GIT 指数

代数幾何学において、群スキームGによる作用を伴うアフィン スキームのアフィンGIT 商、またはアフィン幾何学的不変量理論商は、アフィン スキーム、つまりAの不変量環の素スペクトルであり、 と表記されます。GIT 商はカテゴリカル商です。つまり、任意の不変射は、これを一意に因数分解します。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$${\displaystyle X/\!/G}$

の代わりに（次数付き環の） Projを取ると、射影GIT商（半安定点の集合の商）が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {仕様} }$

GIT商は、半安定点の軌跡のカテゴリカル商、すなわち半安定軌跡の「その」商である。カテゴリカル商は一意であるため、幾何商が存在する場合、2つの概念は一致する。たとえば、

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

体k上の代数群 Gと閉部分群Hに対して。^{[説明が必要]}

X が複素滑らかな 射影多様体であり、Gが簡約複素リー群である場合、 XのGIT 商は、XのGの最大コンパクト部分群によるシンプレクティック商に同相である(ケンプ・ネスの定理)。

G を体上の準射影スキームXに作用する簡約群とし、 L をX上の線型化された豊富な直線束とする。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

を切断環とする。定義により、半安定軌跡はXの零点集合の補集合である。言い換えれば、の大域切断s、n が大きい場合のすべての開集合の和集合である。十分性により、それぞれはアフィンである。とすると、アフィン GIT 商を形成することができる。 ${\displaystyle X^{ss}}$${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$${\displaystyle U_{s}}$${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).}$

不変量環上のヒルベルトの定理により、 は有限型であることに注意してください。カテゴリカル商の普遍的性質により、これらのアフィン商は接着され、次のようになります。 ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,}$

これはXのLに関するGIT 商です。Xが射影的である場合、つまりRの Proj である場合、商は単に不変量環の Proj として与えられることに注意してください。 ${\displaystyle X/\!/_{L}G}$ ${\displaystyle R^{G}}$

最も興味深いケースは、安定軌跡^[1] が空でない場合である。安定軌跡は、有限の安定点と閉じた軌道を持つ半安定点の開集合である。このような場合、GIT商は次のように制限される。 ${\displaystyle X^{s}}$${\displaystyle X^{s}}$${\displaystyle X^{ss}}$

${\displaystyle \pi^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,}$

には、すべてのファイバーが軌道であるという性質があります。つまり、は真の商（つまり、幾何商）であり、 と書きます。このため、が空でない場合、 GIT 商は、Xの開部分集合の幾何商の「コンパクト化」と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \pi^{s}}$${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$${\displaystyle X^{s}}$${\displaystyle \pi}$

難しくて未解決のように見える問題は、上記の GIT 方式でどの幾何商が生じるかということです。GIT アプローチは、計算が難しい抽象的な商とは対照的に、明示的な商を生成するため、この問題は非常に興味深いものです。この問題に対する既知の部分的な答えは次のとおりです。 ^{[2] を、作用 を持つ}局所階乗代数多様体 (たとえば、滑らかな多様体) とします。 (1) がアフィン射影であり、(2)が準射影であるような開部分集合と幾何商があるとします。すると、X上のある線型化された直線束Lに対して が成り立ちます。(類似した問題は、どの部分環が何らかの方法で不変量の環であるかを決定することです。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle U/G}$${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$

GIT商の簡単な例は、送信 時の-actionで示されます。${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto (-x)&&y\mapsto (-y)\end{aligned}}}$

単項式は環を生成することに注意してください。したがって、不変量の環は次のように書くことができます。 ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

理論的には、射影が得られる。

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)}$

これは の特異部分多様体であり、で孤立した特異点を持つ。これは微分を使って確認できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}}$

したがって、微分と多項式の両方が消える唯一の点は原点です。得られた商は、原点に 通常の二重点を持つ円錐面です。${\displaystyle f}$

による トーラス作用を考えてみましょう。この作用には、原点、穴の開いた軸 、およびに対してによって与えられるアフィン円錐曲線といういくつかの軌道があることに注目してください。すると、GIT 商は、多項式 の部分環である層構造を持ち、したがって と同型になります。これにより、GIT 商は次のようになります。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$${\displaystyle xy=a}$${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}}$${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}}$

点の逆像は軌道によって与えられ、GIT商が必ずしも軌道空間ではないことを示していることに注目してください。もしそうであれば、3つの原点、つまり分離されていない空間が存在することになります。^[3]${\displaystyle (0)}$${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$

• 商スタック
• キャラクターの多様性
• チャウ商

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