円錐（代数幾何学）

代数幾何学において、円錐はベクトル束の一般化である。具体的には、スキームXが与えられたとき、相対的なSpec

${\displaystyle C=\operatorname {Spec} _{X}R}$

準整合次数O _X代数 Rの円錐はRの円錐またはアフィン円錐と呼ばれる。同様に、相対Proj

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R}$

はCまたはRの射影錐と呼ばれます。

注: 円錐にはRの等級付けにより - アクションが伴います。このアクションは円錐のデータの一部です (用語の由来)。 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

• X = Spec kが点であり、R が同次座標環である場合、 Rのアフィン円錐は、Rに対応する射影多様体上の(通常の)アフィン円錐^{[曖昧さ回避が必要]}です。
• ある理想層Iに対して、 はIによって決定される閉スキームへの正規錐です。${\displaystyle R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$
• ある直線束Lに対して、 はLの双対の全空間です。${\displaystyle R=\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$
• より一般的には、 X上のベクトル束（有限階数局所自由層）Eが与えられたとき、R =Sym( E ^{* ) が}Eの双対によって生成される対称代数である場合、円錐はEの全空間であり、単にEと表記されることが多く、射影円錐はEの射影束であり、 と表記されます。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$${\displaystyle \operatorname {Proj} _{X}R}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$
• をDeligne–Mumford スタックX上のコヒーレント層とします。このとき、^[1]とします。任意の に対して、大域 Spec は直接像関数の右随伴なので、次が成り立ちます。特に、はX上の可換群スキームです。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).}$${\displaystyle f:T\to X}$${\displaystyle C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})}$${\displaystyle C({\mathcal {F}})}$
• R を次数付き -代数とし、かつが整合しており、局所的にR を-代数として生成するとする。すると、閉じた浸漬が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle R_{0}={\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})}$

によって与えられます。このため、は円錐のアーベル包と呼ばれます。たとえば、あるイデアル層Iに対して、この埋め込みは正規円錐の正規束への埋め込みです。${\displaystyle \operatorname {Sym} (R_{1})\to R}$${\displaystyle C(R_{1})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R.}$${\displaystyle R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

完全な交差イデアルを考え、イデアル層によって定義される射影スキームをとします。すると、 -代数の同型性は次のように与えられます^{[引用が必要]}${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})\subset \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}}}$

が次数付きO _X代数の次数付き準同型である場合、円錐間の誘導射が得られます。 ${\displaystyle S\to R}$

${\displaystyle C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S}$。

準同型写像が射影的であれば、閉じた浸漬が得られる。${\displaystyle C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).}$

特に、R ₀ = O _Xと仮定すると、この構成は投影（拡大写像）に適用され、 ${\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}}$

${\displaystyle \sigma :X\hookrightarrow C_{R}}$。

これはセクションです。つまり、は恒等関数であり、ゼロセクション埋め込みと呼ばれます。 ${\displaystyle X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X}$

変数tが1次である次数代数R [ t ]を考える。明示的に、 n次の部分は

${\displaystyle R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}}$。

そして、そのアフィン錐は で表されます。射影錐はC _Rの射影完備化と呼ばれます。実際、零点t  = 0 は であり、その補点は開部分スキームC _Rです。軌跡t  = 0 は無限遠の超平面と呼ばれます。 ${\displaystyle C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1}$${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R})}$

R を準コヒーレント次数付きO _X代数とし、 R ₀ = O _Xであり、RがR _{1によって}O _X代数として局所的に生成されるものとする。このとき、定義により、 Rの射影錐は次のようになる。

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\演算子名 {Proj} _{X}R=\varinjlim \演算子名 {Proj} (R(U))}$

ここで、余極限はXの開いたアフィン部分集合U上を通ります。仮定により、R ( U ) には有限個の次数 1 の生成元x _iがあります。したがって、

${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.}$

すると、の超平面束によって与えられる線束O (1)が存在します。局所的に一致するこのような局所O (1) を貼り合わせると、 上の線束O (1)が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$

任意の整数nに対して、O (1)のn番目のテンソル冪をO ( n ) と書くこともできます。円錐C =Spec _X R がベクトル束Eの全空間である場合、O (-1) は射影束P ( E )上の同語直線束です。

注意: Rの(局所)生成元が1以外の次数を持つ場合、O (1)の構成は射影空間の代わりに重み付き射影空間を使用して行われます。したがって、結果のO (1)は必ずしも線束ではありません。因子の言語では、このO (1)はQ-カルティエ因子に対応します。

• ファンテチ、バーバラ、交差理論入門(PDF)

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• アレクサンドル・グロタンディークの§8 ;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。