によって特徴づけられます。代数的に閉じた体上で考えると、ボレル部分群はこの意味で最小の放物型部分群であることがわかります。したがって、同次空間G/Bが「可能な限り大きい」完全多様体である場合、 Bはボレル部分群となります。

単純代数群Gの場合、放物型部分群の共役類の集合は、対応するDynkin 図のノードのすべての部分集合の集合と一対一で対応します。Borel 部分群は空集合に対応し、G自体はすべてのノードの集合に対応します。（一般に、Dynkin 図の各ノードは単純負根を決定し、したがってGの 1 次元「根群」を決定します。したがって、ノードの部分集合は、Bと対応する負根群によって生成される放物型部分群を生成します。さらに、任意の放物型部分群は、そのような放物型部分群と共役です。）Gの Weyl 群の対応する部分群も放物型部分群と呼ばれます。反射群の放物型部分群を参照してください。

させて${\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}$ボレル部分群${\displaystyle B}$の${\displaystyle G}$上三角行列の集合

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

そして、最大固有放物型部分群は${\displaystyle G}$含む${\displaystyle B}$は

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

また、最大トーラスは${\displaystyle B}$は

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

これは代数トーラスと同型である${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$[ ^{1 ]​}

リー代数の特殊な場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$カルタン部分代数を持つ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$順序が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ボレル部分代数は、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$そして、​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$正の重みを持つ。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ボレル部分代数を含むものは放物型リー代数と呼ばれる。

• 双曲群
• カルタン・サブグループ
• ミラボリックサブグループ

• A. ボレル (2001).リー群と代数群の歴史に関するエッセイ. プロビデンス、ロードアイランド州: AMS. ISBN 0-8218-0288-7。
• J. ハンフリーズ (1972).線形代数群. ニューヨーク: スプリンガー. ISBN 0-387-90108-6。
• Milne, JS (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483MR 3729270​ 
• Gary Seitz (1991). "代数群". B. Hartley 他編 『有限群と局所有限群』pp. 45–70 . 

特定の

• Popov, VL (2001) [1994]、「放物線部分群」、数学百科事典、EMS Press
• プラトノフ、VP（2001）[1994]、「ボレル部分群」、数学百科事典、EMS Press