形式関数に関する定理

代数幾何学における形式関数の定理は次のように述べている。^[1]

をX上の連接層を持つネータースキームの適切な射とします。を およびに関する形式完備化によって定義されるSの閉じた部分スキームとします。すると、それぞれに対して標準(連続)写像が成り立ちます。 ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$ ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle p\geq 0}$

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}}$

は（位相的） - 加群の同型であり、ここで ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$

• 左項は です。${\displaystyle \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}}_{S}/{ {\数学 {I}}^{k+1}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{S} /{\数学 {I}}^{k+1})}$
• 標準マップは、極限まで通過することで得られるマップです。

この定理は、スタイン因数分解や、正規多様体への適切な双有理射は同型であるというザリスキの主定理のバージョンなど、他の重要な定理を導くために使用されます。その他の系（上記と同じ表記）は次のとおりです。

系：^[2]任意の に対して、位相的には、 ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

ここで、左側の完成は に関してです。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{s}}$

系: ^[3] rをすべての に対してとなるようなものとする。すると ${\displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r}$${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.}$

コロレイ：^[4]それぞれの に対して、の開近傍U が存在 し、${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).}$

系: ^[5]ならば、 はすべての に対して連結である。 ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle f^{-1}(s)}$${\displaystyle s\in S}$

この定理は、グロタンディークの存在定理にもつながり、スキーム上の連接層のカテゴリとその形式的完備化上の連接層のカテゴリとの間の同値性を与えます（特に、代数化可能性をもたらします）。

最後に、定理の仮説を弱めることは可能です。Illusie を参照してください。Illusie (pg. 204) によると、EGA III で与えられた証明は Serre によるものです。元の証明 (Grothendieck による) は公開されていません。

設定はリード文の通りとします。証明では、標準マップの次の代替定義を使用します。

を標準写像とする。すると、 -modules の基底変換写像が得られる。${\displaystyle i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$

${\displaystyle i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})}$。

ここで はによって誘導されます。 はコヒーレントなので、と同一視できます。もコヒーレントなので ( fが固有なので)、同じ同一視を行うと、上記は次のようになります。 ${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\widehat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}}$。

および を使用すると、次の式も得られます ( を極限まで渡した後)。 ${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$

${\displaystyle R^{q}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}\to \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{n}}$

ここで、前と同じです。2つのマップの構成はリードにある同じマップであることが確認できます。（EGA III-1、セクション4を参照） ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的要素の要素: III. 顔合わせのコホモロジーの練習、初演パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。１１．土井：10.1007/bf02684274。MR  0217085。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• Illusie, Luc . 「代数幾何学の話題」(PDF)。