反転可能な束

数学において、可逆層とは、環空間上の層で、加群の層のテンソル積に関して逆を持つ層のことである。これは、代数幾何学における直線束の位相概念に相当する。カルティエ因子との相互作用により、可逆層は代数多様体の研究において中心的な役割を果たす。

( X , O _X ) を環空間とする。O _X加群の層の同型類は、 O _X加群のテンソル積の演算の下でモノイドを形成する。この演算の単位元はO _X自身である。可逆層はこのモノイドの可逆元である。具体的には、LがO _X加群の層である場合、 Lが以下の同値な条件のいずれかを満たすとき、Lは可逆であると呼ばれる: ^{[1] [2]}

• となる層M が存在する。${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}}$
• 自然準同型は同型であり、 は双対層を表します。${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle L^{\vee}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})}$
• によって定義されるO _XモジュールからO _Xモジュールへの関数は、カテゴリの同値です。${\displaystyle F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{XL}}L}$

階数 1 の局所自由層はすべて可逆です。X が局所環空間である場合、L が可逆なのは、階数 1 の局所自由である場合のみです。この事実により、可逆層は直線束と密接に関連しており、この 2 つが混同されることもあります。

X をアフィンスキームSpec Rとします。すると、 X上の可逆層は、R上の階数1 の射影加群に関連付けられた層になります。たとえば、代数体の分数イデアルは、数体の整数の環上の階数 1 の射影加群であるため、これには含まれます。

極めて一般的に、 X上の可逆層の同型類はテンソル積の下でアーベル群を形成する。この群はイデアル類群を一般化する。一般には次のように書ける。

${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)\ }$

Picはピカール関手です。代数曲線のヤコビ多様体の理論も含まれるため、この関手の研究は代数幾何学における主要な課題です。

Xのデータを用いて可逆層を直接構築すると、カルティエ因子の概念が生まれます。

• 代数幾何学におけるベクトル束
• ラインバンドル
• 最初のチャーンクラス
• ピカードグループ
• バーコフ-グロタンディークの定理

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。