画像（数学）

数学において、関数の像は${\displaystyle f:X\to Y}$はすべての集合です${\displaystyle f(x)}$⁠そのため⁠${\displaystyle x}$は の領域に属します${\displaystyle f}$⁠ .画像提供： ⁠${\displaystyle f}$要素の​${\displaystyle x}$の領域の${\displaystyle f}$⁠は⁠${\displaystyle f(x)}$つまり、入力に対応する出力${\displaystyle x}$⁠ .画像提供：⁠${\displaystyle f}$部分集合の${\displaystyle S}$の領域の${\displaystyle f}$はすべての集合です${\displaystyle f(x)}$⁠そのため⁠${\displaystyle x}$⁠は⁠にある${\displaystyle S}$⁠ 、つまり、 ⁠の要素の画像の集合${\displaystyle S}$⁠ 。言い換えれば、それは制限のイメージである。${\displaystyle f}$⁠から⁠${\displaystyle S}$⁠ .

逆像または逆像は、定義域と終域の役割を入れ替えることで同様に定義されます。

要素の原像${\displaystyle y}$の終域の⁠${\displaystyle f}$⁠はすべての要素の集合です${\displaystyle x}$の領域の${\displaystyle f}$⁠そのため⁠${\displaystyle f(x)=y}$⁠ ;空の場合⁠${\displaystyle y}$⁠ は⁠の画像に属していません${\displaystyle f}$部分集合の逆像${\displaystyle T}$の終域の⁠${\displaystyle f}$⁠はすべての要素の集合です${\displaystyle x}$の領域の${\displaystyle f}$⁠そのため⁠${\displaystyle f(x)\in T}$⁠ . の終域の逆像⁠${\displaystyle f}$は、関数の定義により、 の定義域である。${\displaystyle f}$⁠ .

一般的な二項関係についても、同様にイメージと逆イメージを定義することができます。この一般化では、イメージと逆イメージは対称的な役割を果たします。つまり、ある関係のイメージと逆イメージは、それぞれ反対の関係の逆イメージとイメージになります。

「イメージ」という言葉は、関連する３つの意味で使われています。これらの定義では、${\displaystyle f:X\to Y}$は集合からの関数です${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle Y}$。

させて${\displaystyle f}$関数である${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y.}$集合の逆像または逆像${\displaystyle B\subseteq Y}$下${\displaystyle f,}$で示される${\displaystyle f^{-1}[B],}$は、${\displaystyle X}$定義される $${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

その他の表記法には${\displaystyle f^{-1}(B)}$そして${\displaystyle f^{-}(B).}$^{[ 4 ]}単一要素集合 の逆像は、で表されます。${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$または${\displaystyle f^{-1}(y),}$は、繊維（または繊維オーバー）とも呼ばれます。${\displaystyle y}$またはレベルセット${\displaystyle y.}$要素上のすべてのファイバーの集合${\displaystyle Y}$は、によってインデックス付けされた集合の族です。${\displaystyle Y.}$

例えば、関数の場合${\displaystyle f(x)=x^{2},}$の反転画像${\displaystyle \{4\}}$だろう${\displaystyle \{-2,2\}.}$繰り返しますが、混乱の恐れがない場合、${\displaystyle f^{-1}[B]}$は次のように表すことができる${\displaystyle f^{-1}(B),}$そして${\displaystyle f^{-1}}$は、冪集合からの関数としても考えることができる。${\displaystyle Y}$べき乗セットへ${\displaystyle X.}$表記法${\displaystyle f^{-1}}$は逆関数の と混同してはならないが、 の逆像が である点で、全単射の通常の と一致する。${\displaystyle B}$下${\displaystyle f}$は${\displaystyle B}$下${\displaystyle f^{-1}.}$

前節で使用した従来の表記法では、元の関数を区別することができません。${\displaystyle f:X\to Y}$集合の像関数から${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$同様に、逆関数（存在すると仮定）と逆像関数（これも冪集合の関係を表す）を区別しません。適切な文脈であれば、この表記法は簡潔で、通常は混乱を招きません。しかし、必要に応じて、像と逆像を冪集合間の関数として明示的に命名するという代替案^{[ 5 ]もあります。}

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$定義される${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   セットの画像${\displaystyle \{2,3\}}$下${\displaystyle f}$は${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$関数の画像${\displaystyle f}$は${\displaystyle \{a,c\}.}$の原像${\displaystyle a}$は${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$の原像${\displaystyle \{a,b\}}$また${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$の原像${\displaystyle \{b,d\}}$下${\displaystyle f}$空集合です${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   イメージ​​${\displaystyle \{-2,3\}}$下${\displaystyle f}$は${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$そしてイメージ​${\displaystyle f}$は$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$（すべての正の実数とゼロの集合） 。${\displaystyle \{4,9\}}$下${\displaystyle f}$は${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$セットの逆像${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$下${\displaystyle f}$負の数は実数の集合に平方根を持たないため、これは空集合です。
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   繊維​${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$は、原点、原点自体、および空集合を中心とする同心円であり、${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ または }}\ a<0}$（それぞれ）（もし${\displaystyle a\geq 0,}$次に繊維${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$すべての集合です${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$方程式を満たす${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$すなわち、半径が原点を中心とする円${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$）
4. もし${\displaystyle M}$多様体であり、${\displaystyle \pi :TM\to M}$は接束からの正準射影である${\displaystyle TM}$に${\displaystyle M,}$すると繊維が${\displaystyle \pi }$接空間は${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$これもファイバー束の一例です。
5. 商群は準同型像である。

• 全単射、単射、全射– 数学関数の性質 
• ファイバー（数学）– 関数の定義域内のすべての点のうち、ある特定の一点にすべて対応付けられる点の集合 
• 画像（圏論）
• 関数の核– 2 つの要素が関数の下で同じイメージを持つことを表す同値関係 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 集合の反転– 特定の関数によって特定の範囲に写像される集合を見つける数学的問題 

• アーティン、マイケル(1991)。代数。プレンティス・ホール。ISBN 81-203-0871-9。
• Blyth, TS (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures . Springer. ISBN 1-85233-905-5。。
• ドレツキ、シモン；マイナール、フレデリック（2016）。トポロジーの収束基礎。ニュージャージー：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング・カンパニー。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• ハルモス、ポール・R. (1960).素朴な集合論. 大学学部数学シリーズ. ヴァン・ノストランド社. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403 . {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ケリー、ジョン・L. (1985).一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 (第2 版). ビルクハウザー. ISBN 978-0-387-90125-1。
• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）

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