通常のシーケンス

可換代数において、正規列とは、厳密な意味で可能な限り独立な可換環の要素の列である。これは、完全な交差という幾何学的概念の代数的類似物である。

可換環RとR加群 Mに対して、 rm = 0 がMのmに対してm = 0を意味するとき、Rの元r はMの非零因子と呼ばれる。M正則列は列

R のr 1 _, ..., r _d

r _iは、i = 1, ..., dに対してM /( r ₁ , ..., r _{i -1} ) M上の零因子ではない。^[1] 一部の著者は、M /( r ₁ , ..., r _d ) M が零ではないことも要求している。直感的には、 r ₁ , ..., r _dがM正則シーケンスであると言うことは、 MからM / ( r ₁ ) M、M /( r ₁ , r ₂ ) M 、などと順に進めるときに、これらの要素が可能な限り「Mを削減する」ことを意味します。

R正則シーケンスは単に正則シーケンスと呼ばれます。つまり、r _1がRの非ゼロ因子であり、r _{2 が}環R /( r ₁ ) の非ゼロ因子である場合、 r ₁、...、r _dは正則シーケンスです。幾何学的な言語では、X がアフィンスキームであり、r ₁、...、r _{d が}X上の正則関数の環の正則シーケンスである場合、閉じたサブスキーム { r ₁ =0、...、r _d =0} ⊂ X はXの完全な交差サブスキームであると言います。

正規列であるかどうかは、要素の順序に依存する場合があります。たとえば、x、y (1- x )、z (1- x ) は多項式環C [ x、y、z ] の正規列ですが、y (1- x )、z (1- x )、x は正規列ではありません。ただし、Rがノイザン 局所環で要素r _{i が}最大イデアル内にある場合、またはRが次数付き環でr _{i が}正の次数の同次である場合、正規列の任意の順列は正規列になります。

R をネーター環、I をR内のイデアル、M を有限生成R加群とする。M上のIの深さ、すなわち深さ_R ( I , M ) または単に depth( I , M ) は、 Iの元のすべてのM正則列の長さの上限である。Rがネーター局所環でMが有限生成R加群のとき、Mの深さ、すなわち深さ_R ( M ) または単に depth( M ) は、深さ_R ( m , M ) を意味する。つまり、それはRの極大イデアルm内のすべてのM正則列の長さの上限である。特に、ネーター局所環Rの深さは、 R加群としてのRの深さを意味する。つまり、Rの深さは、極大イデアル内の正則列の最大長である。

ネーター局所環Rの場合、零加群の深さは∞であるが、^[2]零でない有限生成R加群Mの深さは最大でもMのクルル次元（ Mの台の次元とも呼ばれる）である。^[3]

• 整数領域が与えられた場合、任意の非ゼロは正規のシーケンスを与えます。${\displaystyle R}$${\displaystyle f\in R}$
• 素数pに対して、局所環Z _{( p )は、分母が}pの倍数ではない分数からなる有理数の部分環です。元p はZ _{( p )}の非ゼロ因子であり、 pによって生成されるイデアルによるZ _{( p )}の商環は体Z /( p ) です。したがって、p は最大イデアル ( p )内のより長い正則列に拡張できず、実際、局所環Z _{( p )}の深さは 1 です。
• 任意の体kについて、多項式環A = k [ x ₁ , ..., x _n ] の元x ₁ , ..., x _nは正規列を形成します。したがって、最大イデアルm = ( x ₁ , ..., x _n ) におけるAの局所化R は、少なくともnの深さを持ちます。実際、R の深さはnに等しく、つまり、長さがn を超える最大イデアルには正規列は存在しません。
• より一般的には、R を最大イデアルmを持つ正則局所環とする。このとき、 m / m ^{2 の}基底にR / mベクトル空間として写像されるmの任意の元r ₁ , ..., r _{d は}正則列を形成する。

重要なケースは、局所環Rの深さがそのKrull 次元に等しい場合です。このとき、 RはCohen-Macaulay環と呼ばれます。示されている 3 つの例はすべて Cohen-Macaulay 環です。同様に、有限生成RモジュールM は、その深さがその次元に等しい場合、 Cohen-Macaulay環と呼ばれます。

正規列の単純な非例は、の要素の列で与えられる。 ${\displaystyle (xy,x^{2})}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \cdot x^{2}:{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}}$

は、イデアルによって与えられる非自明な核を持ちます。複数のコンポーネントを持つ可約スキームから生成されたイデアルの極小生成元を調べ、コンポーネントのサブスキームを取って太らせると、同様の例が見つかります。 ${\displaystyle (y)\subset \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$

• r ₁ , ..., r _{d が}環Rの正規列である場合、Koszul複体はR /( r ₁ , ..., r _d )のR加群としての明示的な自由解析であり、次の形式になります。

${\displaystyle 0\rightarrow R^{\binom {d}{d}}\rightarrow \cdots \rightarrow R^{\binom {d}{1}}\rightarrow R\rightarrow R/(r_{1},\ldots ,r_{d})\rightarrow 0}$

R_が多項式環k [ r1 ,..., rd ]である特殊なケースでは_、 kをRモジュールとして解決します。

• I が環Rの正則列によって生成されるイデアルである場合、関連する次数付き環

${\displaystyle \oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}}$

は多項式環 ( R / I )[ x ₁ , ..., x _d ] と同型である。幾何学的に言えば、任意のスキームXの局所完全交差サブスキームYは、 Yが特異であってもベクトルバンドルである正規バンドルを持つことになる。

• 完全な交差リング
• コズルコンプレックス
• 深さ（環理論）
• コーエン・マコーレーリング

• ブルバキ、ニコラ(2006)、アルジェブル。 Chapitre 10. Algèbre Homologique、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-540-34493-3、ISBN 978-3-540-34492-6、MR  2327161
• ブルバキ、ニコラ(2007)、代数可換。 Chapitre 10、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-540-34395-0、ISBN 978-3-540-34394-3、MR  2333539
• ヴィンフリート・ブルンス、ユルゲン・ヘルツォク『コーエン・マコーレー環』。ケンブリッジ高等数学研究、39。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1993年。xii+403頁。ISBN 0-521-41068-1 
• デイヴィッド・アイゼンバッド『代数幾何学に向けた可換代数』、シュプリンガー大学院数学テキスト第150号、 ISBN 0-387-94268-8 
• Grothendieck, Alexander (1964)、「Éléments de géometrie algébrique IV. Première party」、Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques、20 : 1–259、MR  0173675