分割リー代数

数学のリー理論の分野では、分割リー代数とは、がリー代数で が分割カルタン部分代数であるペアであり、ここで「分割」とは、すべての に対して、が三角形化可能であることを意味します。リー代数が分割を許容する場合、それは分割可能リー代数と呼ばれます。^[1]簡約リー代数の場合、カルタン部分代数は中心を含む必要があることに注意してください。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$

複素数などの代数的に閉じた体上では、すべての半単純リー代数は分割可能であり（実際、カルタン部分代数は三角化可能な行列によって作用するだけでなく、さらに強いことに、対角化可能な行列によって作用する）、すべての分割は共役である。したがって、分割リー代数は、代数的に閉じていない体にとって最も興味深いものである。

分割リー代数は、複素リー代数の分割実形式を形式化する点と、任意の体上の分割半単純リー代数（より一般的には分割簡約リー代数）が代数的に閉じた体上の半単純リー代数と多くの特性を共有する点（たとえば、分割カルタン部分代数は代数的に閉じた体上のカルタン部分代数と同じ役割を果たすなど）の両方で興味深いものです。これは、たとえば（Bourbaki 2005）で採用されているアプローチです。

• 代数的に閉じた体上では、すべてのカルタン部分代数は共役です。非代数的に閉じた体上では、一般にすべてのカルタン部分代数が共役であるわけではありません。ただし、分割可能な半単純リー代数では、すべての分割カルタン代数は共役です。
• 代数的に閉じた体上では、すべての半単純リー代数は分割可能である。
• 非代数的に閉じた体上には、分割不可能な半単純リー代数が存在する。^[2]
• 分割可能なリー代数には、分割されないカルタン部分代数が存在する可能性がある。 ^[3]
• 分割可能なリー代数の直和と分割可能なリー代数内のイデアルは分割可能である。

実リー代数の場合、分割可能とは次のいずれかの条件と同値である: ^[4]

• 実ランクは複素ランクに等しくなります。
• 佐竹図には黒い頂点も矢印もありません。

すべての複素半単純リー代数は、（同型性を除いて）唯一の分割実リー代数を持ち、これも半単純であり、複素リー代数が単純である場合にのみ単純である。^[5]

実半単純リー代数の場合、分割リー代数はコンパクト リー代数の逆であり、対応するリー群はコンパクトから「可能な限り」離れています。

複素半単純リー代数の分割実数形は以下の通りである: ^[6]

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• 例外的なリー代数:分割実数形式E I、E V、E VIII、F I、Gを持ちます。${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

これらは、複素リー群の分割実群のリー代数です。

およびについては、実数形式は同じ代数群（のリー代数）の実数点であるのに対し、 については群 SO がコンパクトであるため、（最大不定指数の）分割形式を使用する必要があることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

• コンパクトリー代数
• 実体
• 分割複素数
• 分割直交群