理想的な束

代数幾何学やその他の数学の分野において、イデアル層（またはイデアルの層）は、環におけるイデアルの大域的な類似物です。幾何学的オブジェクト上のイデアル層は、その部分空間と密接に接続されています。

X を位相空間とし、AをX上の環の層とする。（言い換えると、 ( X ,  A ) は環空間である。） Aのイデアル層Jは、 A加群の層のカテゴリにおけるAの部分対象、すなわち、A をアーベル群の層として見た 部分層であり、

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

Xのすべての開部分集合Uに対して成立します。言い換えると、J はAのA部分加群の層です。

• f :  A  →  Bが同じ空間X上の 2 つの環の層間の準同型である場合、 fの核はAのイデアル層です。
• 逆に、環の層Aの任意のイデアル層Jに対して、商層A / J上の環の層の自然な構造が存在する。標準写像

Γ( U , A )/Γ( U , J ) → Γ( U , A / J )

開集合Uに対しては単射だが、一般には射影的ではない。(層コホモロジーを参照。)

スキームの文脈では、イデアル層の重要性は、主に、閉じた部分スキームと準コヒーレントなイデアル層の対応にあります。スキームXとO _Xの準コヒーレントなイデアル層J を考えます。すると、 O _X / JのサポートZはXの閉じた部分空間であり、 ( Z , O _X / J ) はスキームです (両方の主張はローカルで確認できます)。これは、 Jによって定義されるXの閉じた部分スキームと呼ばれます。逆に、i :  Z  →  Xが閉じた浸漬、つまり、関連するマップが

i ^# : O _X → i _⋆ O _Z

は茎上で射影的である。すると、i ^#の核J は準整合イデアル層となり、i はZからJによって定義される閉部分スキームへの同型性を誘導する。^[1]

この対応の特別な例としては、同じ基礎空間を持つXの唯一の簡約部分スキームX _{redがあり、これはO X}のnilradical （茎ごとに定義されるか、開いたアフィンチャート上で定義される）によって定義される。^[2]

射f :  X  →  Yとイデアル層Jによって定義された閉部分スキームY ′  ⊆  Yに対して、原像Y ′  × _Y Xはイデアル層^{[3]によって定義される。} 

f ^⋆ ( J )O _X = im( f ^⋆ J → O _X )。

イデアル層JをJによって定義される部分スキームZに引き戻すことは重要な情報を含んでおり、Zの共線束と呼ばれる。例えば、ケーラー微分層は対角線X  →  X  ×  Xを定義するイデアル層のXへの引き戻しとして定義できる。（簡単のため、 Xは対角線が閉じた浸漬となるように分離されていると仮定する。） ^[4]

複素解析空間の理論において、オカ・カルタン定理は、複素空間の閉部分集合Aが解析的であるためには、 A上で消滅する関数のイデアル層が整合している必要があることを述べています。このイデアル層は、A に縮約された閉複素部分空間の構造も与えます。

• 幾何学の要素
• H. Grauert、R. Remmert :コヒーレント分析層。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン 1984